Ich habe folgende, ziemlich naive Frage:
Inwieweit kann die a priori Existenz mathematischer Objekte sinnvoll mit der scheinbaren a posteriori Existenz von Objekten verglichen werden, die beispielsweise durch eine Computersprache festgestellt wird?
Zur Erläuterung:
Wenn man in der Logik erster Ordnung arbeitet, stellt man oft eine Sammlung von Axiomen auf und nimmt dann in der Metatheorie die a priori Existenz eines Diskursuniversums an, das die Axiome erfüllt, nämlich ein Modell, um Semantik hinzuzufügen. Insbesondere die Existenz eines solchen platonischen Universums ist notwendigerweise a priori festgestellt.
Andererseits verwendet man beispielsweise bei der Arbeit mit einer Computersprache bestimmte Primitive, mit denen man "neue" interessierende Objekte erzeugen kann, beispielsweise neue Konfigurationen von Strings oder neue Konfigurationen bestimmter Systeme in einem Automaten. Die resultierenden Konfigurationen eines solchen Systems scheinen a posteriori zu existieren.
Meine Frage ist dann, inwieweit können diese beiden Vorstellungen von Existenz vernünftig verglichen werden? In welchem Sinne kann ein System im anderen die Vorstellung von Existenz zeigen? Ist es so, dass die Mathematik die Existenz abstrakter Objekte a priori annimmt, während die a posteriori Existenz von Objekten in einer Computersprache, wie oben zitiert, lediglich eine physikalische Instanziierung aller möglichen Konfigurationen ist, die dem Computer a priori zur Verfügung stehen?
Oder ist es der Fall, dass wir, um diese Vorstellungen von Existenz zu vergleichen, wenn wir ein Universum modellieren wollen, das die Dynamik eines Computersystems beschreibt, verlangen, dass es unter all seinen eingebauten Funktionen geschlossen ist, und in diesem Sinne allen mögliche Konfigurationen existieren a priori? Was ist die entsprechende Vorstellung von Existenz innerhalb eines Computersystems, das die Rolle des platonischen Universums spielt? Existiert es a priori oder muss es explizit als Ergebnis eines Rechenprozesses gegeben werden? (Man kann die Frage stattdessen in Bezug auf das physikalische Universum formulieren, aber die Beschränkung auf ein Computersystem bringt deutlichere Einschränkungen mit sich.)
In der Logik erster Ordnung gehen wir nicht von der Existenz irgendeines Modells aus, wir quantifizieren über alle möglicherweise existierenden Modelle. Wenn wir zeigen, dass etwas aus unseren Axiomen folgt, bedeutet das, dass alle Modelle, die unsere Axiome erfüllen, auch die Konklusion erfüllen. Wenn es aus irgendeinem Grund kein solches Modell gibt (weil die Axiome inkonsistent waren), dann ist unser Beweis immer noch gültig, nur vielleicht nicht sehr nützlich (es könnte immer noch nützlich sein, wenn der Beweis auf geänderte, konsistente Axiome angewendet werden kann).
Geoffrey Thomas