Satzlogische Ableitung: ~(A ≡ B) ├ (~A ≡ B)

Ich mache einige Beweise für die Ableitung von Sätzen für einen bevorstehenden Test und habe den folgenden Beweis viele, viele Male ohne Erfolg versucht.

~(A ≡ B) ├ (~A ≡ B)

Das Logiksystem, das ich verwende, ist das Satzlogiksystem, das die folgenden Inferenzregeln hat: Wiederholung, Einführung/Eliminierung von Konjunktionen, Einführung/Eliminierung von Bedingungen, Einführung/Eliminierung von Negationen, Einführung/Eliminierungen von Disjunktionen und bikonditionale Einführung/Eliminierung.

Antworten (2)

Die Bi-Bedingung ist langweilig, weil man sie in zwei Teile aufteilen muss:

1) ¬[(A→B) ∧ (B→A)] --- Prämisse

2) A --- angenommen [a]

3) B→A --- von 2)

4) B --- angenommen [b]

5) A→B --- ab 4)

6) (A→B) ∧ (B→A) --- aus 3) und 5)

7) Widerspruch ! mit 1)

8) ¬A --- aus 2) und 7), Entladung [a]

9) B → ¬A --- aus 4) und 8), Entladung [b].

Genauso müssen wir ableiten: ¬A → B .

10) ¬A --- angenommen [c]

11) ¬B --- angenommen [d]

12) A --- angenommen [e]

13) Widerspruch! mit 10)

14) B --- ab 13)

15) A→B --- von 12) und 14), Entladung [e]

16) B --- angenommen [f]

17) Widerspruch! mit 11)

18) A --- von 17)

19) B→A --- von 16) und 18) Entladung [f]

20) (A→B) ∧ (B→A) --- aus 15) und 19)

21) Widerspruch! mit 1)

22) B --- von 11) durch doppelte Negation , Entladung [d]

23) ¬A→B --- aus 10) und 22), Entladung [c].

Nun schließen wir aus 9) und 23) ab mit:

24) ¬A ≡ B .

Hier ist ein Beweis mit der Fitch-Software:

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Satzlogische Ableitung: ~(A ≡ B) ├ (~A ≡ B)
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