Wie kann man formalisieren, dass ein Argument, das aus einer wahren und einer falschen Aussage besteht, „teilweise wahr“ ist?

Wenn in der klassischen Logik entweder A oder B falsch ist, dann ist "A und B" falsch. Aber in der natürlichen Sprache ist es oft der Fall, jemanden sagen zu hören, „das ist nur teilweise wahr“ oder „das ist teilweise falsch“, als Antwort auf eine Reihe von Aussagen, von denen einige falsch sind (oft gefolgt von einer Erklärung, welcher Teil falsch war).

Eine Möglichkeit, dies zu tun, ist, wenn es Wahrheitswertlücken in der Logik gibt, dh eine mehrwertige Logik. Das Vorhandensein von Lücken allein bedeutet jedoch nicht, dass die Verbindung von wahr und falsch zwangsläufig eine Lücke sein wird. Tatsächlich haben viele mehrwertige Logiken, dass „wahr und falsch = falsch“ ist, zB ist das bei (starker) Kleene oder LP oder der Logik von Łukasiewicz der Fall . Selbst in Belnaps vierwertiger Logik , obwohl sie Begriffe von "weder wahr noch falsch" und "sowohl wahr als auch falsch" enthält, ist die Verbindung von etwas, das (nur) wahr ist, mit etwas, das (nur) falsch ist ... wieder (nur ) FALSCH. In einem Kommentar unten hat jemand Fuzzy-Logiken vorgeschlagen, die kontinuierlich wahrheitsbewertet sind (über [0, 1]),diese Familie : Die "konjunktive Wahrheitsfunktion * [...] muss kommutativ sein [und haben] (0 * x) = 0".

Ich sehe aus einer Arbeit von Humberstone aus dem Jahr 2003 , die ich nur sehr kurz angeschaut habe, dass ein Ansatz darin besteht, eine andere Art von Operator als die eigentliche Wahrheitsbewertung zu definieren. (Dies scheint eine Art "alternative Bewertung" zu sein. Das Papier, das ziemlich lang ist, scheint nicht unglaublich zitiert zu sein, also ist entweder das Problem, von dem ich spreche, obskur oder Humberstones vorgeschlagene Lösung dafür ist es ...)

Wurden also Logiken vorgeschlagen, bei denen die Verbindung von wahr und falsch eher eine Lücke als falsch ist? Oder wenn nicht, gibt es eine andere Möglichkeit, diesen Begriff zu formalisieren, der erfassen kann, dass eine Konjunktion von wahr und falsch "teilweise wahr" ist, abgesehen von Humberstones Operatoransatz, der etwas unbefriedigend erscheint, da er eine andere "Wahrheitsskala" verwendet für diese Art der Bewertung als die in der Logik verwendete Hauptwahrheitsbewertung?

(NB: Ich vermute, dass dies auf einige "tiefere" Probleme hinausläuft, wie zum Beispiel, was in einer Logik vernünftigerweise als Konjunktion bezeichnet werden kann und was "falsch" ist, denn in einem [Halb-]Gitter mit falsch als unterem Element, wenn eine Konjunktion genommen wird als größte untere Schranke auf dem [Halb-]Gitter ist es unvermeidlich, dass "falsch und irgendetwas = falsch" ist.)

"das ist nur teilweise wahr" oder "das ist teilweise falsch" werden in Zadehs Fuzzy Logic (die im Wesentlichen auf Lukasiewicz basiert) modelliert, nur nicht mit einer Konjunktion von Wahrheit und Falschheit, sondern mit dem Wahrheitswert, der als Wert innerhalb des Bereichs eingeführt wird von [0, 1] (und jedem Wert dazwischen).
Irgendein Grund für die DV? @k-wasilewski: und was sagt "Zadehs" Logik über die Konjunktion von 1 und 0?
Es gibt die en.wikipedia.org/wiki/Catu%E1%B9%A3ko%E1%B9%ADi . Ich denke, Sie haben die Auswirkungen der vierwertigen Logik missverstanden, die die Computerbewertung und -elektronik viel stärker beeinflussen kann, als Sie andeuten (z seltsame Schleifen und verworrene Hierarchien zulassen). Die Quantenlogik ist wichtig und sollte mit dem Signalverlust durch die Shannon-Entropie und der Realität als Informationsfluss in Verbindung gebracht werden (dh Carlo Rovellis Bild). Ich kann auch nicht verstehen, warum die DV eine absolut relevante und gut gestellte Frage zu sein scheint.
IMHO "das stimmt nur teilweise" hat eigentlich überhaupt nichts mit formaler Logik zu tun. Es zeigt normalerweise einen informellen Irrtum wie Mehrdeutigkeit an (den Sie, wenn Sie wirklich wollen, wieder in einen formalen Irrtum wie den Irrtum von vier Begriffen zurückverwandeln können , aber das ist der "falsche" Teil, nicht der "teilweise" Teil).
@ Kevin: Nun, offensichtlich ist es in praktisch jeder Logik, an die ich mich erinnern kann, sehr einfach, nur den "falschen" Teil zu bekommen ...
Ist das etwas, wonach Sie suchen: Yablos Idee, Wahrheit hinzuzufügen ?
In der Fuzzy-Logik erhält man per Definition: x ∧ y = min{x,y}
@Conifold: Yablos Aboutness scheint ungefähr verwandt zu sein (er zitierte zustimmend Humberstone 2003), aber ich verstehe Yablos Arbeit oder die verknüpfte Frage nicht wirklich, um Ihre Frage zu beantworten, ob es irgendwie das ist, was ich frage. Yablos Arbeit sieht komplizierter aus mit all dem vagen Gerede von möglichen Welten, was mich nicht interessiert.
@k-wasilewski das ist dasselbe wie die Kleene-Konjunktion in der 3-Elemente-Kette.

Antworten (2)

Ein möglicher Weg neben Humberstones Ansatz könnte von der Wahrheitsstifter-Semantik ausgehen, wie sie von Kit Fine und anderen entwickelt wurde. Lassen Sie uns eine Sprache der Standardpropsitionslogik reparieren und Modelle nehmen, die vollständige Halbverbände sind, die durch eine partielle Ordnung ≤ induziert werden. Dann können wir eine Relation der exakten Verifikation und eine Relation der exakten Falsifikation analog zu einigen Semantiken für FDE definieren, mit Ausnahme der Verifikationsklausel für die Konjunktion: Ein Punkt s verifiziert eine Konjunktion A & B genau dann, wenn s das Supremum der Punkte r ist, t, wobei r A verifiziert und t B verifiziert.

Basierend auf dieser Definition können wir eine konjunktive Teilbeziehung zwischen Sätzen (Punktmengen) definieren: Satz p ist ein konjunktiver Teil von Satz q genau dann, wenn jeder Verifizierer von p einen ≤-Nachfolger unter den Verifizierern von q hat und jeder Verifizierer von q einen hat ein ≤-Vorgänger unter den Verifizierern von p.

Nun können wir sagen, dass Satz p an einem Punkt s teilweise wahr ist, wenn er einen Konjunktivteil hat, der durch s verifiziert wird; und dass p bei s teilweise falsch ist, wenn es einen Konjunktivteil hat, der durch s verfälscht wird.

I see Fine (2017) zitiert Yablos Aboutness als Teil dieses Feldes. Ich habe bereits entdeckt, dass Yablo in diesem Buch anerkennend Humberstone (2003) zitiert. (Er erwähnt jedoch auch Russels Kritik an dem ganzen Unterfangen, was mir vielleicht den DV eingebracht hätte.)
Um dies in einen Slogan zu fassen, unterscheidet Fine (semantisch) zwischen Containment und Involvement. Was Humberstone tut, ist, Behauptungen über die Eindämmung in der gleichen Logik (über einen Operator) zu bewerten.
Das ist interessant. Ich sehe Fines Semantik als einen Versuch, eine etwas vernachlässigte Tradition der Bereitstellung einer Semantik für FDE herauszubuchstabieren, die auf die Arbeit von van Fraassen in den 1960er Jahren zurückgeht. Klingt, als wäre Humberstone der gleichen Linie gefolgt. Umso mehr, als Humberstone in seinem Artikel von 2003 die einschlägige Arbeit von van Fraassen zitiert.

Dies ist nur eine teilweise Antwort, aber interessanterweise wurde eine Art Konjunktion, die "wahr und falsch" zu "neutral" machen würde, für dreiwertige Tabellen (und tatsächlich [endliche] mehrwertige / unscharfe Logik im Allgemeinen) in Betracht gezogen ). Es ist jedoch (offensichtlich) nicht mit dem booleschen Wert kompatibel. Aus "Eine Karte der Abhängigkeiten zwischen dreiwertigen Logiken" von D. Ciucci & D. Dubois.

2.1.3. t-Operatoren

Dies ist eine weitere Verallgemeinerung von t-Normen auf vorgeordnete Mengen [ref42].

Definition 3 [ref43]. Ein binärer Operator * auf einer endlichen Skala {F < x 1 < . . . < T} heißt t-Operator, wenn er assoziativ, kommutativ ist, so dass F * F = F, T * T = T und er die 1-Glätte erfüllt: wenn x i * x j = x k dann { x i - 1 * x j , x ich * x j-1 } ⊆ { x k-1 , x k }.

(Ich habe den def korrigiert, indem ich das Originalpapier nachgeschlagen habe; es ist in dieser Rezension durch einige fehlende Symbole verstümmelt ... aber ansonsten geben sie eine etwas offensichtlichere Form als im Original, wenn auch gleichwertig. Im Grunde ist der t-Operator nicht- an jeder Stelle abnimmt und höchstens in der Kette in jedem Argument "um eins nach oben" geht.)

These 4. Auf dreiwertigen Skalen gibt es nur fünf t-Operatoren: Kleene- und Łukasiewicz-Konjunktionen und -Disjunktionen und den Aggregationsoperator in Tabelle 3.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Dies hat eine ziemlich triviale Struktur auf der 3-wertigen Kette: Es gibt den Lückenwert überall außer für F * F und T * T an.

Die Besonderheit des Operators in Tabelle 3 besteht darin, dass er boolesche Verknüpfungen nicht verallgemeinert: F und T ergeben den dritten Wert N. Tatsächlich ist leicht zu erkennen, dass es sich um die Operation med(x, y, N) handelt, die den Median dazwischen berechnet x, y und N. Es ist bekannt, dass es die einzige assoziative Operation zwischen ∧ und ∨ und ein Spezialfall von Sugeno Integral ist.

  • [ref42] M. Mas, G. Mayor, J. Torrens, t-Operators, International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems 7 (1) (1999) 31–50.

  • [ref43] M. Mas, G. Mayor, J. Torrens, t-Operatoren und Uninormen auf einer endlichen, vollständig geordneten Menge, International Journal of Intelligent Systems 14 (1999) 909–922.

Wenn man also möchte, dass eine 3-wertige "Konjunktion" immer noch kommutativ, assoziativ ist und diese Art von "Teilwahrheit" -Extraktion hat, ist dies die einzige Option ... Sie ist natürlich als abgeleiteter Operator für alle funktional vollständig erhältlich 3-wertige Logik.

Wie kann man formalisieren, dass ein Argument, das aus einer wahren und einer falschen Aussage besteht, „teilweise wahr“ ist?
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