Tarskis Wahrheitsbegriff für unendlich lange Formeln

Erstreckt sich Tarskis semantischer Wahrheitsbegriff, insbesondere seine Konvention (T) (X ist wahr genau dann, wenn p), auf Formeln unendlicher Länge?

Ich kenne die Antwort darauf nicht, möchte aber nur darauf hinweisen - was Sie sicher wissen -, dass Gentzen Formeln bis e_0 verwendet hat, um die Konsistenz der Arithmetik zu beweisen.
@MoziburUllah - Gentzens Beweis verwendet die Induktion bis epsilon_0 als Axiom in der Metatheorie.
Ja; siehe Unendliche Logik und Tarskis Wahrheitsdefinitionen : "Bereits in den 1950er Jahren interessierten sich Modelltheoretiker für formale Sprachen, die Ausdrucksformen beinhalten, die sich von allem in Tarskis Arbeit von 1933 unterscheiden. Die Erweiterung der Wahrheitsdefinition auf unendliche Logik war überhaupt kein Problem."

Antworten (1)

Es gibt zwei Arten von unendlichen Ausdrücken (Formeln, Zeichenketten, Wörter): 1) solche, die durch endliche Ausdrücke beschrieben werden können, und 2) solche, die eine unendliche Komplexität haben und nicht auf endliche Ausdrücke reduziert werden können.

Beispiele für die ersten im Bereich der reellen Zahlen sind 0,111 ... oder SUM(1/n!). Diese Ausdrücke definieren Zahlen genau als ihre Grenzen, und es können auch analoge logische Ausdrücke verwendet werden.

Beispiele der zweiten Art sind die meisten reellen Zahlen, weil es unabzählbar viele, aber nur abzählbar viele endliche Ausdrücke gibt. Diese Überschusszahlen sind undefinierbar und können daher keinen im mathematischen Diskurs kommunizierbaren Zahlenwert haben. Gleiches gilt für unendliche Folgen logischer Atome oder andere unendliche Ausdrücke. Sie können keinen Wahrheitswert haben, da jeder bis zu einem bestimmten Schritt erhaltene Wahrheitswert im nächsten Schritt negiert werden könnte. Ohne "End Of File" ist kein Wert erkennbar.

Was vor sich geht, ist direkt analog zu der Tatsache, dass das Akzeptanzproblem der Turing-Maschine nicht entscheidbar ist – es gibt keine Menge, die die Beziehung ausdrückt, dass eine gegebene (interne) reelle Zahl eine gegebene (interne) Formel erfüllt. (vorausgesetzt ich habe keinen Fehler gemacht)
@Hurkyl: Deins ist ein weit verbreitetes Missverständnis (an dem auch Cantor festhielt). Eine Formel ist eine endliche Folge von Buchstaben über einem endlichen Alphabet. Es gibt nur abzählbar viele solcher Formeln. Siehe Weyl: „Die möglichen Kombinationen endlich vieler Buchstaben bilden eine abzählbare Menge“ oder Bernays: „Wenn wir dem Gedanken nachgehen, dass jede reelle Zahl durch ein arithmetisches Gesetz definiert ist, ist die Idee der Gesamtheit der reellen Zahlen nicht mehr unverzichtbar“ bzw Kurt Schütte: "Wenn wir die reellen Zahlen in einem streng formalen System definieren, ... dann lassen sich diese reellen Zahlen durchaus aufzählen". Oder zählen Sie sie selbst auf.
Warum sollte es eine Menge geben, die eine Aufzählung gibt? Übrigens passiert das gleiche Phänomen in der Theorie des Rechnens: Wir verwenden einfach den Begriff "rekursiv aufzählbar" statt "zählbar".
@Hurkyl: Warum sollte es eine Menge geben, die eine Aufzählung gibt? Denn alle Formeln gehören zu einer aufzählbaren Menge. (Man kann es auch rekursiv aufzählbar nennen.) Daher sagt uns die Mathematik, dass es nicht genug Formeln für die reellen Zahlen gibt.
Ich habe nicht gefragt, warum es eine Menge geben sollte, die Formeln aufzählt, ich habe gefragt, warum das – zusammen mit der Hypothese, dass jede reelle Zahl durch eine Formel gegeben werden kann – implizieren sollte, dass es eine Menge gibt, die einer Aufzählung die reellen Zahlen gibt.
Um das Problem einzugrenzen, stellen Sie sich sicherlich die Begriffspaare (P,r) vor, wobei P ein Prädikat, r eine reelle Zahl und r das einzige Objekt im mengentheoretischen Universum ist, das P erfüllt. Die Frage ist, warum dies der Fall sein sollte eine Menge aller solcher Paare sein.
Wir müssen vorsichtig sein. r ist keine reelle Zahl, sondern ein Ausdruck, der durch eine reelle Zahl ersetzt werden kann. Dazu müssen Sie die Nummer definieren, die Sie verwenden möchten. Sie können es jedoch nicht definieren, wenn es unendlich viele Ziffern hat, ohne eine Formel, die es ermöglicht, jede Ziffer zu erhalten.
Ich sehe nicht ein, warum man zur Einführung einer Variablen vom Typ reelle Zahl eine Formel für die Ziffern benötigen würde (das ist nicht einmal eine gute Idee in der berechenbaren Analyse!), Aber eine ist verfügbar: Die Ziffer an der Stelle n ist der Rest des Stockwerks (|r| / 10^n) bei Division durch 10.
Die Frage ist nicht , eine Variable einzuführen. Die Frage ist, ob jede reelle Zahl definiert werden kann. Die Antwort lautet: Wenn es unabzählbar viele reelle Zahlen gibt, dann können die meisten nicht definiert werden, weil verschiedene reelle Zahlen verschiedene Definitionen erfordern, aber es gibt nur abzählbar viele Definitionen. - Entschuldigung, das ist Grundwissen. Ich werde hier aufhören.
Ja, ich stimme zu, es ist ein weit verbreitetes Missverständnis. Kardinalität kann sowohl als Maß für Komplexität als auch als Maß für Größe verstanden werden – ich rate dazu, die Dinge im Sinne des Ersteren zu verstehen, wenn Letzteres Sie in die Irre führt.
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