Wie können wir in der Aussagenlogik über „wenn P, dann Q“- oder „P nur wenn Q“-Aussagen argumentieren?

Wie man im Klartext über " P  ⊃  Q " nachdenkt

In der Aussagenlogik ist P ⊃ Q eine sogenannte materielle Implikation . Das bedeutet nicht, dass P und Q dasselbe bedeuten (sie haben möglicherweise nicht denselben Wahrheitswert); alles, was es ist, ist eine Behauptung , dass Q auch wahr ist, wenn P wahr ist – ohne weitere Behauptungen aufzustellen.

Eine alternative Möglichkeit, P ⊃ Q zu betrachten , ist eine "Beschränkung", die jemand für den Sachverhalt hält. Diese Einschränkung ist entweder erfüllt (in diesem Fall ist P  ⊃  Q wahr) oder sie ist verletzt (in diesem Fall ist P  ⊃  Q falsch). Dieses Bild unterscheidet sich etwas von der üblichen Art, wie wir uns „Wenn-Dann“-Aussagen vorstellen, die eher Kausalität als Einschränkung entspricht . Aus diesem Grund könnte es hilfreich sein, P  ⊃  Q als entweder zu beschreiben

• „ P nur wenn Q “ (wenn P gilt, dann sollte Q besser gelten, damit die Nebenbedingung erfüllt wird); oder
• "entweder ¬ P oder Q " (wenn ¬ P falsch ist, dann muss Q wahr sein, wenn die Bedingung erfüllt werden soll).

Insofern können wir uns „Erfüllung der Nebenbedingung P  ⊃  Q “ als so etwas wie eine Theorie darüber vorstellen, wie die Welt ist. Wenn es wahr ist, wird es niemals verletzt; aber wenn Sie ein Gegenbeispiel finden, dann muss es falsch sein.

Notwendige Bedingungen und hinreichende Bedingungen

Für den Fall, dass P  ⊃  Q tatsächlich gilt, erlauben uns die beiden unterschiedlichen Formulierungen „wenn P , dann Q “ und „ P nur wenn Q “ eine einfache Beschreibung der Beziehung zwischen P und Q in Form von entweder notwendigen Bedingungen oder hinreichenden Bedingungen .

• „Wenn P, dann Q “ bedeutet intuitiv, dass P ausreicht, um sicherzustellen, dass Q gilt. Insofern heißt P eine hinreichende Bedingung für Q .

• Umgekehrt bedeutet „ P nur wenn Q “ intuitiv, dass Q eine Vorbedingung dafür ist, dass P wahr ist; obwohl P Q impliziert , kann P auch nicht gelten, ohne dass Q gilt. Insofern wird Q eine notwendige Bedingung für P genannt .

Die Begriffe „hinreichende Bedingung“ und „notwendige Bedingung“ ergänzen einander; Wenn eine Bedingung für eine andere ausreichend ist, dann ist diese zweite Bedingung für die erste Bedingung notwendig.

Die Wahrheitstabelle für P  ⊃  Q

Wenn wir über P  ⊃  Q in Form von Einschränkungen nachdenken, können wir die Wahrheitstabelle für Konditionale erklären:

 P  Q  |  P ⊃ Q
-------|--------
 F  F  |    T 
 F  T  |    T
 T  F  |    F
 T  T  |    T

Wir können diese einfach anhand der Bedingungen beschreiben, unter denen P wahr „erlaubt“ ist.

• Wenn P falsch ist – egal, was der Wert von Q ist – dann haben wir die Beschränkung P  ⊃  Q nicht verletzt , weil sie nur Beschränkungen auferlegt, wann P wahr sein kann.
  
  Nehmen wir zum Beispiel an, dass P „es gelingt Ihnen, den Mt. Everest zu besteigen“ und Q „Sie versuchen, den Mt. Everest zu besteigen“ ist. Da die Besteigung des Mt. Everest schwierig genug ist, dass wir davon ausgehen würden, dass es sich um ein bewusstes Unterfangen handeln muss, ist es vernünftig zu sagen, dass die Besteigung des Mt. Everest nur gelingen kann, wenn Sie es versuchen: Das heißt, P nur , wenn Q . Aber es ist möglich, den Mt. Everest auf zwei verschiedene Arten nicht zu besteigen:
  

  1. entweder indem man es nicht versucht, oder
  2. indem Sie es versuchen, aber Probleme haben (Wetterbedingungen, ein schwerer Unfall usw. ), die Sie am Erfolg hindern.

  In dem Fall, in dem P falsch ist, sagen wir, dass P  ⊃  Q vage wahr ist – es ist nur wahr, weil die Beschränkung, die es auferlegt, dass P wahr ist, nicht auf die Probe gestellt wird.

• Für den Fall, dass P wahr ist, wird die Einschränkung P  ⊃  Q auf die Probe gestellt, und diese Einschränkung ist nur dann erfüllt, wenn Q wahr ist. Wenn sowohl P als auch Q wahr sind, dann ist die Nebenbedingung erfüllt, und somit ist P  ⊃  Q wahr. Wenn aber P wahr und Q falsch ist, dann kann es nicht sein, dass P nur dann gilt, wenn Q ; die Nebenbedingung wird verletzt, so dass P  ⊃  Q falsch ist.

Ist Q  ⊃  P äquivalent zu P  ⊃  Q , oder erlaubt es Ihnen, auf P  ⊃  Q zu schließen ?

Die kurze Antwort ist, dass sie nicht äquivalent sind, und keiner erlaubt es Ihnen, auf den anderen zu schließen. Es gibt zwei einfache Möglichkeiten, dies zu sehen.

• P  ⊃  Q ist eine Einschränkung, wann P wahr sein kann, während Q  ⊃  P eine Einschränkung ist, wann Q wahr sein kann. Im Allgemeinen sind dies keine vergleichbaren Beschränkungen; keiner erlaubt es Ihnen, auf den anderen zu schließen.

• Wir können auf die Wahrheitstabellen für jeden Bezug nehmen, indem wir die Tabelle verwenden, die wir bereits für P  ⊃  Q berechnet haben, um die Werte für jede Zeile in Q  ⊃  P herauszufinden :

   P  Q  |  P ⊃ Q  |  Q ⊃ P
  -------|---------|---------
   F  F  |    T    |    T
   F  T  |    T    |    F
   T  F  |    F    |    T
   T  T  |    T    |    T
  

  Wir sehen, dass, wenn nur einer von P oder Q wahr ist, einer von P  ⊃  Q oder Q  ⊃  P wahr ist – aber nicht der andere. Da P  ⊃  Q und Q  ⊃  P nicht beide unter denselben Bedingungen erfüllt sind, sehen wir, dass sie nicht logisch äquivalent sind.

Wir können aus dem Obigen sehen, dass sowohl P  ⊃  Q als auch Q  ⊃  P wahr sind, wenn P und Q entweder beide wahr oder beide falsch sind – wenn P und Q selbst äquivalent sind. Dies ist nur die Beobachtung, dass P  ≡  Q (" P ist äquivalent zu Q ") logisch äquivalent zu ( P  ⊃  Q ) & ( Q  ⊃  P ) ist . Aber gerade weil P  ⊃  Q und Q  ⊃  Pnicht logisch äquivalent sind, ist P  ≡  Q eine stärkere logische Aussage – eine schwieriger zu erfüllende Einschränkung – als jede Bedingung allein.

Beachten Sie, dass, da P  ≡  Q äquivalent zu ( P  ⊃  Q ) & ( Q  ⊃  P ) ist, es möglich ist, P  ≡  Q so zusammenzufassen , dass „ P eine notwendige und hinreichende Bedingung für Q ist “, wo die ‚Notwendigkeit‘ kommt aus der Bedingung Q  ⊃  P , und die 'Suffizienz' kommt aus P  ⊃  Q .

Kontrapositive

Die Bedingung P  ⊃  Q hat eine andere äquivalente Bedingungsform, die als Kontrapositiv bekannt ist : ¬ Q  ⊃ ¬ P . Dies ist eine Möglichkeit, die Einschränkungen, wann P wahr sein kann , als Einschränkung, wann Q falsch sein kann, umzuformulieren .

• „ P nur wenn Q “ bedeutet, dass wenn Q ausfällt, P besser auch ausfallen sollte; also „wenn ¬ Q dann ¬ P “.
• In ähnlicher Weise bedeutet „entweder ¬ P oder Q “, dass ¬ P gelten muss , wenn Q ausfällt; wieder „wenn ¬ Q dann ¬ P “.

Wir können zeigen, dass aus ¬ Q  ⊃ ¬ P auch P  ⊃  Q folgt , indem wir ein symmetrisches Argument und eine doppelte Negation verwenden (¬¬ P  ≡  P ). Und wenn Sie die Wahrheitstabelle für beide Formeln berechnen, werden Sie feststellen, dass sie die gleichen Werte haben:

 P  Q  | ¬P  ¬Q  |  P ⊃ Q  |  ¬Q ⊃ ¬P
-------|---------|---------|---------
 F  F  |  T   T  |    T    |     T  
 F  T  |  T   F  |    T    |     T
 T  F  |  F   T  |    F    |     F
 T  T  |  F   F  |    T    |     T

Wir können also nur durch Berechnung sehen, dass es sich um logisch äquivalente Aussagen oder "Beschränkungen" handelt.

Bedeutet P  ⊃  Q , dass es eine Ursache-Wirkungs-Beziehung gibt?

Etwas, das viele Leute stolpern lässt, ist, über logische bedingte Aussagen nachzudenken, als ob es sich um Ursache-Wirkungs-Beziehungen handelte. Während Ursache und Wirkung eine Art von bedingter Aussage ist, ist es nicht die einzige Art; Sie sollten also darauf achten, nicht anzunehmen, dass eine logische "Wenn-Dann"-Aussage irgendetwas über Ursache und Wirkung aussagt.

Zum Beispiel könnten Sie sich Gedanken über bedingte Anweisungen wie machen

„Wenn ich einen Apfel esse, dann sterbe ich“

– was für jemanden zutreffen kann, der stark auf Äpfel allergisch ist, aber auch für absolut jeden, der sterblich ist. (Obwohl ich persönlich nicht gegen Äpfel allergisch bin, erwarte ich, dass ich eines Tages sterben werde. Es ist also wahr, dass ich sterben werde, egal ob ich noch Äpfel esse oder nicht; wenn ich also einen Apfel esse, werde ich sterben.) Sie könnten sich darüber beschweren, dass die Bedingung P – wenn ich einen Apfel esse – wenig mit der Schlussfolgerung Q – ich werde sterben – zu tun hat . Dies scheint nicht viel besser zu werden, wenn wir es als Einschränkung der Form " P nur wenn Q " ( Ich werde nur einen Apfel essen, wenn ich sterben werde) – noch einmal, was hat das Sterben damit zu tun, ob ich einen Apfel essen könnte? Was den Satz gültig macht, ist die Formulierung „Entweder ich werde keinen Apfel essen, oder ich werde sterben“, die wahr ist. Tatsächlich behauptete ich in der Argumentationskette, die ich auf mich selbst anwandte, die Proposition Q – ich werde sterben – und argumentierte dann, dass der logische Status von P (dass ich einen Apfel esse) keinen Einfluss auf diese Wahrheit habe. Meine Schlußfolgerung "Wenn ich einen Apfel esse, dann sterbe ich" ist in diesem Sinne richtig, aber etwas pervers; es lässt aus, dass ich auch dann sterbe, wenn ich keinen Apfel esse.

Wir können ähnliche Kommentare für vage wahre Aussagen machen, wie z

"Wenn ich zum König von Frankreich gewählt würde, würde ich jeden Tag Eis regnen lassen."

Mit unserem derzeitigen Verständnis des Wetters – oder zumindest der Kosten für die Eiscreme-Produktion und den Flugbenzin – scheint es unwahrscheinlich, dass ich unter keinen Umständen jeden Tag Eiscreme regnen lassen könnte, unabhängig davon, ob ich der König von Frankreich wäre oder nicht. Wenn Ihnen meine Behauptung seltsam erscheint, liegt das daran, dass Sie nicht P  ⊃  Q bewerten (wobei P = "Ich bin zum König von Frankreich gewählt" und Q = "Ich würde jeden Tag Eis regnen lassen"), sondern nur Q allein (Sie können keinen vernünftigen Umstand erkennen, in dem ich Q wahr machen könnte). Natürlich ist die Bedingung P  ⊃  Q eine schwächere Behauptung als Q : es ist möglich fürQ falsch und P  ⊃  Q wahr; es ist gleichbedeutend mit "entweder werde ich nicht zum König von Frankreich gewählt, oder ich lasse jeden Tag Eis vom Himmel regnen" (was jetzt eher wie ein surreales Ultimatum als wie ein Versprechen klingt). Angesichts der Tatsache, dass Frankreich derzeit überhaupt keine Könige hat, geschweige denn gewählte Könige, wird diese vorgeschlagene Einschränkung der Funktionsweise der Welt wahrscheinlich dadurch erfüllt, dass ich nicht zum König von Frankreich gewählt werde.

In beiden Fällen hatte die Bedingung wenig mit der Folge zu tun; Es ist unwahrscheinlich, dass ich esse, wenn ich Äpfel esse, und König von Frankreich zu werden, wird mir wahrscheinlich keine Eiscreme-Regengott-Kräfte verleihen. Aber beide Bedingungen sind wahr, weil die Einschränkungen, die sie für die Natur der Welt vorschlagen, in jedem Fall erfüllt sind.

Wenn wir Konditionale P  ⊃  Q in Bezug auf Ursache und Wirkung denken wollen , wollen wir normalerweise in Modellen der Welt arbeiten, in denen P wahr und Q auch falsch sein kann . Der Grund, warum die obigen Beispiele seltsam erscheinen mögen, liegt genau darin, dass in einem Fall Q unvermeidlich ist (ich kann den Tod nicht vermeiden) und in dem anderen P unvernünftig ist (ich kann nicht zum König von Frankreich gewählt werden) – zumindest nicht mit den aktuellen Regierungssystemen und dem Niveau der Medizintechnik.