Lass „r“ bedeuten „es regnet“ und „s“ bedeutet „es schneit“.
"->" ist "impliziert"; „V“ ist „oder“ (einschließlich); "~" ist "nicht"; "^" ist "und"
Hier ist der "Beweis":
(1) (r->s)V(s->r) ist wahr, weil es eine Tautologie ist (Wahrheitstabellen sagen, dass es immer wahr ist)
Nun sagen wir, es regnet und schneit heute nicht:
(2 ) r^~s
(3) ~(r->s) aus (2) durch Wahrheitstabelle
(4) s->r aus (1) und (3)
Aber es ist nicht wahr, dass "wenn es schneit, es regnet", wie (4) sagt; Es gibt Tage im Winter, an denen es schneit, aber nicht regnet. Also wo bin ich falsch gelaufen?
Sie haben beobachtet, dass es Tage gibt, an denen es schneit, aber nicht regnet – wo ~r&s, in direktem Widerspruch (zweimal!) mit dem Axiom (2) . Wir können nur schlussfolgern, dass diese Tage nicht von diesem Axiom oder einem System von Axiomen, das es enthält, modelliert werden.
An Tagen gemäß (2) schneit es nicht, und daher bleibt s→r leer. (Siehe gegen Ende eines verwandten Beitrags über bedingte Sätze in der Satzlogik ).
Wir „arbeiten“ mit klassischer Logik, wenn wir davon ausgehen, dass r ∧ ~s äquivalent zu : ~(r → s) ist [also : (r → s) äquivalent zu : ~(r ∧ ~s) ].
Auch die Tautologie : (r → s) ∨ (s → r) (genannt: Dummettsches Gesetz ) ist nur in der klassischen Logik gültig.
Wenn wir nun die obige Äquivalenz auf die Prämisse (1) anwenden, können wir sie umschreiben als:
~(r ∧ ~s) ∨ ~(s ∧ ~r) .
Nachdem wir angenommen haben: (r ∧ ~s) als Prämisse (2), sind wir durch den disjunktiven Syllogismus "gezwungen" zu schließen mit:
~(s ∧ ~r)
das ist genau:
(s → r) .
Kommentar
Wenn Sie den "Kontext" der klassischen Logik annehmen, gibt es in Ihrer Argumentation keine Schritte, "wo Sie einen Fehler gemacht haben".
Unter Annahme der Tautologie (1) haben Sie die Disjunktion zwischen den beiden Alternativen angenommen:
"nicht (Regen ohne Schnee)", "nicht (Schnee ohne Regen)".
Dies ist eine Tautologie, dh eine logische Wahrheit ; daher muss es in jeder "Situation" wahr sein.
Dann haben wir Prämisse (2) :
„Heute regnet es, aber es schneit nicht“
das ist keine logische Wahrheit; es ist ein "kontingenter" Satz, der eine tatsächliche Situation beschreibt: heute haben wir Regen ohne Schnee.
Durch logische Schritte haben wir mit (4) geschlossen:
"wenn es schneit, dann regnet es".
Aber wir müssen uns eines Irrtums enthalten: (4) ist eine logische Konsequenz aus (1) und (2). Das bedeutet, dass es immer dann wahr sein muss, wenn (1) und (2) zutreffen.
Aber (2) ist keine logische Wahrheit, dh es ist nicht in jeder möglichen Situation wahr; somit ist auch die Schlussfolgerung des (gültigen) Arguments kein logisches Gesetz, dh sie gilt nicht in jeder möglichen Situation.
Wir können schlussfolgern, dass (4) in der durch (2) „beschriebenen“ Situation wahr ist [(1) ist einflussreich, aufgrund der Tatsache, dass es „überall“ wahr ist; nicht, dass es in jeder möglichen Situation wahr ist: Sie haben bemerkt dass "es im Winter Tage gibt, an denen es schneit, aber nicht regnet".
Das ist die „Lösung“ des Rätsels.
Indem wir (2) annehmen, legen wir uns auf die Falschheit von s fest, denn der einzige Weg, (r ∧ ~s) zu erfüllen, ist , wenn sowohl r als auch ~s wahr sind , dh wenn r wahr und s falsch ist .
Nachdem wir die klassische Logik angenommen haben, erlaubt uns die Tatsache, dass s falsch ist , - durch die Wahrheitsbedingungen für die Bedingung - zu behaupten, dass (s → r) wahr ist .
Sie haben das Zeitelement fälschlicherweise in Ihre Argumentation eingeführt und verwechseln Aussagen der Art , wie es jetzt schneit, mit Aussagen der Art , wie es jedes Mal schneit .
Ihre „R“-Aussage sollte eigentlich lauten , es regnet jetzt und „S“ , es schneit jetzt .
Entweder es regnet jetzt -> es schneit jetzt oder es schneit jetzt -> es regnet jetzt . Wieso den? Weil alle Dinge eine wahre Aussage implizieren und eine falsche Aussage alle Dinge impliziert. Wenn es jetzt regnet, ist das wahr, dann wird jede andere Aussage dies implizieren. Wenn es falsch ist, impliziert es jede andere Aussage (einschließlich es schneit jetzt ).
In keinem Fall haben wir jedoch einen wesentlichen Zusammenhang zwischen Regen und Schnee festgestellt. R -> S bedeutet NICHT jedes Mal, wenn es regnet, es schneit .
Kurz gesagt, Sie haben dem logischen System mitgeteilt, dass es nicht schneit. Ihre Aussage (4) ist nur das Prinzip der Explosion in Aktion: Wenn es schneit (und wie Sie dem System bereits gesagt haben, schneit es auch nicht), dann ist Schwarz Weiß, ich bin Papst und ja, es ist auch regnen.
Wenn 'A ist falsch' als Prämisse genommen wird, dann ist 'A-> was auch immer du willst' ein Theorem, weil die Bedingung niemals erfüllt ist.
Edit: Hier ist ein Beweis
(1) ~A
(2) ~A v Was auch immer du magst (Durch Disjunktionseinführung)
(3) A-> Was auch immer Sie mögen (durch materielle Implikation)
Es gibt ein einfacheres Argument, das zu denselben Schwierigkeiten führt.
Angenommen, es schneit heute nicht "~s". Dann gegeben "wenn nicht s, dann wenn s, dann r" [~s->(s->r)] als Axiom oder Theorem (These) und Loslösung oder "modus ponens", dann folgt daraus, dass "wenn es schneit es heute, dann regnet es heute." Das führt zu den gleichen Schwierigkeiten, oder? Nun, die abgeleitete Aussage hier tritt im Rahmen der Annahme ~s auf. Formeller:
axiom 1 [~s->(s->r)]
assumption 2 | ~s
detachment (2, 1) 3 | (s->r)
Oder Sie könnten auf diesem Weg dorthin gelangen:
axiom 1 [r->(s->r)]
assumption 2 | r
detachment (2, 1) 3 | (s->r)
Beachten Sie jedoch, dass diese Schlussfolgerungen hier nur im Rahmen einer Annahme gelten. Sie bleiben nicht außerhalb des Rahmens irgendeiner Annahme. Als Sie dies schrieben: „Aber es ist nicht wahr, dass „wenn es (heute) schneit, regnet es (heute)““, sprachen Sie außerhalb des Rahmens von Annahmen darüber, ob es (heute) schneit oder (heute) regnet. Sie haben einen Fehler gemacht, indem Sie den Umfang der gezogenen Schlussfolgerungen vergessen haben.
Denken Sie daran, dass Implikationen im Gegensatz zum weit verbreiteten (falschen) Sprachgebrauch nichts mit Ursache und Wirkung zu tun haben.
Regen => Bewölkt
"Es regnet bedeutet, dass es bewölkt ist" bedeutet nicht, dass Regen Bewölkung verursacht oder dass Bewölkung (an sich) Regen verursacht.
Es bedeutet nur, dass es nie der Fall ist, dass es sowohl regnet als auch nicht bewölkt ist. Jede andere Möglichkeit ist erlaubt: Regen und Bewölkung, kein Regen und Bewölkung oder kein Regen und Bewölkung.
Alternativ können wir sagen, dass Regen eine hinreichende Bedingung für Bewölkung ist, oder dass Bewölkung eine notwendige Bedingung für Regen ist.
Wir definieren A => B so, dass es einfach ~[A und ~B] oder äquivalent ~A oder B bedeutet.
Daher können wir [R => S] oder [S => R] intuitiver umschreiben als [R und ~S] => [~S oder R].
Eine einzelne Implikation dieser Form ist normalerweise einfacher zu lesen.
Ich glaube, dass Ihr Argument als formale (klassische) Logik vollkommen richtig ist.
Sie wollen eine Disjunktion AV B beweisen.
Sie tun dies, indem Sie nicht (A) annehmen und B schließen.
Ihre Verwirrung entsteht, weil Sie den Aussagen A ( = r-> s ) und B ( = s -> r ) Bedeutung zuweisen.
Aus logischer Sicht spielt es keine Rolle, ob Regen Schnee oder Schnee Regen bedeutet. Tatsächlich sind diese beiden Aussagen in ihrer üblichen Verwendung offensichtlich falsch.
Der Konditional, mit dem Sie es hier zu tun haben, ist der materielle Konditional. Seine Wahrheitstabelle ist wie folgt
s r s->r
T T T
T F F
F T T
F F T
Also ist (4) sicher wahr: Es ist ein materieller Konditional mit einem falschen Antezedens; Nichts daran, dass s nicht der Fall ist, kann es falsch machen, dass wenn s dann r ist. Die Verwirrung über diese Zeile der Wahrheitstabelle des materiellen Konditionalsatzes ist bei Philosophy SE immer wieder anzutreffen. Schauen Sie sich um und Sie werden andere verwandte Fragen finden.
Doug Spoonwood
Doug Spoonwood