Ich habe darüber nachgedacht, diese Frage im Math Stack Exchange zu posten, aber sie passt wahrscheinlich besser hierher. Ich nehme an einer Klasse über euklidische und nicht-euklidische Geometrien teil, es gibt einen Abschnitt, der der Logik gewidmet ist, ich nehme an, es handelt sich um klassische Aussagenlogik, aber ich bin mir nicht absolut sicher. In diesem Abschnitt haben wir mehrere Regeln studiert, um mathematische Aussagen zu beweisen; Reductio Ad Absurdum Beweise, Negationsbeweise, Implikationsregeln, Fallbeweise und so weiter. Woher wissen wir, dass diese Regeln korrekt sind, wie könnte man beweisen, dass diese Regeln der Logik tatsächlich korrekt sind, und wenn wir eine Reihe von Axiomen zum Entwickeln mehrerer Arten von Geometrien auswählen können, könnten wir dann verschiedene Arten von Logik entwickeln, indem wir verschiedene Regeln auswählen ?.
Wenn ich Ihren Beitrag lese, gibt es drei separate, aber zusammenhängende Fragen:
1: Woher wissen wir , dass die Regeln des „deduktiven Kalküls“ korrekt sind?
2: Wie können wir beweisen , dass sie richtig sind?
3: Können wir eine andere Logik konstruieren, indem wir andere Regeln wählen?
1) Die Antwort auf die erste Frage ist eine epistemische Frage. Traditionell hält man Beweisregeln (wie zB 'Von (φ => χ) und φ, gehe zu χ.') für a priori , dh allein durch Reflexion erkennbar. Frege vertrat diese Ansicht in seinen Grundlagen . Er sagt dort auch, dass die Regeln in gewissem Sinne selbstverständlich sind , und viele Philosophen stimmen zu. Was wir genau mit „a priori“ und „selbstverständlich“ meinen, ist natürlich umstritten; aber der Punkt ist, dass (die meisten stimmen darin überein) wir die Beweisregeln auf die gleiche Weise kennen, wie wir zB wissen, dass a = a . Da Sie die Geometrie erwähnen, hielt Frege sie für synthetisch, während Logik und Arithmetik analytisch sind.
2) Zur zweiten Frage hängt die Antwort weitgehend davon ab, was wir unter „Beweis“ verstehen. In gewisser Hinsicht ist nichts einfacher, als ein Axiom zu beweisen: Zitieren Sie einfach das Axiom. Aber das ist natürlich nicht das, was Sie meinen. Eine Sache, die wir tun können, ist zu zeigen, dass die Regeln solide und vollständig sind: nehmen wir an, dass φ semantisch durch eine Reihe von Prämissen impliziert wird; dh alle Interpretationen, die die Prämissen wahr machen, machen die Schlussfolgerung wahr. Dann können wir zeigen, dass dies genau dann der Fall ist, wenn φ aus den Prämissen beweisbar ist. (Zumindest wenn wir es mit Logik 1. Ordnung zu tun haben.) Dieses Ergebnis geht auf Gödel zurück, und der Beweis ist sehr kompliziert. Was das Ergebnis jedoch auf einer intuitiveren Ebene aussagt, ist, dass die Beweisregeln uns nicht „in die Irre führen“ und uns auch nicht „kurzen“ werden: Mit den Regeln können wir alle und nur diese Konsequenzen beweisen haben wir bereits semantisch festgestellt.
Natürlich können wir jetzt fragen, wie wir die Semantik beweisen können; aber in gewissem Sinne ist das ein strittiger Punkt. Wenn wir fragen: „Sind die Regeln korrekt?“, hätten wir besser einen Standard, um zu entscheiden, was als „richtig“ gilt und was nicht. Genau das tut die Semantik: Sie entscheidet, welche Sätze wahr und welche Argumente gültig sind, damit unsere Beweisregeln dann erneut auf Wahrheit und Gültigkeit – wenn auch formal definierte Wahrheit und Gültigkeit – überprüft werden können.
3) Diese Frage ist wahrscheinlich etwas fehlgeleitet. Wir können sicherlich alternative logische Systeme konstruieren (Alternativen zur klassischen Logik); aber die Beweisregeln zu ändern ist nicht der beste Weg, es zu tun: Sie werden am Ende einfach zu viel oder zu wenig beweisen. Vielmehr sollten Sie mit der Semantik spielen. Beispielsweise könnten Sie neben TRUE und FALSE einen neuen Wahrheitswert einführen , sodass Sätze KEINES von beiden sein können . Alternativ / zusätzlich könnten Sie Modelle mit leeren Domänen zulassen oder leere Namen zulassen. Es gibt eine Menge, was Sie tun können, aber es wird normalerweise nicht durch die Beweisregeln getan. Nachdem Sie die Änderungen vorgenommen haben, möchten Sie vielleicht die Regeln ändern und sehen, ob Ihr System noch einwandfrei und vollständig ist.
März.
Quentin Ruyant