Tarskis Wahrheitsdefinition für endliche Sprachen

Die Antwort ist ein einfaches Ja. Wenn Sie nur endlich viele Sätze haben, können Sie diese einfach in Ihrer Definition auflisten. Es wäre so etwas wie:

x ist genau dann wahr, wenn ( x =x1 & p1) oder (x=x2 & p2) oder ... oder (x=xn & pn)

wobei x1..xn Satznamen und p1..pn Sätze sind.

Um das zu sehen, erinnern Sie sich, warum der Begriff der Zufriedenheit überhaupt gebraucht wurde. Wenn die Sprache unendlich viele Sätze hat, dann muss die Definition von Wahrheit so etwas wie Rekursion beinhalten. Aber Wahrheit kann nicht direkt rekursiv definiert werden, da Wahrheit nur für vollständige Sätze gilt und Sätze Teile haben, die nicht notwendigerweise selbst Sätze sind. Zufriedenheit kann jedoch rekursiv definiert werden, da sie auch für Satzteile gilt. Aber wenn Ihre Sprache endlich ist, brauchen Sie keine Rekursion.

Folgendes sagt Tarski dazu, gleich nachdem er Schema T in "The Concept of Truth in Formalized Languages", S. 188-189 vorgestellt hat:

Wenn die untersuchte Sprache eine endliche Anzahl von Anfang an festgelegter Sätze enthielte und wir alle diese Sätze aufzählen könnten, würde das Problem der Konstruktion einer korrekten Wahrheitsdefinition keine Schwierigkeiten bereiten. ... Aber die Situation ist nicht so. Immer dann, wenn eine Sprache unendlich viele Sätze enthält, müsste die nach obigem Schema automatisch konstruierte Definition aus unendlich vielen Wörtern bestehen, und solche Sätze können weder in der Metasprache noch in irgendeiner anderen Sprache formuliert werden.

Die relevante Passage dazu lautet wie folgt:

„Während die Wörter ‚bezeichnet‘, ‚erfüllt‘ und ‚definiert‘ Beziehungen ausdrücken (zwischen bestimmten Ausdrücken und den Objekten, auf die sich diese Ausdrücke ‚beziehen‘), ist das Wort ‚wahr‘ von anderer logischer Natur: es drückt eine Eigenschaft aus (oder bezeichnet eine Klasse) von bestimmten Ausdrücken, nämlich von Sätzen.Es ist jedoch leicht einzusehen, dass alle Formulierungen, die früher gegeben wurden und die darauf abzielten, die Bedeutung dieses Wortes ... zu erklären, sich nicht nur auf Sätze selbst bezogen, sondern auch auf Gegenstände, von denen diese Sätze „sprechen" oder möglicherweise auf „Sachverhalte", die von ihnen beschrieben werden. Und außerdem stellt sich heraus, dass der einfachste und natürlichste Weg, eine genaue Definition der Wahrheit zu erhalten, derjenige ist, der die beinhaltet Verwendung anderer semantischer Begriffe, zB des Begriffs Zufriedenheit.Aus diesen Gründen zählen wir den hier diskutierten Wahrheitsbegriff zu den Begriffen der Semantik, und das Problem der Wahrheitsdefinition erweist sich als eng verwandt mit dem allgemeineren Problem der Grundlegung der theoretischen Semantik." (Alfred Tarski,Der semantische Wahrheitsbegriff )

Ein Beispiel, das Tarski anführt, um die Natur des Zufriedenheitsbegriffs zu veranschaulichen, ist das folgende:

"Der Satz 'Schnee ist weiß' ist wahr, wenn und nur wenn Schnee weiß ist"

Zufriedenheit beinhaltet eine Beziehung zwischen einem Satz und dem Referenten des Satzes oder, wie Tarski es ausdrückt, den „Objekten, über die diese Sätze ‚sprechen‘“, und diese Beziehung ist unvermeidlich. Unabhängig davon, welche logische Formulierung verwendet wird, dh ob es sich um endliche Satzlisten handelt, ob es um Satzlogik oder Quantifizierung geht; Unabhängig von der Formulierung werden die grundlegendsten Elemente jeder Metasprache immer aus atomaren Formeln bestehen, deren Wahrheitswert von dieser Beziehung abhängt. Der Grund dafür ist, dass es wesentlich ist, was Sprache ist.

Einerseits gibt es eine Realität, deren Wesen und Existenz unabhängig von unserem Wissen darüber ist, und andererseits die verschiedenen Mittel, diese Realität so darzustellen, dass sie dem Verständnis und der Kommunikation förderlich ist. Sprache ist ein solches Mittel, und ihr eigentlicher Daseinszweck besteht darin, in dieser repräsentativen Eigenschaft zu dienen, also ist Sprache ohne die Beziehung, die dem Begriff der Befriedigung zugrunde liegt, überhaupt nichts. Es macht keinen Sinn, von der Wahrheit eines Satzes allein zu sprechen, unabhängig davon, was er darstellt, weil er auf eine nutzlose Folge von Symbolen reduziert würde. Ebenso macht es keinen Sinn, unabhängig von Wahrnehmung, Beschreibung, Verständnis oder Repräsentation von der Realität als wahr zu sprechen, denn Wahrheit ist ihrem Wesen nach die Fähigkeit solcher Darstellungen, die Realität genau darzustellen. Genau das meinte Tarski, als er sagte, dass die Wahrheit „einen ausdrücktEigenschaft (oder bezeichnet eine Klasse) bestimmter Ausdrücke, nämlich Sätze.

Jamin Asay schreibt:

„Tarskis Interesse bestand nie darin, unsere gewöhnliche Vorstellung von Wahrheit durch die Art von Definitionen zu ersetzen, die er anbietet. Vielmehr arbeiten Tarskis Definitionen in Verbindung mit unserer gewöhnlichen Vorstellung von Wahrheit. Wir wissen, dass Tarskis Definitionen nur dann erfolgreich sind, wenn sie materiell angemessen sind Falls sie alle T-Sätze enthalten. Damit die T-Sätze Tarskis Definitionen unabhängig überprüfen können, müssen sie wichtige Tatsachen über unsere gewöhnliche Vorstellung von Wahrheit (oder zumindest über die Wahrheitsbedingungen unserer Sätze) ausdrücken. und nicht leere logische Wahrheiten." (Jamin Asay, „Tarski und der Primitivismus über die Wahrheit“)

Daher ist der Begriff der Befriedigung für jede Definition von Wahrheit wesentlich, da er sich auf die Eignung von Sätzen bezieht, ihren wesentlichen Zweck zu erfüllen. Und nein, Wahrheit kann nicht als das logische Produkt aller Instanzen eines Schemas definiert werden, ohne auf das Konzept der Befriedigung zurückzugreifen, da der Begriff der Befriedigung erforderlich ist, um ein solches Schema auf atomarer Ebene zu bilden.

Die Antwort hängt (1) von den Anforderungen ab, die man an die Definition (von Wahrheit) stellt, und (2) von seinem bevorzugten (informellen) Wahrheitsbegriff.

Tarski stellte zwei Anforderungen an die Definition von Wahrheit, „materielle“ Angemessenheit und „formale“ Angemessenheit. Bei der materiellen Angemessenheit geht es um die Erweiterung des Wahrheitsprädikats. Wahrheit für alle richtigen Sätze, und nur für die richtigen Sätze, sollte aus der Definition von Wahrheit hervorgehen. Hier wird Schema T herangezogen, das Tarskis Formalisierung von Aristoteles' Wahrheitsdefinition ist.

Wir möchten mit unserer Definition den Intuitionen gerecht werden, die der klassischen aristotelischen Wahrheitsauffassung anhängen und die in den bekannten Worten der Metaphysik des Aristoteles ihren Ausdruck finden: Zu sagen, was ist, was es nicht ist, oder von dem, was nicht ist dass es ist, ist falsch, während zu sagen, was ist, dass es ist, oder was nicht ist, dass es nicht ist, wahr ist. („Der semantische Wahrheitsbegriff“, „Die Bedeutung des Begriffs ‚wahr‘“)

Bei der formalen Angemessenheit geht es um die Wahl der Begriffe in der Definition von Wahrheit. Damit meinte Tarski andere Aspekte des Wahrheitsbegriffs als Schema T. Tarski selbst verwies auf den „gewöhnlichen“ Wahrheitsbegriff, den er damit identifizierte, Wahrheit als eine Art „Korrespondenz“ zwischen Wort und Welt zu sehen. Tarskis „semantischer“ Wahrheitsbegriff, der die Begriffe Wahrheit, Referenz und Befriedigung miteinander verbindet, ist Tarskis formale Interpretation der informellen Vorstellung von Wort-Welt-Korrespondenz.

Es ist jedoch leicht zu erkennen, dass sich alle zuvor gegebenen Formulierungen, die darauf abzielten, die Bedeutung [des Wortes „Wahrheit“] zu erklären, nicht nur auf Sätze selbst bezogen, sondern auch auf Gegenstände, über die diese Sätze „sprachen“, oder möglicherweise auf die von ihnen beschriebenen "Sachverhalte". Und außerdem stellt sich heraus, dass der einfachste und natürlichste Weg, eine exakte Definition von Wahrheit zu erhalten, derjenige ist, der die Verwendung anderer semantischer Begriffe beinhaltet, z. B. des Begriffs der Befriedigung. (ebd., „Wahrheit als semantisches Konzept“)

Für eine endliche Sprache ist es möglich, Wahrheit als Schema-T-Konjunktion zu definieren, und es wird trivial materiell angemessen sein. Aber kann es formal angemessen sein? Vielleicht ja, wenn man (anders als Tarski selbst) ein Minimalist ist , was den Wahrheitsbegriff betrifft. Ob der Begriff der Befriedigung ein notwendiger Bestandteil des Wahrheitsbegriffs ist, brauchen wir hier nicht vorwegzunehmen. Was wir nicht vermeiden können, ist Folgendes: Wenn der (informelle) Wahrheitsbegriff für irgendeine Sprache etwas Wesentliches außer Schema T enthält, dann wird eine Definition von Wahrheit in Bezug auf Schema T allein formal nicht angemessen sein.