Der Vater der Mathematik (Euklid) schrieb ein Buch mit dem Titel Elemente. Das Buch ist voller Axiome und hier sind einige davon, die mich interessieren:
- Dinge, die demselben Ding gleich sind, sind auch einander gleich.
- Und wenn gleiche Dinge zu gleichen Dingen hinzugefügt werden, dann sind die Ganzen gleich.
- Und wenn Gleiches von Gleichem subtrahiert wird, dann sind die Reste gleich.
- Und was zusammenfällt, ist einander gleich.
- Und das Ganze [ist] größer als der Teil.
Vor einigen Jahren kam ich auf die Idee, dass Euklid mit der Nr. 5 falsch liegen könnte (ist).
Warum ich denke, dass er falsch liegt? Er liegt falsch, denn die Entscheidung über größer/kleiner (als Konsequenz: mehr/weniger, schneller/langsamer etc.) ist der (Haupt-)Grund für alles Negative, das uns passiert. Versuchen Sie, an irgendeinen Konflikt auf der Erde zu denken, und Sie werden feststellen, dass dort mindestens zwei Seiten für dasselbe kämpfen. Zum Beispiel: für größere Gebiete kämpfen, für mehr Geld kämpfen, für weniger Probleme kämpfen usw. Ich denke, dass das Konzept des Denkens (zu denken, dass es überhaupt Größeres oder Kleineres gibt) falsch ist. Es scheint jedoch, dass ich nicht logisch beweisen kann, dass es falsch oder wahr ist, weil die gesamte Logik selbst auf solchen Axiomen basiert ...
Nehmen wir also an (oder nehmen einfach an...), dass einige der Axiome falsch sind. Die Frage ist - welche Basis sollte verwendet werden, um zu beweisen, dass das Axiom für den Rest der Welt falsch ist? Meine eigene Annahme ist, dass ich die Basis „Was ist wertvoll für die Gesellschaft“ oder sogar die Basis „Wie es sich für die Gesellschaft anfühlt“ verwenden muss.
Und noch etwas zu erwähnen. Wenn ich nicht beweisen kann, dass das Axiom falsch oder wahr ist (weil falsch/wahr Teil der Logik ist, die auf dem Axiom selbst basiert), möchte ich "wahr" als "echt" und "falsch" als bezeichnen "Illusion", aber wäre das richtig?
Die richtige Frage ist nicht:
Wie man entscheidet, ob ein Axiom richtig oder falsch ist ...
aber :
Von welchem "Bereich" (des Diskurses oder der Realität) ist dieses Axiom wahr?
Die moderne Mathematik hat nach Georg Cantor "Bereiche" ( unendliche Sammlungen oder Mengen) gefunden, wo das nicht zutrifft
das Ganze [ist] größer als der Teil
für eine "passende" Interpretation von größer als .
Wie schon Galileo wusste (siehe Galileis Paradoxon ) können wir jeder natürlichen Zahl n ihr Doppel zuordnen: 2n .
Wenn wir also dieses "Verfahren" verwenden, um die Objekte in einer Sammlung zu zählen, können wir ungefähr sagen, dass die Sammlung natürlicher Zahlen die "gleiche Anzahl" von Elementen hat wie die Sammlung gerader Zahlen.
Dieses Ergebnis zeigt uns, dass wir das für eine unendliche Sammlung ungefähr sagen können
das Ganze ist nicht immer „größer als“ ein richtiger Teil davon.
Zu Euklids Zeiten galten Axiome als grundlegende, unbestreitbare Wahrheiten über die Welt. In neueren Zeiten haben wir jedoch weniger Vertrauen in die Existenz solcher Dinge, und Axiome werden weniger streng als grundlegende Bausteine eines bestimmten Denksystems definiert. Somit definieren euklidische Axiome die euklidische Geometrie, aber es gibt auch nicht-euklidische Geometrien mit anderen Axiomen.
Zufälligerweise sind die Axiome der formalen Logik nicht von den Axiomen der euklidischen Geometrie abhängig, sodass Sie versuchen könnten, ein euklidisches Axiom mit Logik zu widerlegen, ohne Angst vor einem Paradoxon haben zu müssen.
Wenn Sie jemandem etwas beweisen möchten, ist es im Allgemeinen der richtige Ansatz, von Axiomen auszugehen, die Ihr Ziel unterstützt. Wenn Sie Ihre Arbeit richtig machen, werden Sie demonstrieren, dass die Zielperson die Position, die Sie zu widerlegen versuchen, nicht konsequent vertreten und dennoch die Axiome unterstützen kann, mit denen Sie begonnen haben.
Der beste Weg, ein Axiom zu falsifizieren, besteht darin, zu zeigen, dass das Axiom entweder in sich selbst widersprüchlich ist oder logisch eine Ableitung eines Theorems impliziert, das zu einem Selbstwiderspruch führt.
jamm
rus9384