Ist eine vollständige mathematische Beschreibung der Realität möglich?

Vollständigkeit in der Mathematik hat eine besondere Bedeutung . Gödels Unvollständigkeitssätze zeigten, dass dies für die Mathematik als Ganzes nicht möglich ist, und beendeten die meisten verbleibenden Teile des Hilbert-Programms, einschließlich des Ziels, die Physik zu axiomatisieren.

Stephen Hawking setzte sich hier mit den Konsequenzen für die Physik auseinander und mit der Natur dessen, was eine Theorie von allem wäre: Gödel und das Ende der Physik .

Gödels Theoreme sind antifundamentalistisch – ein „endgültiges Vokabular“ ist nicht möglich. Das liegt daran, dass die Köpfe, die Sprache erschaffen und verwenden, seltsame Schleifen sind, mit verworrenen Hierarchien, die Selbstreferenzen und Rückkopplungsschleifen enthalten. Damit ein Geist die Welt verstehen kann, muss er auch sich selbst verstehen, was sich selbst verkompliziert und mehr Verständnis erfordert, eine Aufgabe, die niemals abgeschlossen werden kann. Geister sind dynamisch, kreativ und existieren als Interaktionen, auch durch Intersubjektivität. Die bestmögliche Verständigung muss auch dynamisch, interagierend, lebendig sein.

Um mit „Ja“ antworten zu können, wäre eine vollständige Definition von „Realität“ erforderlich. Je mehr wir über unser Universum erfahren ... unsere Realität ... desto mehr erkennen wir, wie viel wir nicht wissen. Ohne diese vollständige Definition ist diese Frage unbeantwortbar.

Eine Frage, die es möglicherweise wert ist, gestellt zu werden, lautet: "Wird unser Verständnis der Mathematik jemals ausreichen, um eine unserer Vorstellungen davon, was die Realität sein könnte, vollständig zu beschreiben?". Zu dieser Frage, wenn ich mir nur anschaue, was in den Antworten auf diese Frage gesagt wurde, würde ich sagen ... wahrscheinlich nicht.

Das hängt von den Gesetzen der Physik ab.

Beachten Sie zunächst, dass es in der Mathematik viele Objekte gibt, die nicht in Mathematik ausgedrückt werden können. Zum Beispiel wird nur ein winziger Bruchteil der reellen Zahlen von einer mathematischen Formel benannt. Der Grund ist einfach: Die Menge der mathematischen Formeln ist abzählbar. Die Menge der reellen Zahlen ist größer als das – unzählbar. Die überwiegende Mehrheit der reellen Zahlen kann also nicht durch eine Formel benannt werden.

Es ist jedoch möglich, bestimmte Gesetze zu beschreiben , die für alle reellen Zahlen gelten, auch wenn die meisten von ihnen nicht durch eine Formel einzeln benannt werden können.

Nun, hier sind einige Möglichkeiten für die Gesetze der Physik, zusammen mit den Konsequenzen jeder Möglichkeit dafür, wie gut Mathematik die Gesetze der Physik beschreiben kann. Jede Möglichkeit kann in eine der folgenden Kategorien fallen: berechenbar, berechenbar in der Grenze (näherungsweise), nicht berechenbar, aber beschreibbar, nicht berechenbar oder beschreibbar.

1. Es kann sein, dass Raum und Zeit grundsätzlich diskret sind. Darüber hinaus kann es sein, dass die Evolutionsregel, die den nächsten Zustand des Universums aus dem vorherigen ableitet, zufällig berechenbar ist. Wenn dies zutrifft, dann kann die Mathematik nicht nur alles im Universum beschreiben – mit genügend Informationen könnte eine Turing-Maschine alles perfekt vorhersagen. (Kategorie = berechenbar)

2. Es mag sein, dass Raum und Zeit im Grunde diskret sind, aber die Evolutionsregel nicht berechenbar ist. In diesem Fall wird, egal wie viele Informationen wir sammeln, kein Computer in der Lage sein, perfekt vorherzusagen, was die Gesetze der Physik tun werden. Es kann jedoch immer noch möglich sein, die Gesetze der Physik abstrakt zu spezifizieren, auch wenn wir sie nicht berechnen können. (Kategorie = in der Grenze berechenbar, oder Kategorie = nicht berechenbar aber beschreibbar)

3. Es mag sein, dass Raum und Zeit im Grunde kontinuierlich sind, aber die Gesetze der Physik können durch niedergeschriebene Differentialgleichungen beschrieben werden. Beispielsweise ist die Bewegung eines Pendels kontinuierlich, wird aber durch einen einfachen Satz von Differentialgleichungen beschrieben. Wenn dies der Fall ist, ist die Mathematik in der Lage, die Gesetze des Universums zu beschreiben. Abhängig von den spezifischen Gesetzen kann es möglich sein oder auch nicht, das Ergebnis eines physikalischen Prozesses schrittweise so genau anzunähern, wie wir es wünschen. (Kategorie = in der Grenze berechenbar, oder Kategorie = nicht berechenbar aber beschreibbar)

4. Es mag sein, dass Raum und Zeit im Grunde stetig sind und die Gesetze der Physik nicht mathematisch beschreibbar sind. Dies ist denkbar, weil die Menge aller möglichen physikalischen Gesetze sehr groß ist – mindestens so groß wie die reellen Zahlen, denn ein physikalisches Gesetz kann eine reelle Zahl als Parameter enthalten. Und die Menge aller möglichen physikalischen Gesetze, die durch eine mathematische Formel benannt werden können, ist viel kleiner – abzählbar. In diesem Fall kann keine mathematische Berechnung das, was im Universum vor sich geht, perfekt annähern oder auch nur beschreiben. (Kategorie = nicht berechenbar oder beschreibbar).

Alle vier dieser Möglichkeiten sind logisch möglich. Die Philosophie kann letztlich nicht sagen, ob das Universum mathematisch beschreibbar ist; das ist Sache der Physiker. Es ist denkbar, dass Physiker eine Theory of Everything finden, die das Universum perfekt beschreibt. Denkbar ist auch, dass die Gesetze des Universums grundsätzlich nicht durch mathematische Formeln beschreibbar sind. Das müssen Physiker herausfinden.

Der Begriff „Realität“ ist viel zu allgemein, um dies sinnvoll zu erklären. Aber ich glaube, dass die Antwort ganz klar Nein lautet ! Jede mathematische Beschreibung der „Realität“ wäre Teil dieser Realität und muss sich daher selbst beschreiben, was zu den Paradoxien der Selbstreferenz in der Mengenlehre und zu einem Droste-ähnlichen unendlichen Regress führt.