Wie macht dieser propositionale Beweis Sinn?

Inwiefern ist der folgende Argumentationsnachweis gültig und sinnvoll?

1. (R • C)  [It is raining and It is cloudy]
2. ~R [It is not raining]  
Therefore, S [It is snowing]

Nach dem Widerspruchsbeweis

3. Let ~S as our assumption
4. R {Using AND Simplification rule break 1)
5. C {Using AND Simplification rule break 1)
6. S {From 3, 2 contradicts 4}

Es sagt, wenn es nicht regnet, dann schneit es, was für mich keinen Sinn ergibt, aber wie wird der Beweis mathematisch gültig?

Sei vorsichtig ! Es heißt: "Wenn es regnet und ... und es regnet nicht, dann schneit es".
Also, wenn in irgendeiner Argumentation die Prämissen der Schlussfolgerung widersprechen, haben sie keine Wirkung? Ich denke, das Argument sollte in solchen Fällen als ungültig angesehen werden. Es ist nicht anders als nur zu sagen1.) R 2.) ~R 3.) X.
??? Aus R lässt sich ¬ R nicht mit einer gültigen Regel ableiten. Aber wenn die Prämissen widersprüchlich sind, also einen Widerspruch enthalten, wie R ∧ ¬ R , kann man absolut alles herleiten: S , ... und auch R sowie ¬ R .

Antworten (3)

Es ist eine Anwendung der Reductio Ad Absurdum- Regel.

RAA ist eine Formulierung des Widerspruchsbeweises: Leitet man aus der Hypothese ¬ϕ einen Widerspruch ab , so hat man eine Ableitung von ϕ (ohne die Hypothese ¬ϕ ) :

angenommen ¬ ϕ --- Schritt 3)

einen Widerspruch ableiten : ⊥ --- in diesem Fall Schritte 2) und 4)

schließen Sie mit "Verwerfen" der Annahme ab, dh mit ϕ --- Schritt 6).

Wenn wir uns auf die wahrheitsfunktionale Definition von Konnektiven (nach klassischer Logik) einigen, gilt die Regel : Wenn wir aus der Annahme ¬ ϕ einen Widerspruch ableiten , impliziert dies, dass ¬ ϕ falsch ist .

Dann muss ϕ durch doppelte Negation wahr sein .

Tatsächlich entspricht die Regel der Regel zur Eliminierung doppelter Negationen :

¬¬ ϕ ⊢ ϕ .

Der Intuitionismus lehnt diese Art von Argumentation als "falsch" ab: In der Intuitionistischen Logik sind RAA und Doppelnegation keine gültigen Schlußregeln.

Siehe auch Ex falso quodlibet (oder Explosionsprinzip ):

jede Aussage kann durch einen Widerspruch bewiesen werden.

Die beiden Prämissen R ∧ C und ¬ R sind widersprüchlich, während S in den Prämissen nicht vorhanden ist; Der Beweis zeigt also, dass wir aus widersprüchlichen Prämissen absolut alles als Schlussfolgerung ableiten können.

Mit diesem logischen Gesetz können wir S einfacher ableiten:

1) und 2) : wie oben

3) R --- von 1)

4) R ∧ ¬ R --- aus 3) und 2) durch Konjunktionseinführung

5) ⊢ R ∧ ¬ R → S --- Ex falso quodlibet

6) S --- aus 4) und 5) von Mmodus ponens .

Anmerkung : Ex falso quodlibet ist intuitionistisch gültig. Für Logiken, die dies nicht zulassen, siehe Parakonsistente Logik .

Ja, aber wie macht der Schluss „Es schneit“ überhaupt Sinn? Ich denke, es wäre angemessener, wenn es "Es ist nicht bewölkt" wäre.
@user963241 - weil die beiden Prämissen R ∧ C und ¬ R (schon) widersprüchlich sind .
In diesem Fall könnte ich alles Unsinnige zum Schluss bringen und das Argument wäre gültig.
@ user963241 - das ist passiert ... S war nicht in den Prämissen vorhanden: Der Beweis zeigt also, dass Sie aus widersprüchlichen Prämissen absolut alles als Schlussfolgerung ableiten können.
Ich verstehe nicht nur, wie es überhaupt logisch Sinn macht.
@user963241 - Sie können diesen Beitrag für die klassisch äquivalenten Regeln zum Umgang mit Widersprüchen und Verneinung sehen .
Aber der Abschluss könnte auch ein beliebiger Brief sein, der in den Räumlichkeiten vorhanden war. Kann ich solche Situationen irgendwie erkennen und vermeiden?
Eine der Nebenwirkungen der Regeln der Aussagenlogik ist, dass Sie mit diesem System alles beweisen können, wenn Sie jemals einen Widerspruch annehmen können. Es ist nur eine Eigenart der Art und Weise, wie die formale Sprache definiert ist (viele unserer Logiksysteme tun dies ... ein Grund, warum Logik manchmal ein gefährliches Werkzeug sein kann). Zwei Ansätze, die dies vermeiden können: Der erste ist, darauf zu achten, welche Axiome Sie "unerschütterlich für wahr halten", denn wenn sich dort ein Widerspruch einschleicht, ist das eine schlechte Nachricht (solche Widersprüche können nur als Ergebnis von Axiomen auftreten , kein Trick im Beweis selbst) ...
... der zweite Ansatz besteht darin, zu erkennen, dass eine Schlussfolgerung wie "es schneit" nur dann "nützlich" ist, wenn die Axiome wahr sind. Sie können immer hypothetische Situationen untersuchen, wie die hier, wo es tatsächlich regnet und nicht regnet, aber sie gelten nicht für die Realität, bis Sie tatsächlich einen Ort finden, an dem die Aussage und ihre Negation sicher beide als wahr angenommen werden können (was Es gibt ein philosophisches Gesetz aus der Zeit des Aristoteles, das davon ausgeht, dass dies in der realen Welt unmöglich passieren kann).
Sie können dies jederzeit als „wenn“-Aussage umformulieren, wodurch die Schlussfolgerung aus den Axiomen resultiert. Sie können sagen "Wenn (es regnet und bewölkt ist) und (es regnet nicht), dann (es schneit)" und diese Aussage mit dem oben geschriebenen Beweis verteidigen. Sie werden jedoch Schwierigkeiten haben, Situationen zu finden, in denen Sie diese (wahre) Aussage anwenden können, da sie nur gilt, wenn es regnet und nicht regnet.

Kant hat diese Frage an verschiedenen Stellen aufgegriffen, etwa in der Kritik der reinen Vernunft , A 789-91|B 817-19. Das Hauptproblem dieser apagogischen Argumente ist, dass es subjektive und/oder unvollständige Vorannahmen geben kann, weil wir zum Beispiel eine vergessen haben oder einfach gar nichts davon wissen können. Das Ergebnis ist, dass die (logische) Wahrheit dieses Beweises innerhalb der Gesetze der Logik gesehen werden kann, aber die (empirische) Wahrheit kann nicht so verstanden werden, dass sie Wissen im engeren Sinne hervorbringen könnte . Für die Korrektheit dieser Art von Beweisen kann man nicht mehr sagen als „Es ist logisch richtig“.

Die empirische Wahrheit dieser Beweise, verstanden als Wissen über die Welt, beruht auf der empirischen Wahrheit und Vollständigkeit der Voraussetzungen. Deshalb kann mit diesen Mitteln argumentiert werden, aber nur für die Möglichkeit der Voraussetzungen , wenn die Konklusion eine davon enthält (= nicht widersprüchlich), nicht die Wahrheit.

Es ist ein grundlegendes Problem dieser Art des Beweises. Zur logischen Richtigkeit dieses Beweises siehe oben. Besonders der Punkt „aus einem Widerspruch lässt sich alles nachvollziehen“.

Lassen Sie uns versuchen, es für Sie sinnvoll zu machen.

Ich bin sicher, Sie hatten Zeiten, in denen es geregnet und bewölkt war.

Ich bin sicher, Sie hatten auch Zeiten, in denen es nicht geregnet hat.

Ist Ihnen schon einmal die Situation begegnet, dass es (regnete und bewölkt) und gleichzeitig (nicht regnete) war? Ich glaube nicht. Es ist nicht möglich.

Sind Sie jemals der Situation begegnet, dass es (regnete und bewölkt) war und gleichzeitig (nicht regnete) UND gleichzeitig nicht schneite? Ich glaube nicht. Das hast du nie und das wirst du auch nie. Es ist genauso unmöglich.

Also jedes Mal, wenn es gleichzeitig (regnet und bewölkt) und (nicht regnet) schneit. Es wird nie passieren, dass dies nicht stimmt.

OK, normalerweise, wenn wir richtig sagen "wenn A und B, dann C", werden Sie feststellen, dass es eine logische Verbindung zwischen A, B und C gibt. C wird oft von A und B verursacht. Zum Beispiel A = "Ich gehe durch die Regen", B = "Ich habe keinen Regenschirm", C = "Ich werde nass".

Es gibt Fälle, in denen A oder B irrelevant sein könnten: A = „Ich gehe ohne Regenschirm durch den Regen“, B = „Heute ist Donnerstag“, C = „Ich werde nass“. Dies gilt immer noch, obwohl B völlig irrelevant ist: Aber immer wenn "wenn A, dann C" wahr ist, wird auch "wenn A und B, dann C" wahr sein, egal was B ist.

Eine andere unerwartete Situation tritt auf, wenn C immer wahr ist. A = „Ich gehe durch den Regen“, B = „Ich habe keinen Regenschirm“, C = „Der Name des Tages endet mit Y“. Es ist wahr, weil C sowieso wahr ist, also ist "wenn A und B, dann C" wahr, was auch immer A und B sind. (Interessant, wenn B = "Heute ist Mittwoch". C ist immer wahr, aber es ist auch wegen B wahr).

Und schließlich die Situation, die Sie hier haben: A und B können nicht gleichzeitig wahr sein. In diesem Fall ist "wenn A und B, dann C" wahr, egal was C ist.

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