Was bedeutet es, dass eine Behauptung eine Behauptung der Nichtexistenz ist?

Diese Frage ist in eine Diskussion übergegangen. So wie ich die Diskussion verstehe, dreht sich alles um die Richtigkeit der Aussage

  1. Nichtexistenz kann niemals bewiesen werden.

und was genau eine Behauptung der Nichtexistenz ausmacht.

Insbesondere wenn eine Aussage der Form A existiert nicht in eine äquivalente Aussage der Form B umformuliert werden kann , bedeutet dies, dass die erstgenannte Aussage nicht wirklich eine Behauptung der Nichtexistenz ist?

Wenn eine Aussage der Form A existiert in eine äquivalente Aussage der Form B existiert nicht umformuliert werden kann , bedeutet dies, dass die erstgenannte Aussage nicht wirklich eine Existenzbehauptung ist?

BEARBEITEN: Betrachten Sie die folgenden zwei gleichwertigen Anweisungen

  1. Es gibt keine größte Primzahl.
  2. Zu einer gegebenen Primzahl p gibt es eine Primzahl q größer als p.
Können Sie ein Beispiel für ein solches Paar "A existiert nicht" = "B existiert" geben?
Es fällt mir wirklich schwer, diese Frage zu verstehen. Beispiele wären hilfreich, und versuchen Sie vielleicht, uns hier etwas Kontext zu geben - wie bringt es Ihr Studium der Philosophie voran, wenn Ihnen jemand dies erklärt?
Betrachten Sie die Aussage: Es gibt keine größte Primzahl. Betrachten Sie nun die Aussage: Zu jeder Primzahl p gibt es eine Primzahl q, so dass q größer als p ist. Diese Aussagen sind gleichwertig. Einer ist eine Behauptung, nominell, dass etwas existiert, und einer ist eine Behauptung, dass etwas nicht existiert.
@YequalsX: Das klingt einfach so, als wäre Mathematik nur eine wirklich gute Philosophie, bei der alle Mehrdeutigkeiten beseitigt sind. Wenn Sie in Mathematik eine Behauptung aufstellen, müssen Sie sie beweisen (ansonsten ist es nur eine Vermutung).
Vielleicht sollte ich die Frage umformulieren. Was ist die Definition dafür, dass eine Behauptung eine Behauptung der Nichtexistenz ist? Welche Kriterien müssen erfüllt sein. Wenn außerdem eine Behauptung der Form „A existiert nicht“ logisch äquivalent zu einer Behauptung der Form „B existiert“ ist, dann ist es immer noch eine Behauptung der Nichtexistenz und umgekehrt. Einige Ansprüche können umformuliert werden. Manche Leute glauben, dass Nichtexistenz niemals bewiesen werden kann. Gilt dies auch für Aussagen, die Existenzbehauptungen gleichkommen?
@mitch: Ich bin Mathematiker und das einfachste Beispiel, das mir einfällt, kommt aus der Mathematik. Lassen Sie mich noch einen Stich nehmen. Es gibt eine Entität, die John ermordet hat. Betrachten Sie nun die Aussage: Es gibt keine natürliche Todesursache für Sally.
Wir können aus diesen beiden Aussagen keine Schlussfolgerungen ziehen. Meinten Sie "John" in der zweiten Aussage? Und dieses Beispiel sollte wirklich in der Frage selbst enthalten sein, wenn es Teil dessen ist, was Sie fragen.
Würde aus Neugierde die hinzugefügte Aussage A oder B existiert ausreichen, um den Beweis der Existenz von B angesichts der Nichtexistenz von A neu zu formulieren ? Würde diese hinzugefügte Aussage bedeuten, dass B existiert, wenn A nicht existiert ? Mit anderen Worten, interpretieren Sie orals einschließend oder ausschließend?

Antworten (6)

Einige Existenzansprüche sind mathematisch: Ist ein gegebener Satz von Eigenschaften konsistent? Gibt es eine Zahl/ein Objekt, das eine bestimmte Reihe von Einschränkungen erfüllt? Egal, ob Sie das Positive oder das Negative beweisen wollen, die Beweislast liegt beim Antragsteller, Sie müssen sich keine Gedanken darüber machen, ob es sich um positive oder negative Existenz oder Nichtexistenz handelt. Es kann immer noch ein Problem mit Schwierigkeiten geben (oder wie Ihr Beispiel zeigt, sind Probleme mit der Konstruierbarkeit und umgekehrten mathematischen - logischen - Axiomen (wie "p oder nicht p") zulässig).

Andere Behauptungen sind wissenschaftlicher Natur: Gibt es eine Instanz in der „echten“ Welt? Hier sind die Eigenschaften nicht widersprüchlich, aber auch nicht notwendig. Tanzt ein Einhorn auf meinem Kopf? (Beweise zeigen nicht). Gibt es ein Atom mit der Ordnungszahl 120? (Theoretisch ist es möglich, aber wir können nicht das gesamte Universum scannen, und unsere derzeitige Technologie bringt uns nur so weit).

Für Ihr Hauptbeispiel spielt also Existenz oder Nichtexistenz keine Rolle (jede Quantifizierung kann mit ein paar zusätzlichen Negationen von existentiell in universell oder wieder zurück umgewandelt werden).

Für Ihr Beispiel „Mörder“ vs. „keine natürliche Ursache“ spielen Sie immer noch mit den Eigenschaften der Konzepte, was … mathematisch ist.

Willst du damit sagen, dass es kein Einhorn gibt, das auf meinem Kopf tanzt, ist ein grundlegend anderes Konzept (Konstruktion?), als dass es keine Primzahl gibt, die größer ist als alle anderen ? Was macht letzteres grundsätzlich beweisbar, ersteres aber nicht? Oder macht eine Aussage einen Anspruch auf Nichtexistenz, die andere aber nicht? Stimmen Sie der Ansicht zu (oder nicht zu), dass Behauptungen der Nichtexistenz niemals bewiesen werden können? Vielen Dank für Ihre Antwort.
@YequalsX: 1 - Ja, die Frage "Dancing on Head" unterscheidet sich meiner Meinung nach grundlegend von der Frage "Primzahlen" und auch der Frage "Atomic #" (alle drei). 2 - Alle Fragen sind durch verschiedene Methoden beweisbar, die 'Einhorn'-Frage durch Ansehen (und widerlegbar, weil das Ansehen auch nichts sagt), die 'Primzahl'-Frage durch mathematischen Beweis oder so, die 'Ordnungszahl'-Frage können wir nur beweisen, indem wir eine finden oder eine erstellen, aber wir können die Nichtexistenz nicht beweisen, es sei denn, wir zeigen, dass die Eigenschaften inkonsistent sind. Die letzte qn sollte durch diese Antworten beantwortet werden (manchmal ja, manchmal nein).
@YequalsX: um Mitch keine Worte in den Mund zu legen, aber die größte Primaussage wird mit deduktiver Logik bewiesen und die Einhornaussage wird mit induktiver Logik bewiesen. (Aber Sie könnten einen deduktiven Beweis konstruieren: Wenn ein Einhorn auf meinem Kopf tanzt, würde ich es sehen. Ich sehe kein Einhorn, das auf meinem Kopf tanzt, also existiert es nicht.)
@Mitch: Sie würden sagen, dass alle drei Beispiele Beispiele für Nichtexistenz sind. Die Natur der Objekte (oder das Konzept der Existenz der fraglichen Objekte) unterscheidet die Fragen grundlegend voneinander. Manchmal kann man Nichtexistenz beweisen und manchmal nicht. Es hängt von der Situation ab. Ist das eine genaue Interpretation dessen, was Sie sagen?
@YequalsX: Ja, es hängt von der Situation ab. Ich bezweifle, dass meine Kategorisierung die beste ist, aber als allererste Annäherung können analytische Fragen Beweise für Existenz oder Nichtexistenz haben, aber erfahrungsbezogene Fragen (bei denen die Eigenschaften nicht widersprüchlich sind und der Suchraum nicht endlich ist) habe ich nicht denken, Sie können ein Negativ beweisen. B. "Ist es, dass es nicht mehr als 8 Planeten gibt (vorausgesetzt, die derzeitige feste Definition)?", "Ich weiß es nicht, ich kann es nicht wissen, ich habe nicht überall nachgesehen und ich kann nicht sicher sein, dass ich' habe überall gesucht."
Es gibt kein Einhorn, das auf deinem Kopf tanzt, ist auch ein grundlegend anderes Konzept als "Es gibt keine Einhörner". Im ersten Fall erkennen Sie an, dass Einhörner existieren könnten, nur dass es keines auf Ihrem Kopf gibt.
@Chad: Ich würde sagen, sie sind unterschiedlich, ja, aber nicht grundlegend. Der Suchraum ist viel größer (er ist unhandlich und möglicherweise unendlich), daher stimme ich zu, dass der Beweis "Es gibt keine Einhörner" schwierig oder unmöglich ist. (Formalisiert gibt es jedoch kaum einen Unterschied außer der zusätzlichen Einschränkung, dass 'x' auf meinem Kopf tanzt. Was alles bedeutet, dass -irgendein- Nichtexistenzbeweise möglich sind.
Sie sind unterschiedlich, da der erste die Existenz von Einhörnern anerkennt, aber sagt, dass es hier keinen gibt. der andere nimmt den Umfang aus der Gleichung heraus. Der zweite ist der einzige wirkliche Anspruch auf Nichtexistenz.

Dies ist im Grunde eine Frage der Mengenlehre .

Die Aussage „X existiert nicht“ lässt sich leicht übersetzen in „X ist kein Mitglied der Menge der Dinge mit der Eigenschaft der Existenz“. Die Existenz ist dasselbe: "X ist ein Mitglied der Menge der Dinge mit der Eigenschaft Existenz."

Ganz einfach, oder? Woher kommt also das Problem?

Das Problem ergibt sich aus der Tatsache, dass wir die Menge der Dinge, die die Eigenschaft der Existenz haben, nicht aufgezählt haben. Wenn ja, wäre es trivial, die Nichtexistenz zu beweisen.

Die meisten Menschen glauben, dass die Menge der existierenden Dinge niemals aufgezählt werden kann, da das Universum groß genug ist, um dies praktisch unmöglich zu machen. Daher ist es praktisch unmöglich, die Nichtexistenz zu beweisen.

Grundsätzlich stimme ich dem zu, was Sie geschrieben haben. Es ist schön formuliert. Ich glaube nicht, dass es richtig ist, pauschal zu glauben, dass Nichtexistenz niemals bewiesen werden kann. Zum Beispiel glaube ich beweisen zu können, dass es (zu diesem Zeitpunkt) auf meinem Kopf kein Objekt mit einer Masse von 200 Millionen Kilogramm gibt.
@YequalsX: Ja, Sie können das Nichtvorhandensein eines schweren Gewichts auf zwei Arten beweisen, entweder indem Sie nachsehen (etwas so Schweres muss bestimmte sichtbare Zeichen seines Aussehens haben, und diese Zeichen sind nicht greifbar) oder indem Sie logisch feststellen, dass dies der Fall ist Ein Gewicht auf dem Kopf ist unvereinbar mit dem Leben. Hm..vielleicht sind das die gleichen?
@YequalsX: Es gibt ein Objekt auf deinem Kopf, das diese Masse hat, aber es ist unsichtbar und weder von der Schwerkraft noch von der Trägheit beeinflusst.
@Lennert: Du erhebst jetzt einen Existenzanspruch. Ich entnehme Ihren früheren Schriften, dass die Beweislast bei Ihnen liegt. Also beweise es. Wenn Sie sich auf diese Art des Denkens einlassen, dann ist Ihre wahre Position, dass nichts bewiesen werden kann. In diesem Fall sollten Sie dies angeben und nicht die schwächere Behauptung, dass Nichtexistenz nicht bewiesen werden kann. Was auch immer Sie für einen gültigen Beweis von etwas halten, kann ich immer erwidern: "Beweisen Sie, dass nicht alles eine Illusion ist." Du kannst nicht. Aber dann sind wir in den Abgrund der Unvernunft abgetaucht und es kann und soll nichts mehr gesagt werden.
Es fällt mir viel schwerer, diese mengentheoretische Erklärung zu akzeptieren. Es nimmt die Definition der Existenz als selbstverständlich hin. Gibt es zum Beispiel diesen Satz? Gibt es ein Konzept? Eine Zahl oder eine Farbe, unabhängig von einem bestimmten Objekt?
@mixedmath: Hast du speziell auf mich geantwortet? Ich glaube, dass die natürlichen Zahlen existieren. Ich glaube nicht, dass natürliche Zahlen anders existieren als Äpfel. So nehme ich das Universum wahr. Es ist meine Überzeugung, dass Konzepte existieren.
@YequalsX: Ja, ich erhebe einen Existenzanspruch. Sie verlangen von mir, meine Existenzbehauptung zu beweisen. Nun, ich kann natürlich nicht, weil es nicht wahr ist. Kannst du es widerlegen? Nein kannst du nicht. Das sollte für einen Cent reichen. "Beweisen Sie, dass nicht alles eine Illusion ist." - Das sind nur Wortspiele. Wie Sie sagen, sind Sie in den Abgrund der Unvernunft eingetreten. Also mach das dann nicht.
Tatsächlich sind Sie in diesen Abgrund eingetreten, als Sie sagten: "Es gibt ein Objekt auf Ihrem Kopf, das diese Masse hat, aber es ist unsichtbar und weder von der Schwerkraft noch von der Trägheit beeinflusst." Ihre Position ist im Wesentlichen gleichbedeutend mit nichts, was bewiesen werden kann. Jeder kann das Spiel spielen, das ich fett zitiert habe. Ein solches Spiel macht jeden Beweis ungültig, wenn man es für gültig hält. Ich weise nur darauf hin, dass man im Interesse der Konsistenz das Spiel nicht ablehnen sollte, wenn man es auf Beweise der Existenz anwendet, wenn man es um Beweise der Nichtexistenz spielt.
@YequalsX: Nein, diese Position ist nicht gleichbedeutend damit, dass nichts bewiesen werden kann. Es ist gleichbedeutend damit, dass Tatsachenbehauptungen der Nichtexistenz nicht bewiesen werden können. Der Punkt meiner Aussage ist, dass Sie sie nicht als falsch beweisen können. Sie verlangen jetzt von mir , es zu beweisen. Nun, das sollte es mir ermöglichen, "QED!" zu sagen, aber Sie scheinen die Implikation nicht zu verstehen. Sie fragen mich jetzt nach einem Existenzbeweis . Ich stimme zu, dass ich die Beweislast trage. Sie sind nicht einverstanden. Deshalb verlange ich von Ihnen, dass Sie beweisen, dass die Aussage falsch ist. Wenn Sie es nicht können, dann QED, die Beweislast liegt bei der Existenz .
@Lennart: Sie scheinen zu glauben, dass man beweisen kann, dass man einen Apfel in der Hand hat. Aber das kann man nicht beweisen, dass man keinen Apfel in der Hand hat. Sie scheinen zu akzeptieren, dass es gültig ist zu sagen: "Vielleicht ist der Apfel unsichtbar, er wird nicht von der Schwerkraft oder Trägheit beeinflusst." Es steht Ihnen frei, sich auf diese Art von Argumentation einzulassen. Es ist widersprüchlich, dass Sie diese Art von Argumentation nicht akzeptieren, wenn es um Existenzbeweise geht. Man kann sagen: "Du hast nicht wirklich einen Apfel in deiner Hand, das ist eine Illusion." Ich denke, wenn Sie konsequent wären, würden Sie glauben, dass nichts bewiesen werden kann.
@YequalsX: Du musst beweisen, dass es nicht existiert. Wenn Sie es nicht können, sollten Sie, um intellektuell ehrlich zu sein, zugeben, dass Sie es nicht können. Jeder Kommentar von Ihnen, der die Nichtexistenz des Objekts auf Ihrem Kopf nicht beweist, unterstützt meinen Standpunkt nur weiter. Und das gilt für diesen magischen, schwerelosen, unsichtbaren Apfel, den ich in meiner Hand habe. Und das unsichtbare Einhorn in meinem Garten. Sie sagten, Sie können beweisen, dass sie nicht existieren. Also mach es. Zu behaupten, dass sie "ungültig" oder "unvernünftig" sind, hilft nicht, das ist nur ein Plädoyer für Ockhams Rasiermesser. Von mir zu verlangen, dass sie existieren, gibt zu, dass ich recht habe.
@YequalsX: "Du hast nicht wirklich einen Apfel in deiner Hand, das ist eine Illusion." - Nun, das ist eine positive Existenzbehauptung, nämlich eine Behauptung, dass das, was ein Apfel zu sein scheint, kein Apfel ist. Dann beweisen Sie es. Alle Ihre Argumente gegen meinen Standpunkt, einschließlich dieses, schieben nur die Beweislast von der Nichtexistenz auf die Existenz und beweisen damit erneut, dass ich Recht habe: Sie können die Nichtexistenz nicht beweisen. Sie argumentieren ständig für meinen Standpunkt, Sie erkennen ihn nur nicht.
@Lennart: Du hast behauptet, dass man beweisen kann, dass man einen Apfel in der Hand hat. Ich weise nur darauf hin, dass man erwidern kann: "Du kannst nicht beweisen, dass du einen Apfel in der Hand hast, weil das alles eine Illusion sein könnte." Es ist die gleiche Art von Spiel, das Sie mit dem gespielt haben. Es gibt ein Objekt auf Ihrem Kopf, das diese Masse hat, aber es ist unsichtbar und weder von der Schwerkraft noch von der Trägheit beeinflusst. Kommentar. Ich weise nur darauf hin, dass diese Art von Argumentation alle Aussagen unbeweisbar macht. Diese Art der Widerlegung für Behauptungen der Existenz, aber nicht für Nichtexistenz abzulehnen, ist widersprüchlich.
@YequalsX: Und ich habe darauf hingewiesen, dass Sie die Existenz des Apfels anerkennen, wenn Sie sagen "Der Apfel ist eine Illusion". Es wird dann zu einer Diskussion über die Natur des Apfels, aber Sie haben seine Existenz anerkannt . Und nein, diese Aussage macht nicht alles unbeweisbar. Es macht nur die Nichtexistenz unbeweisbar. Das ist der springende Punkt.
@Lennart: Ich dachte, das Wesentliche wäre klar. Sie behaupten, es sei möglich zu beweisen, dass Sie einen Apfel in der Hand haben. Verwenden Sie Ihre Argumentation Es gibt ein Objekt auf Ihrem Kopf, das diese Masse hat, aber es ist unsichtbar und weder von der Schwerkraft noch von der Trägheit beeinflusst. Einen ähnlichen Einwand kann ich gegen Ihren Beweis über den Apfel anbringen. Ich kann sagen: Deine Sinne täuschen dich und du hast nichts in der Hand. Sie scheinen zu glauben, dass es gültig ist, einem Beweis der Nichtexistenz eine Gegenaussage entgegenzusetzen, die möglicherweise wahr ist, aber nicht, wenn es um Existenzbeweise geht. Es ist inkonsistent.
@YequalsX: Das ist überhaupt kein ähnlicher Einwand. Sie formulieren jetzt nur das Argument "Der Apfel ist eine Illusion" um, das nicht gültig ist. Ich sehe und fühle den Apfel. Sie sehen und fühlen den Apfel. Maschinen, die wir bauen, messen den Apfel. Wenn uns unsere Sinne täuschen, dh der Apfel eine Illusion ist, ist das nur eine Aussage über die Natur des Apfels. Und das wird auch so bleiben. Diese Argumentation ist bereits behandelt und fruchtlos. Sie haben eine Sackgasse erreicht, es ist sinnlos, es zu wiederholen, Sie liegen falsch, und ich habe erklärt, warum.
Mein Einwand, wenn Sie sagen "Der Apfel existiert nicht", ist "Er existiert, Sie haben ihn nur nicht entdeckt". Beispiele für diese Art von Äpfeln sind zum Beispiel das Top-Quark, von dem angenommen wurde, dass es existiert, aber erst 1995 entdeckt wurde. Laut Ihnen wurde bis 1995 nachgewiesen, dass das Top-Quark nicht existiert (obwohl jeder wusste, dass es existiert). , es wurde einfach nicht gefunden). Ihr Einwand lautet „Obwohl Sie es erkennen können, existiert es nicht wirklich “, was nur dumme Wortspiele sind und in kindische Behauptungen zerfallen, dass die Realität nicht real ist, und anderem Unsinn. Also neue Frage: Existiert das Top-Quark oder nicht?
@Lennart: Sie haben geschrieben, Ihr Einwand lautet "Obwohl Sie es erkennen können, existiert es nicht wirklich", was nur dumme Wortspiele sind und sich in kindische Behauptungen auflösen, dass die Realität nicht real ist, und anderem Unsinn. Ich dachte genau das, als Sie sagten: Es gibt ein Objekt auf Ihrem Kopf, das diese Masse hat, aber es ist unsichtbar und weder von der Schwerkraft noch von der Trägheit beeinflusst. als Antwort auf meine Behauptung, dass kein Objekt mit einer Masse von 200 Millionen Kilogramm auf meinem Kopf sitzt.
@YequalsX: Nun, vielleicht konnte ich mich jetzt klarer erklären? Oder behaupten Sie, dass das Top-Quark nicht existiert?

Behauptungen der Nichtexistenz sind Behauptungen, dass X nicht existiert. Diese sind zwar nicht beweisbar. Wie Sie selbst anmerken, kann Ihr erster Anspruch als zweiter Anspruch umformuliert werden. Ist es also eine Existenz- oder Nichtexistenzbehauptung?

Naja, auch nicht.

„Es gibt keine größte Primzahl“ lässt sich nicht als Tatsache beweisen, da man dazu alle Primzahlen berechnen müsste, und da diese laut Aussage selbst unendlich sind, kann man das nicht, wenn es stimmt . Sie können es auch nicht als falsch beweisen, da Sie dafür zeigen müssten, dass alle Zahlen über X keine Primzahlen sind, was wiederum unendliche Berechnungen erfordert.

"Für eine gegebene Primzahl p gibt es eine Primzahl q größer als p" wird zu einer beweisbaren Tatsache, sobald Sie "eine gegebene Primzahl p" durch eine bestimmte Zahl wie 7 ersetzen und Sie erhalten "Es gibt eine Primzahl größer als 7". Dies lässt sich leicht beweisen, indem Sie beispielsweise 11 finden. Aber Sie können die allgemeine Aussage nicht beweisen, da Sie dafür testen müssten, ob jede Zahl eine Primzahl ist oder nicht, was unendliche Berechnungen erfordert.

Die Behauptung "es gibt keine größte Primzahl" ist daher überhaupt keine Tatsachenbehauptung, sondern eine theoretische Behauptung und kann nur innerhalb ihres eigenen theoretischen Rahmens als wahr oder falsch bewiesen werden .

Eine echte Tatsachenbehauptung der Nichtexistenz sind solche wie „Es gibt keine schwarzen Schwäne “. Berühmt dafür, sich durch die Begegnung mit schwarzen Schwänen als falsch erwiesen zu haben .

Ich werde genauer sein. Es ist eine beweisbare Tatsache, dass es innerhalb der Menge der natürlichen Zahlen keine größte Primzahl gibt. Es ist eine beweisbare Tatsache, dass es innerhalb der Menge der natürlichen Zahlen zu einer gegebenen Primzahl p eine Primzahl q gibt, die größer als p ist. Das sind Tatsachenbehauptungen. Sie sind nachweisbar. Einer ist ein Anspruch auf Nichtexistenz und einer ist ein Anspruch auf Existenz. Diese Behauptungen sind keine anderen Arten von Tatsachenbehauptungen als die Behauptung, Washington DC sei die Hauptstadt der Vereinigten Staaten.
@YequalsX: Das Umformulieren der Frage führt nicht zu einer anderen Antwort. Sie sollten mir stattdessen sagen, was in der Antwort geklärt werden muss. Sie sind keine Tatsachenbehauptungen, und ich habe versucht zu erklären, warum. Nur zu sagen, dass sie in dieser Situation sachlich sind, ist nicht konstruktiv.
Ihre Überzeugung, dass Aussagen über schwarze Schwäne realer (und/oder sachlicher) sind als Aussagen über die natürlichen Zahlen, ergibt für mich keinen Sinn. Ich bin damit nicht einverstanden. Alle Beweise, egal worum es geht, erfordern einen theoretischen Rahmen, mit dem man arbeiten kann. Insbesondere erfordert es eine Theorie der Logik und Axiome über die Wahrheit und einen Kalkül, um mit dieser Logik zu arbeiten. Eine Aussage über schwarze Schwäne ist nicht mehr oder weniger real und/oder sachlich als eine Aussage über natürliche Zahlen. Zumindest meiner Meinung nach.
@YequalsX: Nein, Existenzbeweise erfordern keinen theoretischen Rahmen. Wenn ich einen Apfel in meiner Hand habe, habe ich einen Apfel in meiner Hand. Es gibt keine Theorie, keinen Rahmen, keine Logik, kein Kalkül, nur Existenz.
Natürlich gibt es einen Rahmen. Es gibt eine implizite Annahme, dass Ihr Sehvermögen genau ist. Die Logik ist, dass Ihr Sehvermögen in diesem Fall genau ist. Deine Augen sehen einen Apfel in deiner Hand. Deshalb gibt es einen Apfel in deiner Hand. Ihre Argumentation folgt einem berühmten Syllogismus. Per Definition des Wortes Beweis erfordert es einen logischen Rahmen, unter dem gültige Schlussfolgerungen gezogen werden können.
Man kann eine Nichtexistenzaussage entweder für Mathematik oder für die physikalische Realität beweisen, wenn der Suchraum endlich ist. Ich habe drei Orangen vor mir. Ich kann beweisen, dass keiner davon ein Apfel ist, indem ich jeden ankreuze.
@lennart: Es gibt keine Beweise für die Unendlichkeit von Primzahlen, die darauf beruhen, dass jede Zahl auf unendlich getestet wird. Alle existierenden Beweise befassen sich mit dieser Unendlichkeit, indem sie die natürlichen Zahlen (oder Teilmengen davon) als eine einzelne Einheit (mit vielen Mitgliedern) oder indem sie die Unendlichkeit überhaupt nicht aufrufen und einen unendlichen Prozess nachahmen (bei gegebener -endlicher Menge - eine neue Primzahl erzeugen). ; dadurch können Sie immer eine weitere Primzahl erhalten, was ein unendlicher Prozess ist).
@YequalsX: Das ist weder ein Rahmen noch eine Logik. Ihre Definition von Beweis ist eine mathematische, die Existenzbeweise ausschließt. Das ist sehr eng und einschränkend.
@Mitch: Ja, Sie haben Recht, Sie können die Nichtexistenz beweisen, wenn der Suchraum endlich ist, was nur in abstrakten theoretischen Rahmen oder unter Hinzufügung von Dingen wie Ockhams Rasiermesser möglich ist. Alle existierenden Beweise für die Unendlichkeit von Primzahlen beruhen auf einem abstrakten mathematischen Rahmen und sind keine faktischen Beweise, sondern theoretische Beweise. Siehe meine Antwort oben. Ein sachlicher Beweis, der in der Mathematik Sinn macht (dh nicht viel), würde das Testen unendlicher Zahlen erfordern. (Siehe meine Antwort oben).
@lennart: Ich denke, wir können uns darauf einigen, dass, wenn der Suchraum "unüberschaubar" ist (wie die Menge der Schwäne), man nicht beweisen kann, dass "es nicht der Fall ist, dass es ein x gibt, so dass P (x) wahr ist", wenn P ist konsistent. Aber das 'Testen unendlicher Zahlen' ist nicht erforderlich (und sowieso nicht machbar). Sehen Sie einen Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen: Niemand führt eine so unendliche Liste von Tests durch.
@Mitch: Alle existierenden Beweise für die Unendlichkeit von Primzahlen beruhen auf einem abstrakten mathematischen Rahmen und sind keine faktischen Beweise, sondern theoretische Beweise . Ein sachlicher Beweis , der in der Mathematik Sinn macht (dh nicht viel), würde das Testen unendlicher Zahlen erfordern. (Siehe meine Antwort oben)
@Mitch: Oder lassen Sie mich das umformulieren: Wie würden Sie die Unendlichkeit von Primzahlen beweisen, ohne irgendeine Form von Algebra zu verwenden ?
@lennart: Sicher, es wäre schwierig, da Sie Primzahl zunächst nicht definieren könnten, geschweige denn einen Beweis. Sie scheinen am "theoretischen Rahmen" festzustecken, wenn wir bereits festgestellt haben, dass es mehr als eine Art von Beweisen für die Existenz (oder Nichtexistenz) gibt, dass "faktische" (erfahrungsbezogene) Beweise immer noch einen theoretischen Rahmen und Beweise für die Nichtexistenz benötigen auf 'sachliche' Informationen können immer noch gemacht werden (wenn der Suchraum endlich ist. Wir haben bereits zugegeben, dass Sie die Unendlichkeit von Primzahlen nicht beweisen können, indem Sie die unendliche Menge testen.
Die Existenz von und unendlich vielen Primzahlen schließt die Existenz einer größten Primzahl nicht aus. Tatsächlich kann ich mit Calculus zeigen, dass ein Prime Infinty (p) = ein Prime Infinty (p + 1). Daher ist eine Primzahl unendlich die größte Primzahl.
Ich würde vorschlagen, dass selbst die Behauptung "es gibt keine schwarzen Schwäne" für einen Vogel-Taxonomen eine theoretische ist. Der wissenschaftliche Name des schwarzen Schwans ( Cygnus atratus ) fängt dieses theoretische Interesse ein. Im Rahmen moderner Biologen sind sie immer noch Schwäne, aber im Rahmen, sagen wir, romantischer Poesie sind sie es wahrscheinlich nicht.
@Mitch: Wir haben keines dieser Dinge festgestellt. Sie behaupten sie, aber sie sind falsch. @ Jon: Poesie kann vielleicht als Rahmen bezeichnet werden. Die Realität ist und kann nicht als Rahmen bezeichnet werden. Obwohl schwarze Schwäne in der Fiktion nicht existieren, existieren sie in Wirklichkeit. Der Unterschied ist selbstverständlich.
Also noch einmal: Unabhängig davon, ob Sie Primzahl ohne Analysis definieren können oder nicht, Tatsache bleibt, dass Sie die Nichtexistenz (oder Existenz) einer größten Primzahl nicht beweisen können, ohne die theoretischen abstrakten Rahmen zu verwenden, die wir alle als Mathematik kennen. Und wenn von Existenz/Nicht-Existenz die Rede ist, handelt es sich um faktische Existenz, nicht um theoretische Existenz. Es ist die faktische Nichtexistenz, die nicht bewiesen werden kann, aber die faktische Existenz kann bewiesen werden. Deshalb trägt derjenige, der eine positive Tatsachenbehauptung geltend macht, die Beweislast.
[Nur damit Sie es wissen, Benachrichtigungen werden nicht an den zweiten oder nachfolgende Benutzer gesendet, die durch atSymbole aufgerufen werden.] Die Realität ist möglicherweise kein Rahmen (es ist schwer zu verstehen, was Sie damit meinen), sondern die Taxonomie, dh die Art und Weise der biologischen Realität kategorisiert ist, ist es mit Sicherheit. Es ist nicht selbstverständlich, dass die Farbe kein Unterscheidungsmerkmal einer Art sein sollte, was bedeuten würde, dass alle Schwäne per Definition weiß sind . Leider müssen wir die Realität immer durch fehlbare Rahmenbedingungen betrachten.
@ Jon: Aber das ist immer noch eine Frage der Art oder Klassifizierung der Sache, was bedeutet, dass die Existenz davon anerkannt wurde. Nochmal QED. :-)

Sie verwenden nur die Existenzbeseitigung. Nimm ∃x an, leite einen Widerspruch ab und fertig. Angenommen, es gibt einen Barber(x) und Shave(x,y) = x rasiert y führt zu der Schlussfolgerung ¬∃x (Barber(x) ∧ ∀y (Shave(x, y) ↔ ¬Shave(y, y))) da es unmöglich ist, dass es einen Barbier gibt, der sich nach dem Gesetz der ausgeschlossenen Mitte weder rasiert noch nicht rasiert, kann die Aussage Shave(x, y) ↔ ¬Shave(y, y) für Shave nicht gelten (c, c) ↔ ¬Rasieren(c, c)

Die Nichtexistenz von etwas kann bewiesen werden, wenn wir mit bewiesen logisch gefolgert meinen, oder wenn wir meinen, dass es nicht gedacht werden kann. Wir können zum Beispiel beweisen, dass eine bestimmte Art von Ding nicht existieren kann, wenn wir bei einer gegebenen Menge von Eigenschaften zeigen, dass sie zusammengenommen zu einem Widerspruch führen, z. B. einem quadratischen Kreis. Einige Beweise für die Nichtexistenz Gottes sind zum Beispiel Beweise für die Nichtexistenz einer bestimmten Art oder Vorstellung von Gott.

Nun zu einer negativen Behauptung mit Beweislast: Natürlich tut sie das, weil die "Negativität" der Behauptung nicht in der Behauptung enthalten ist (Sie können nur "positive" Behauptungen aufstellen, d.h. über einen Sachverhalt, der so und so ist, was ihn zu einem überflüssigen Adjektiv macht). Wenn zum Beispiel jemand eine Behauptung aufstellt, sieht er sich einer Beweislast gegenüber. Das beliebteste Beispiel heute unter Lehnsessel-Intellektuellen ist die Existenz Gottes. In diesem Zusammenhang behaupten einige, dass sie die Nichtexistenz Gottes nicht beweisen müssen, um die Behauptung aufzustellen, dass Gott nicht existiert. Das ist falsch. Sie können behaupten, dass sie keinen Grund sehen, an Gott zu glauben, oder dass sie die Beweise ohne Beweislast nicht überzeugend finden, aber zu behaupten, dass Gott nicht existiert, ist logisch gleichbedeutend damit, eine Behauptung über einen Sachverhalt aufzustellen, in dem Gott nicht nur unnötig, sondern notwendigerweise abwesend ist. Mit anderen Worten, ein Beweis der Nichtexistenz muss zeigen, dass ein Dingkann nicht existieren. Empirische Behauptungen der Nichtexistenz sind lediglich durch Zeit und Raum eingeschränkte Sonderfälle.

Sie müssen weitere Vorschläge hinzufügen, die möglicherweise nicht akzeptiert werden. Du schlugst vor:

(1) A existiert nicht

und

(2) B existiert

Aber (1) hat nichts über (2) zu sagen und umgekehrt , also müssen Sie einen weiteren Satz hinzufügen. Vielleicht:

(3) A oder B existiert

Wenn Sie zeigen könnten, dass (1) richtig ist, dann ist (2) über (3) auch richtig. Aber Sie können (1) nicht beweisen, ob (2) richtig ist, es sei denn, Sie behaupten etwas wie:

(4) Entweder A oder B existiert, aber nicht beide

Dies ist das ausschließliche „oder“, das viel schwieriger zu zeigen ist als das übliche inklusive „oder“ in (3). Binäre Entscheidungen sind in künstlichen Umgebungen (z. B. Computern) üblich, aber in Fällen, in denen binäre Entscheidungen nicht üblich sind, schwieriger zu bestätigen. In der realen Welt ist es schwieriger, etwas zu behaupten wie: entweder Gott existiert oder das Böse existiert, aber nicht beides . Es ist nicht sofort klar, dass Aussagen der Form (4) gegenüber Aussagen der Form (3) zu bevorzugen sind. Intuitiv würden wir das Gegenteil annehmen.

Sie haben auch die Aussage angesprochen: "Nichtexistenz kann niemals bewiesen werden." Das kann trivialerweise als falsch nachgewiesen werden. Ein Standard-Gegenbeispiel wäre die Existenz eines verheirateten Junggesellen, was per Definition falsch ist. Ein anderes Beispiel: Ich habe nicht mindestens eine Million Dollar auf meinem Bankkonto und ich kann es beweisen. Oder: Ich habe keinen Bestseller, den ich geschrieben habe, oder ein Tattoo mit der Aufschrift „Mama“ auf meinem Arm. Sie müssen dieser Aussage also einige Einschränkungen hinzufügen, damit sie wahr wird.

Wenn Sie der induktiven Logik glauben, existieren fliegende Pferde nicht, weil es keinen Beweis für sie gibt. Wir können uns dieser Aussage nie hundertprozentig sicher sein, da ein einziges Gegenbeispiel alle anderen Beweise entkräften würde, aber wir können uns größtenteils sicher sein, was für die meisten Zwecke gut genug ist.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Sie, wenn Sie eine Behauptung der Nichtexistenz in eine Behauptung der Existenz umwandeln, zusätzlich zum Beweis der neuen Behauptung die Beweislast für die Prämissen übernehmen müssen, die Sie für die Umwandlung verwendet haben. In einigen Fällen ist die zusätzliche Belastung die Mühe nicht wert.

Ich spreche von Aussagen, die einander äquivalent sind, aber eine von der Form ist, dass etwas existiert, und eine von der Form, dass etwas nicht existiert. Insgesamt geht es um die Frage, welche Kriterien eine Aussage erfüllen muss, um als Behauptung über Nichtexistenz gelten zu können.
@YequalsX: Dann müssen Sie uns eine Prämisse wie (4) oben geben, die (1) und (2) verbindet. So wie es aussieht, stehen diese Vorschläge in keinem Zusammenhang.
-1 Sie können etwas nicht beweisen, indem Sie etwas auch Unbeweisbares behaupten. Etwas zu beweisen erfordert Existenz. Zumindest bis Sie beweisen können, dass dies nicht der Fall ist. Eine Behauptung der Nichtexistenz ist kein Beweis für die Nichtexistenz.
@Chad: Ich sehe meine Antwort wirklich nicht, die solche Dinge sagt. Es handelt sich wirklich um die Notwendigkeit, mehr Prämissen bereitzustellen, um (1) und (2) äquivalent zu machen. (7) ist falsch, aber wir sprechen nicht wirklich darüber, ob (5) und (6) wahr sind, sondern ob sie äquivalent sind. (Und jetzt bin ich verwirrt darüber, welcher Teil meiner Antwort die -1-Stimme verursacht hat. Können Sie Ihren Einwand bitte präzisieren?)
Ihre Logik, dass 7 5 beweist. Sie müssen zuerst in der Lage sein, 5 zu beweisen, was zu einer Niederlage führen würde, ist die ganze Prämisse, dass Nichtexistenz nicht beweisbar ist. Wissenschaft und Logik, wie wir sie kennen, in ein komplettes Chaos stürzen.
@Chad: Ich habe meine Antwort aktualisiert, um Ihre Bedenken auszuräumen. Es ist ein Nonsequitur zu sagen, dass Sie zuerst (5) beweisen müssen, um (7) zu beweisen. (5) ist wahr und (7) ist explizit falsch! Es war ein hypothetisches Beispiel. Ich hoffe, die Einführung einer wirklich nicht existierenden "Verbrechenszahl" wird Ihnen helfen, über Ihre mathematische Intuition hinauszusehen. Natürlich würde es viele Dinge ins Chaos stürzen, zu zeigen, dass (7) wahr ist, aber das war in keiner Weise das, was ich zu tun versuchte.
@ Jon: (5) und (6) sind äquivalent. Das eine kann logisch nicht wahr sein, ohne dass das andere wahr ist. Wenn es keine Primzahlen gibt, dann ist es vage wahr, dass es eine Primzahl q größer als p gibt, wenn p eine Primzahl ist . Die fette Aussage ist wahr, weil die Prämisse in der von Ihnen erwähnten hypothetischen Situation falsch ist.
Wenn es keine Kriminalitätszahlen gibt, ist jede Bedingung wahr, deren Prämisse eine Eigenschaft einer Kriminalitätszahl beinhaltet.
@YequalsX: (5) und (6) sind nur als gleichwertig bekannt, weil jemand die ganze Zeit und Mühe aufgewendet hat, um die Gleichwertigkeit zu beweisen. (Und ich würde meine Million Dollar darauf verwetten, dass die Äquivalenz bewiesen wurde, um das eine leichter beweisbar zu machen, nachdem ein Beweis für das andere formuliert wurde.) Ich habe das Gefühl, dass Sie immer noch von Ihrer hervorragenden mathematischen Intuition gefangen sind. Was ich vorzuschlagen versuche, ist, dass Sie Ihre Arbeit zeigen müssen, um einen minderwertigen Mathematiker davon zu überzeugen, dass (5) und (6) äquivalent sind. Es ist für mich nicht offensichtlich.
@YequalsX: Meine Intuition würde sagen, dass jede Bedingung, deren Prämisse eine Eigenschaft einer Verbrechenszahl beinhaltet, falsch ist, wenn der Wahrheitswert überhaupt bestimmt werden kann. Ich finde (9) hat genau den gleichen Wahrheitswert wie 1/0 = 0. Recht?
@Jon: In der mathematischen Logik ist jede Aussage der Form If A then B wahr, wenn A falsch ist. (5) und (6) sind äquivalent, weil es zwei Möglichkeiten gibt. 1. Primzahlen existieren und 2. Primzahlen existieren nicht. Wenn es keine Primzahlen gibt, dann ist es wahr, dass es keine größte Primzahl gibt, und es wäre auch wahr, dass es eine größere Primzahl gibt, wenn p eine Primzahl ist. Falls es Primzahlen gibt, sind beide Aussagen falsch oder beide wahr. Es gibt keine Situation, in der eine Aussage wahr, die andere aber falsch ist.
@YequalsX: Gut. Dies verdient es, heruntergestimmt zu werden (auf math.stackexchange.com). Tut mir leid, dass ich dir bei deiner Frage nicht helfen kann. :-(
@Jon die Prämisse ist, dass Sie eine Behauptung der Nichtexistenz nicht beweisen können. Sie versuchen, eine Behauptung der Nichtexistenz aufzustellen, um eine Behauptung der Nichtexistenz zu beweisen. Ich verstehe, dass, wenn Sie die Nichtexistenz einer größeren Menge beweisen, dies auch die begrenzte Definition beinhalten würde. Bevor wir dies jedoch als möglich akzeptieren können, müssen Sie die ursprüngliche Prämisse überwinden, dass Sie eine Behauptung der Nichtexistenz nicht beweisen können. Ihre Behauptung ist ähnlich (aber entgegengesetzt) ​​zu einer Behauptung, dass Gott existiert, weil er die Bibel geschrieben hat. Sie müssten zuerst beweisen, dass er tatsächlich die Bibel geschrieben hat, bevor wir diese Behauptung akzeptieren können.
@Chad: Meine Antwort behauptet tatsächlich, dass Behauptungen der Nichtexistenz in einigen Situationen leicht beweisbar sind. Ich habe mehrere Beispiele dafür gegeben, daher scheint es etwas unfair zu sagen, dass die Antwort falsch ist, weil sie nicht mit der Prämisse übereinstimmt, die die Frage angesprochen haben möchte. Die überwiegende Mehrheit dieser Antwort versucht, den bearbeiteten Zusatz anzusprechen, der behauptet, dass zwei Aussagen offensichtlich gleichwertig sind, was sie nicht sind. Anscheinend hätte ich mich nie von dieser Tangente ablenken lassen sollen.
@ Jon Ich verstehe, was du sagst. Und größtenteils stimme ich dir zu. 1 und 2 sind nicht unbedingt diometrisch entgegengesetzt. Und der Beweis von 2 widerlegt oder beweist 1 nicht. Und obwohl ich zustimme, dass der Beweis von 7 5 widerlegen würde (5 wäre eine Teilmenge von 7, also wenn die Obermenge nicht existiert, kann es keine Teilmenge geben). Ihre Annahme, dass Sie 7 beweisen können, war das, was ich herausgefordert habe. Bis Sie 7 beweisen können oder sogar 7 bewiesen werden kann, muss für diesen Fall davon ausgegangen werden, dass 7 nicht bewiesen werden kann. Und ich habe nichts gesehen, was mir logischerweise erlauben würde, zuzugeben, dass es bewiesen werden kann.
@Chad: Die Tatsache, dass (7) nicht bewiesen werden kann, veranlasste mich, (8), (9) und (10) einzuführen. (10) kann bewiesen werden und ist ein viel einfacherer Weg, um (8) zu beweisen als (9). Tatsächlich behaupte ich, dass (9) völlig bedeutungslos ist. Beachten Sie, dass das Beispiel für die „Verbrechenszahl“ das Beispiel für die Primzahl genau dupliziert, mit dem trivialen Unterschied, dass (10) absichtlich wahr ist. Vielleicht wäre es besser gewesen, eine andere Prämisse einzuführen, die (5) beweist, aber nicht die Nichtexistenz behauptet, aber dafür bin ich mathematisch nicht schlau genug. (Und es ist sowieso völlig neben dem Punkt der Antwort.)
Ich bezweifle, dass Sie 10 nachgewiesen haben. Mit Ihrem Beispiel sind 0 Kriminalitätszahlen bekannt. Das bedeutet nicht, dass es keine Kriminalitätszahlen gibt. Und das ist die Präposition, der sich die erste (1) im Beispiel entzieht.
@Chad: Ich habe die Definition von "Verbrechenszahlen" so gestaltet, dass sie nicht existiert, daher habe ich es völlig versäumt, Ihren Einwand zu beantworten. Ich werde die gesamte Ablenkung entfernen. [Aber ich behaupte, dass "0 Kriminalitätszahlen bekannt sind" bedeutet, dass "Kriminalitätszahlen bekanntermaßen nicht existieren". Ich bin ein Optimist, wenn es um induktives Denken geht. Außerdem würde jeder Beweis von (10) (8) beweisen, aber nicht (9), was der springende Punkt ist.]
@Jon eigentlich ist das völlig gegen den Punkt. Sie können nur beweisen, dass es keine bekannten Objekte gibt. Nicht, dass es keine gibt. Sie können von Nichtexistenz ausgehen. Aber das beweist nicht die Nichtexistenz. Sie können also die Nichtexistenz der Kriminalnummer nicht beweisen. Wenn Sie also 10 nicht beweisen können, können Sie es nicht verwenden, um 8 zu beweisen.
@Chad: Ich denke, Sie schulden uns daher eine Antwort auf diese Frage.
@ Jon Ich habe keine gute Antwort. Mein einziges Problem mit Ihrem Beispiel ist, dass Sie ein Beispiel für eine Behauptung der Nichtexistenz verwenden, um eine Behauptung der Nichtexistenz zu beweisen, ohne die Behauptung der Nichtexistenz zu beweisen. Aber es gibt auch einen Teil von mir, der akzeptiert, dass beides wirklich Behauptungen der Nichtexistenz sind, da es sich anfühlt, als wäre die Behauptung, dass hier Nichtexistenz wäre, "es gibt keine Zahlen".
Was bedeutet es, dass eine Behauptung eine Behauptung der Nichtexistenz ist?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 1v