Lässt sich Logik signifikant geometrisieren?

Descarte wurde für die Zusammenstellung von Geometrie und Algebra gelobt, und seine Leistung ermöglichte die Erfindung der Analysis durch Leibniz & Newton und ermöglichte ihre wirksame und explosive Entwicklung durch nachfolgende Mathematiker und Physiker im Gegensatz zu den rudimentären und primitiven Schritten, die Archimedes bei der Integration unternahm und die Keralanische Schule in der Power-Serie.

Nun können verschiedene Aussagenlogiken algebraiert werden:

klassische Aussagenlogik -> Boolesche Algebren

Intuitionistische Aussagenlogik -> Heyting Algebra

Modallogik -> Modalalgebra

Die Frage: Gibt es eine signifikante geometrische Form dieser Logiken? Bedeutsam, einfach weil es nicht nur eine Übersetzung in geometrische Form ist, wie in Venn-Diagrammen für boolesche Algebren (die zuerst als ein System von Mengen dargestellt werden), aber das erlaubt, etwas Tieferes über die Logik selbst zu sagen?

Würden Sie die Topos-Theorie als geometrisch betrachten? Was ist mit der Tatsache, dass offene Mengen eines Raums ein Heyting sind?
Ja, würde ich. Es hat diese Frage inspiriert. Ich suche wirklich nach alternativen geometrischen Charakterisierungen oder innerhalb von Topoi selbst nach einer geometrisch signifikanten Art, über Logik zu sprechen.
Interessante Frage. Vielleicht möchten Sie dies auch in math.se fragen (wenn Sie dies tun, teilen Sie bitte den Link). Ich freue mich auf die Antworten hier wie dort.
@Rostomyan: Ich habe die Frage auf math.se nach Ihrem Vorschlag gestellt.

Antworten (1)

Die Frage: Gibt es eine signifikante geometrische Form dieser Logiken?

Hier bezieht sich "diese Logiken" auf Boolesche Algebren, Heyting-Algebren und modale Algebra. Die verschiedenen Darstellungssätze für diese Algebren als Mengenalgebren bezogen auf bestimmte topologische Räume scheinen eine positive Antwort auf diese Frage zu geben. Diese Darstellungssätze sind nicht trivial, da sie äquivalent zum Booleschen Primzahlidealsatz sind , der ohne das Wahlaxiom nicht aus den Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre abgeleitet werden kann.

Es ist allgemein bekannt, dass jede Boolesche Algebra als Mengenalgebra von Clopen-Mengen ihres zugehörigen Steinraums dargestellt werden kann.

Es gibt mehrere eng verwandte Darstellungssätze für Heyting-Algebren. Beachten Sie zunächst, dass eine Heyting-Algebra als Gitter begrenzt und distributiv ist und dass jedes begrenzte distributive Gitter als Mengenalgebra der oberen Mengen des zugehörigen Priestley-Raums dargestellt werden kann. Im Falle einer Heyting-Algebra ist dieser zugeordnete Priestley-Raum ein Esakai-Raum , der ein Priestley-Raum ist, für den der Abwärtsabschluss jeder Clopen-Menge Cloopen ist. Es gibt auch Darstellungssätze für beschränkte Verteilungsverbände und Heyting-Algebren, die paarweise Stone-Räume anstelle von Priestley-Räumen verwenden, und Darstellungssätze, die Spektralräume verwenden.

Der Wikipedia-Artikel über modale Algebren sagt

Der Darstellungssatz von Stone kann auf die Jónsson-Tarski- Dualität verallgemeinert werden, die sicherstellt, dass jede modale Algebra als Algebra zulässiger Mengen in einem modalen allgemeinen Rahmen dargestellt werden kann.

Ich habe nicht versucht, dies im Detail zu verstehen, aber einige Wikipedia-Autoren glauben anscheinend, dass dies eine geometrische Darstellung ist:

Die allgemeine Rahmensemantik kombiniert die Haupttugenden der Kripke-Semantik und der algebraischen Semantik: Sie teilt die transparente geometrische Einsicht der ersteren und die robuste Vollständigkeit der letzteren.

Ich wollte zu meinem vorherigen Kommentar hinzufügen, dass ich mich besonders auf eine Antwort von Thomas Klimpel freue, wollte Sie aber nicht in die Irre führen. Vielen Dank.
+1 für eine nette Antwort. Ich bin jedoch etwas vage in Bezug auf Frames - ich kenne zwei Arten von Frames: einen Kripke-Frame, der eine Menge mit einer Zugänglichkeitsbeziehung ist und als Modell für die Modallogik fungiert, und einen Frame als Gegenteil eines Gebietsschemas (das ist eine 'sinnlose' Verallgemeinerung eines topologischen Raums). Ich habe die beiden noch nie miteinander in Verbindung gebracht. Wollen Sie damit sagen, dass sie tatsächlich miteinander verbunden sind?
@MoziburUllah Du hast Recht, ich habe hier Kripke-Frames mit Frames aus sinnloser Topologie verwechselt. Die Jónsson-Tarski-Dualität bezieht sich auf Kripke-Rahmen mit einer zusätzlichen Struktur und hat überhaupt nichts mit sinnloser Topologie zu tun. Es gibt also wahrscheinlich auch für die Modellalgebra einen schönen Darstellungssatz, der sich auf topologische Räume bezieht.
@Klimpel: Ich dachte, das könnte der Fall gewesen sein, aber ich zögerte zu sagen, da die Jonsson-Tarski-Dualität in Analogie zur Stone-Dualität nahelegt, dass es eine Möglichkeit geben könnte, Kripke-Frames (mit zusätzlicher Struktur) auf eine verallgemeinerte topologische Weise zu interpretieren.
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