Betrachten Sie die folgende Wahrheitstabelle, die zur Definition der logischen Verknüpfung ⇔ dient,
P | Q || P⇔Q
T | T || T
T | F || F
F | T || F
F | F || T
Gemäß der obigen Wahrheitstabelle ist die logische Verknüpfung ⇔ definiert als die binäre Operation, die als Argumente zwei Aussagen Pund Qnimmt und eine andere Aussage erzeugt, die den Wahrheitswert "wahr" hat, wenn beide Wahrheitswerte von Pund Qgleich sind, und " falsch" sonst.
Nachdem man ⇔auf die obige Weise definiert hat, kann man (unter Verwendung von Wahrheitstabellen) beweisen, dass die Aussage P ⇔ Qäquivalent ist (d. h. dieselbe Wahrheitstabelle hat wie) die Aussage (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P). Indem wir zeigen, dass diese Aussagen P ⇔ Qunter (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P)Verwendung ihrer Wahrheitstabellen „äquivalent“ sind, berufen wir uns auf einen „wahrheitsfunktionalen“ Begriff der Äquivalenz.)
Gibt es jedoch einen rudimentäreren Begriff der Äquivalenz, der von der Wahrheitstabellendefinition der Äquivalenz getrennt ist? Ich kann versuchen, vorzuschlagen, warum dies wünschenswert sein könnte. Zum Beispiel ist es üblich, die Aussage als 3>2„äquivalent“ zur Aussage zu betrachten 3-2>0, nicht nur weil beide Aussagen wahr sind (und daher die gleichen Wahrheitswerte haben, was es uns erlaubt zu sagen (3>2)⇔(3-2>0)ist „wahr“ unter Verwendung der obigen Definition von ⇔), sondern auch indem sie inhaltlich oder bedeutungsmäßig dasselbe sagen ! Daher möchten wir vielleicht ein neues Symbol wie z. B. auswählen ≡und (in einem stärkeren Sinne) sagen, dass (3>2)≡(3-2>0).
Betrachten Sie andererseits die Aussagen 3>2und 4+6=10. Da beide Aussagen wahr sind, könnten wir (unter Verwendung der ⇔obigen Definition) das schreiben (3>2)⇔(4+6=10), was kontraintuitiv erscheint. Oder nehmen Sie als weiteres Beispiel an, dass die Aussagen „der Himmel ist blau“ und „das Gras ist grün“ beide immer wahr sind. Da beide Aussagen den gleichen Wahrheitswert haben, könnten wir dann wieder schreiben (unter Verwendung der ⇔obigen Definition), dass "the sky is blue" ⇔ "the grass is green"wahr ist.
Hier ist mein Punkt: Obwohl wir in den obigen Beispielen wahrheitsfunktionale Äquivalenz gezeigt haben, würden wir diese Aussagen wahrscheinlich nicht als "äquivalent" in Bezug auf ihre Bedeutung betrachten , da sie völlig unterschiedliche Dinge sagen. Beispielsweise sind die Inhalte von 3>2und 4+6=10nicht miteinander verbunden.
Übersehe ich hier etwas? Gibt es einen rudimentäreren Begriff der Äquivalenz, getrennt von der Definition der Wahrheitstabelle? Sollen wir die Symbole ≡und ⇔anders verwenden, vielleicht inhaltlich oder bedeutungsgleiche≡ Aussagen (wie und ) und nicht nur Aussagen wie und ) vorbehalten?3>23-2>03>24+6=10
Danke für deine Gedanken!
Es gibt einen Unterschied zwischen semantischer Konsequenz, die durch Wahrheitstabellen ausgedrückt wird, und syntaktischer Konsequenz in einem deduktiven System , einige Autoren verwenden ⊨ für ersteres und ⊢ für letzteres, und den entsprechenden Unterschied in der Äquivalenz. Letzteres kann verwendet werden, um das zu erfassen, was Sie etwas beschreiben. In Kants Theorie der begrifflichen Enthaltsamkeit wird die Äquivalenz „nicht nur, weil beide Aussagen wahr sind, sondern auch dadurch, dass sie inhaltlich dasselbe sagen“ als analytische Äquivalenz bezeichnet und kann wie folgt formalisiert werden.
Beachten Sie, dass in Ihren Beispielen die Wahrheit der Aussagen von der Anwendung der Gesetze der Arithmetik abhängt. Man kann eine Teilmenge davon auswählen, in Bezug auf die 3 > 2 und 3-2 > 0 immer noch beweisbar äquivalent sind, aber 4 + 6 = 10 ist unbeweisbar. Allgemeiner können Sie einige Axiome, die Sie akzeptieren, als "analytisch" (z. B. nur Gesetze der reinen Logik) und andere als "synthetisch" (z. B. arithmetische Gesetze) bezeichnen. Äquivalenz wird für analytisch erklärt, wenn nur analytische Axiome verwendet werden, um sie abzuleiten. Bei rein logischer Analytik sind 3 > 2 und 3 - 2 > 0 jedoch nicht analytisch äquivalent. Und sie sollten nicht sein, wenn Sie darüber nachdenken. Letzteres beinhaltet 0 und Subtraktion, während Ersteres dies nicht tut, also fügt es zusätzliche arithmetische Inhalte und Eigenschaften hinzu. Aber Sie können bekommen, was Sie wollen, indem Sie einen Teil der Arithmetik in die analytische Spalte verschieben. Zum Beispiel,Hatte Locke recht, dass analytisches Wissen leer ist? .
Die Wurzel des Problems ist die Definition von materiellen Bedingungen (und Äquivalenzen) in Form von Wahrheitstabellen. " Der materielle Konditional funktioniert nicht immer in Übereinstimmung mit der alltäglichen Wenn-dann-Überlegung ... Ein Problem besteht darin, dass der materielle Konditional zulässt, dass Implikationen wahr sind, selbst wenn der Vordersatz für die Konsequenz irrelevant ist. " Bedingung, die "Relevanz" berücksichtigt wird indikativer Konditional genannt , und eine Theorie dazu kann nicht so einfach oder formal sein wie die des materiellen Konditional, genau weil sie "Bedeutungen" berücksichtigen muss, und das sind eine Handvoll.
Ich verstehe, was Sie sagen, aber die Implikation in der klassischen Logik hat nichts mit der "Bedeutung" von Sätzen zu tun. Insbesondere 3>2und 4+6=10sind eigentlich äquivalente Aussagen.
Der Grund dafür, zwei Symbole zur Darstellung der logischen Äquivalenz zu haben, geht ungefähr so: Innerhalb einer gegebenen Theorie der Mathematik A konstruieren wir ein logisches System B. Es (B) besteht einfach aus (einem Satz von) Symbolketten, die "Sätze" genannt werden Q ⇒ Poder P∧Pzusammen mit Semantik oder einem syntaktischen Kalkül, um das abzuleiten, was man "gültige Aussagen" nennt (in Ihrem Fall sind es "Wahrheitstabellen"). Das Symbol ⇔ist dann nur ein Zeichen, dann kann es in diesen Strings vorkommen oder nicht und innerhalb von B bedeutet es, dass zwei Sätze äquivalent sind. Andererseits schreiben wir bei gegebenen zwei Sätzen Pund Q(das sind Dinge in A, man kann nicht über einzelne Sätze von B in B sprechen), um P ≡ Qzu sagen, dass P⇔Qdies zufällig ein gültiger Satz ist,≡ist einfach eine Relation auf der Menge von Aussagen, die Ihnen innerhalb von A sagt , dass zwei Aussagen von B äquivalent sind. Wenn Sie Logik nicht mathematisch studieren, können Sie jedoch einfach "vergessen", dass A und das Symbol ≡jemals "existierten", da Sie es (meistens) nicht benötigen.
Wenn Sie möchten, dass Ihre Implikation die Bedeutung der Aussagen respektiert, müssen Sie einen Blick auf die "Relevanzlogik" ( http://plato.stanford.edu/entries/logic-relevance/ ) werfen. Weitere Informationen kann ich Ihnen hierzu leider nicht geben.
Ich denke, was Sie aufgreifen, ist die Fregesche Unterscheidung zwischen Sinn und Referenz . Der Referent eines Begriffs t ist das Objekt, das t „in der Welt“ auswählt, während der Sinn von t ungefähr so etwas wie die mit t verbundene Idee ist . ( SEHR grob. Frege nennt den Sinn des Begriffs die „Präsentationsart“ des Begriffs; eine Art, sich Sinn vorzustellen, ist die Art und Weise , wie sich ein Begriff bezieht. Beachten Sie auch, dass der Sinn eines Begriffs eine „Idee“ genannt wird ' Ich meine nicht, dass Sinn etwas Mentales ist).
Frege identifiziert den Referenten eines (wohlgeformten) Satzes mit dem Wahrheitswert dieses Satzes. Dies steht im Einklang mit Ihrer Erkenntnis, dass '3>2' und '4+6=10' wahrheitsfunktional äquivalent sind, und doch 'nicht dasselbe bedeuten', dh synonym sind (ich nehme an, das ist, was Sie tun' erneut versuchen zu erfassen, wenn Sie über Inhalte sprechen). Frege wird dies erklären, indem er sich auf einen Sinnunterschied zwischen den beiden Sätzen (besser: den durch diese Sätze ausgedrückten Aussagen) beruft. Ebenso sind die Sätze „alle Junggesellen sind unverheiratete Männer“ und „alle Füchsinnen sind weibliche Füchse“ beide (notwendigerweise) wahr, also wahrheitsfunktional äquivalent, aber wir möchten nicht sagen, dass sie synonym sind.
Weitere Informationen zu Freges Sprachphilosophie finden Sie unter http://plato.stanford.edu/entries/frege/#FreLan . Frege selbst ist ein unglaublich klarer Schreiber, und Sie könnten wahrscheinlich direkt zu seinem „On Sense and Reference“ gehen (einfach googeln – Sie können es überall online finden), wo er diese Unterscheidung im Detail darlegt.
Tatsächlich haben die beiden fraglichen Symbole ≡und ⇔, sehr unterschiedliche Verhaltensweisen in der Aussagenlogik. In 99 % der Situationen können Sie sie austauschen und damit davonkommen. In den letzten 1% ist der Unterschied jedoch wesentlich für die Verwendung der Aussagenlogik.
Der Unterschied besteht darin, dass die Bedeutung von ⇔formal in der Definition der Aussagenlogik definiert ist, während ≡dies nicht der Fall ist. ist per Definition ≡mit dem Implikationsoperator verwandt . Implikation, , unterscheidet sich vom Bedingungsoperator, da die Bedeutung von formal definiert und informell definiert ist.⊢iff A ⊢ B AND B ⊢ A then A ≡ B⊢⇒⇒⊢
Warum diese Seltsamkeit? Es taucht auf, wenn man versucht, die Regeln der Sprache der Aussagenlogik zu definieren. Ich konnte die Anweisung nicht verwenden (A⇔B) ⇔ ((A⇒B) ^ (B⇒A)), um den ⇔Operator zu definieren, weil ich ihn am Ende in seiner eigenen Definition verwenden würde! Diese kreisförmige Schleife kann man nicht verlassen, egal wie viele clevere Operatoren Sie formal definieren. Die Lösung besteht darin, dass ⊢informell verwendet wird, um zu definieren ≡, und dann ≡verwendet wird, um zu definieren ⇔:(A⇔B) ≡ ((A⇒B) ^ (B⇒A))
Sobald wir ⇔auf diese Weise definiert haben, können wir irgendwie davonkommen, ⇔und ≡als dasselbe zu behandeln. In dieser anfänglichen Bootstrapping-Phase ist der Unterschied jedoch für die Konstruktion der Aussagenlogik wesentlich und darf nicht unterschätzt werden.
⇔und ≡, sondern jetzt auch den Unterschied zwischen ⇒und ⊢! In meinem Matheunterricht habe ich das bisher nur ⇒verwendet gesehen, noch nie ⊢. Ein paar Anschlussfragen: Das Symbol ⇒wird durch seine Wahrheitstabelle definiert, richtig? Hat ⊢eine andere Wahrheitstabelle als ⇒? Ich habe bemerkt, dass Sie sagten, dass ⊢es nicht formal definiert ist, aber kann nicht alles in der Logik formalisiert werden? Sie haben mein Interesse an der Konstruktion von Aussagenlogik geweckt; Gibt es einen Text, den Sie empfehlen könnten, der diese Konstruktion ausführlicher erklärt? Danke vielmals!⊢sie nicht durch eine Wahrheitstabelle definiert ist und mit Aussagen arbeitet, nicht mit Werten, aber sobald Sie alle Operatoren in der Aussagenlogik vollständig definiert haben, stellen Sie fest, dass Sie eine Wahrheitstabelle erstellen können, indem Sie sie mit bewiesenen Aussagen füttern wahr und Aussagen, die erwiesenermaßen falsch sind, und Sie werden feststellen, dass die Wahrheitstabelle identisch mit der Wahrheitstabelle aussieht, die definiert ⇒. Beachten Sie, dass ich die "Wahrheitstabelle" absichtlich ⊢ein wenig rückwärts angegangen bin. Wie sich herausstellt, kann nicht alles in der Logik formalisiert werden. Das Verhalten des "impliziert"-Operators, ⊢,⊢eine Aussagenlogik "höherer Ordnung" formal definieren, eine Logik, von der wir annehmen, dass sie bereits definiert ist. Wir können dann diese Sprache definieren ⊢und so weiter. Wenn Sie dies bis ins Unendliche fortsetzen, sollten Sie theoretisch schließlich zum "wahren" Verhalten von gelangen ⊢. Es gibt jedoch einen Haken. Um diese Reise ins Unendliche zu beschreiben, muss man zählen können. Sie müssen in der Lage sein, Beweise zu Grundrechenarten zu führen (z. B. Beweisen von 2+3=5). Alfred Tarksi hat bewiesen, dass eine solche Sprache ihre eigene Semantik nicht definieren kann. Du kannstPund P⇒Q, verwenden Sie Modus Poens, um zu beweisen Q. Aber was bedeutete es wirklich, „Modus Poens zu verwenden“? Sie verwenden tatsächlich diesen ⊢Meta-Operator, um zu sagen P, P⇒Q ⊢ Q, oder auf Englisch, "'P' und 'if P then Q' impliziert 'Q'", und es ist dieser Implikationsschritt, der es Ihnen ermöglicht, Qals wahre Aussage zu schreiben. Wie Sie jedoch bemerken, gibt es eine Eigenart, da P, P⇒Qes sich nicht wirklich um eine Satzphrase handelt. Es gibt keinen Kommaoperator.(P⇒Q)^P⇒Q, aber wie können Sie beweisen, dass Sie eine solche Aussage mit Ihren eigenen Variablennamen konstruieren können, und sicher sein, dass sie wahr sein muss. Der Implikationsschritt, der formal mit dem ⊢Meta-Operator notiert wäre, wird in der „Begründung“ Ihrer Aussage gebündelt, indem der Name „modus poens“ aufgerufen wird.Für Zwecke der Logik, die mathematische, politische oder philosophische Argumente oder verschlüsselte Computerdaten berücksichtigen kann, ist es allgemeiner, nur den Wahrheitswert von Aussagen völlig unabhängig von ihrer Bedeutung zu berücksichtigen. In ähnlicher Weise finden wir es normalerweise nützlicher, 2 + 3 = 5 zu betrachten, unabhängig davon, ob es sich um Zahlen von Schweinen, Quadratmillimetern, Regentropfen oder Vorkommen des Buchstabens r in einer Zeile von Shakespeares gesammelten Werken handelt, anstatt sie definieren zu müssen separate Arithmetik für Tauben und Paar Schuhe.
DBK
EthanAlvaree
⇔und verstehe≡(da der Unterschied nicht das zu sein scheint, was ich dachte)!