So definieren Sie eine Zahl [geschlossen]

Ich gebe Ihnen die standardmäßige, schematische Antwort, aber seien Sie sich bewusst, dass diese Frage die Büchse der Pandora öffnet.

Irrationale Zahlen sind solche, die nicht durch einen Bruch zweier ganzer Zahlen angegeben werden können. Da es sich um eine negative Definition handelt, kann sie etwas irreführend und wenig hilfreich sein. Sehen Sie, alle Zahlen, die nicht rational sind, müssen ... irrational sein.

Es gibt jedoch einen "äußeren Kreis", eine Reihe von Zahlen, die nicht rational sind, aber positiv als die Lösung einer algebraischen Gleichung definiert werden können. Diese werden die algebraischen Zahlen genannt.

Der nächste Kreis außerhalb ist die Menge der berechenbaren Zahlen. Dies sind, grob gesagt, die Zahlen, die durch endliche Rechenverfahren auf eine beliebige Genauigkeit angenähert werden können.

Zahlen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent . Die meisten dieser Zahlen sind auch nicht berechenbar. Eine weitere negative Definition, wie Sie sehen können. Es gibt (und wird es wahrscheinlich immer geben) mehr Dinge, die wir über diese Zahlen nicht wissen, als Dinge, die wir wissen. Wenn Sie also verwirrt sind, befinden Sie sich in guter Gesellschaft.

Wenn $x$ eine positive rationale Zahl kleiner als $\frac{1}{2}$ ist, kann der folgende logarithmische Ausdruck einer reellen Zahl entsprechen, sagen wir $r$?

$$\frac{\log(1-x)}{\log x} = r$$, wobei $r$ eine positive reelle Zahl kleiner als eins ist,

Nehmen wir zuerst an, $r$ ist eine rationale Zahl, sagen wir $n/m$, dann würden Sie diese Gleichung erhalten, $x^n=(1-x)^m$, wobei die Lösung für $x$ eindeutig algebraisch ist - irrationale Zahl im Widerspruch zur Annahme der Rationalität von $x$, daher kann $r$ keine rationale Zahl sein und muss eine irrationale Zahl sein, wenn ja, erhalten Sie die folgende Gleichung, $x^r = 1-x$, die rechte Seite ist eine rationale Zahl, aber die linke Seite ist eine transzendente Zahl nach - Gel-Schneider-Theorem, was wiederum der Annahme der Irrationalität von $r$ widerspricht, also was soll diese Zahl sein?

Ich denke, jemand wird einfach sagen, dass es sich um eine per Definition gegebene transzentiale Zahl handelt, wenn ja, nehmen Sie an, dass $ x $ eine ganzzahlige Potenz einer rationalen Zahl ist, sagen Sie $ x = a ^ p $, wobei $ p $ eine ungerade Primzahl ist, dann durch Substitution Sie erhalten diese einfache Gleichung, die eine reduzierte Form von FLT für rationale Zahlen ist, $a^p + (a^r)^p = 1$, aber wir wissen bereits, dass $a^r = b$ ist, wobei $b$ ist eine rationale Zahl, die vom Beweis von Andrew Wiles & Taylor bis zum letzten Satz von Fermat nicht existiert, daher ist $log(b) / log(a)$ keine transzendente Zahl, sondern eine Art von Zahlen, die neu definiert werden müssen & genau