Es gibt ein scheinbares Problem, auf das ich gestoßen bin, das mich ohne Ende stört.
Nehmen Sie einen Satz wie „Schnee ist weiß“. „Schnee ist weiß“ und seine Verneinung „Schnee ist nicht weiß“ sind offensichtlich widersprüchlich. Wenn sie jedoch in der Prädikatenlogik ausgedrückt werden, ∀x(Sx → Wx) bzw. ∀x(Sx → ~Wx), hören sie auf, widersprüchlich zu sein, und werden gegensätzlich: Es gibt keine Möglichkeit, diese beiden Sätze dazu zu bringen, a zu implizieren Widerspruch; sie können immer nur die Konsequenz von Sx eines Widerspruchs nach sich ziehen.
Was hier zu passieren scheint, ist, dass widersprüchliche Aussagen in der Aussagenlogik in der Prädikatenlogik so widersprüchlich sind, dass widersprüchliche Aussagen in der Aussagenlogik in der Prädikatenlogik nicht widersprüchlich sind, weil widersprüchliche Aussagen nicht widersprüchlich sind. Aber wenn sowohl die Aussagenlogik als auch die Prädikatenlogik legitim sind, müssen wir dann nicht die absurde Schlussfolgerung akzeptieren, dass keine widersprüchlichen Aussagen widersprüchlich sind?
Wie kann dieses Problem gelöst werden? Noch wichtiger, ist das überhaupt ein Problem oder bin ich einfach nur schrecklich verwirrt über etwas?
Vielen Dank im Voraus für Ihre Zeit und Hilfe.
Was in der Aussagenlogik ein Widerspruch ist, bleibt in der Prädikatenlogik ein Widerspruch. Das Problem mit Ihren Beispielen ist, dass sie nicht besonders klar sind, ob Sie von allem Schnee sprechen oder nur von einigen.
„Schnee ist weiß“ und „Schnee ist nicht weiß“ sind in der Aussagenlogik keine Widersprüche. Dafür müssten Sie „Schnee ist weiß“ und „Es ist nicht so, dass Schnee weiß ist“. Diese könnte man in der Aussagenlogik als P und ¬P symbolisieren und dann wären sie ein Widerspruchspaar und würden ein Widerspruchspaar in der Prädikatenlogik bleiben.
In der Prädikatenlogik könnte ∀x(Sx → Wx) gelesen werden als „alle schneebedeckten Dinge sind weiß“ und ∀x(Sx → ¬Wx) als „alle schneebedeckten Dinge sind nicht weiß“. Diese sind nicht widersprüchlich, da beide falsch wären, falls einige schneebedeckte Dinge weiß sind und andere nicht. Streng genommen sind sie auch nicht gegensätzlich, da beide wahr sind, wenn es keine schneebedeckten Dinge gibt. Wenn Sie die Zusage einschließen möchten, dass einige schneebedeckte Dinge existieren, müssten Sie ∀x(Sx → Wx) ∧ ∃ySy bzw. ∀x(Sx → ¬Wx) ∧ ∃ySy schreiben.
Wenn Sie „Schnee ist weiß“ so verstehen wollen, dass alles Schnee weiß ist, dann ist sein Widerspruch „es ist nicht so, dass alles Schnee weiß ist“, was in der Prädikatenlogik ¬∀x(Sx → Wx) oder ∃ ist x(Sx ∧ ¬Wx). Diese sind widersprüchlich zu ∀x(Sx → Wx), also bleibt der Widerspruch bestehen.
Ihre Verwirrung scheint darauf zurückzuführen zu sein, dass Sie nicht zwischen "es ist nicht der Fall, dass aller Schnee weiß ist" und "alle Schnee ist nicht weiß" unterscheiden.
Der englische Satz snow is white lässt sich nicht in den FOL-Satz \forall übersetzen. xS(x) -> W(x). Dafür gibt es zwei Gründe:
Aber (2) ist für Ihre Frage nicht wirklich relevant, also konzentrieren wir uns auf (1). Generika sind Sätze wie die folgenden:
Sie drücken intuitiv Verallgemeinerungen irgendeiner Art aus, aber Linguisten hatten nicht viel Erfolg bei der Aufdeckung der Details, wie ihre Semantik funktioniert. Klar ist jedoch, dass sie keine universelle oder existentielle Quantifizierung ausdrücken. Sie drücken keine universelle Quantifizierung aus, weil z. B. (4) und (5) wahr sind, aber (4') und (5') nicht:
4'. jeder Schmuck ist teuer
5'. Alle Enten legen Eier
(4') ist falsch, weil manche Schmuckstücke billig sind (ich habe einmal eine Halskette für einen Dollar gekauft) und (5') ist falsch, weil männliche Enten keine Eier legen. Beachten Sie, dass dasselbe für Ihren Satz gilt: (8) ist wahr, aber (8') nicht (sehen Sie sich nur etwas schmutzigen Schnee am Straßenrand an):
8'. aller Schnee ist weiß
Dies zeigt, dass Generika keine universelle Quantifizierung ausdrücken. Daraus folgt, dass die Tatsache, dass (8) und (8'') widersprüchlich sind, aber (9) und (9') nicht, weniger mit der Übersetzung von Sätzen der Aussagenlogik in FOL zu tun hat, sondern mehr mit den Nuancen von Generika:
8''. Schnee ist nicht weiß
9'. \für alle x . Schnee(x) -> ~Weiß(x)
Erwähnenswert ist auch, dass Generika keine existenzielle Quantifizierung ausdrücken, da z. B. (6) und (7) beide falsch sind, aber (6') und (7') beide wahr sind:
6'. manche Leute sind über drei Jahre alt
7'. Einige Grundschullehrer sind weiblich
Wenn Sie mehr über Generika erfahren möchten, können Sie das Kapitel von Ariel Cohen in diesem Handbuch oder den SEP-Eintrag von Sarah Jane Leslie lesen .
BEARBEITEN: Ich beantworte hier die Folgefragen von @falcon:
Frage 1 : „Vielen Dank für Ihre Antwort! Also, was Sie sagen, ist das Folgende? „S sind P“ bedeutet nicht unbedingt „Alle S sind P“ oder „Einige S sind P“, noch „S sind not P“ bedeutet zwangsläufig „Alle S sind nicht P“ oder „Einige S sind nicht P.“ Dies liegt daran, dass „S sind P“ und „S sind nicht P“ Generika sind und Generika weder universelle noch existentielle Quantifizierung ausdrücken. "
Antwort: Genau.
Frage 2 : „Generika drücken keine Quantifizierung aus, weil ein Generikum wahr sein könnte und die entsprechende quantifizierte Aussage falsch und umgekehrt – Ihre beiden Beispiele: „Enten legen Eier“ ist wahr, aber „ALLE Enten legen Eier“ ist falsch ; "Grundschullehrer sind weiblich" ist falsch, aber "EINIGE Grundschullehrer sind weiblich" ist wahr."
Antwort : Ja, aber mit einer Einschränkung. Generika drücken keine universelle oder existenzielle Quantifizierung aus, aber viele Linguisten glauben, dass sie eine deutliche dritte Art von Quantifizierung ausdrücken, die als generische Quantifizierung bezeichnet wird .
Frage 3 : „Und wenn alles Obige zutrifft, würde Ihrer Meinung nach auch das Folgende gelten? Aufgrund von Unterschieden im Wahrheitswert zwischen Generika und ihren entsprechenden quantifizierten Aussagen ist der Aussage ist nicht tautolog. Aufgrund dieser Uneigentlichkeit ist keinem Generikum ein bestimmter Quantifizierer garantiert: Generika neigen dazu, in Bezug auf die Quantifizierung mehrdeutig zu sein, und wir müssen den fehlenden Quantifizierer durch Rückgriff auf den Kontext in natürlicher Sprache liefern.
Antwort : Nein, das finde ich nicht richtig. Ein Ausdruck ist mehrdeutig, wenn ihm mehrere unterschiedliche Interpretationen zugeordnet sind. In einem solchen Fall sollten Sie in der Lage sein, jede Interpretation zu paraphrasieren und Szenarien zu finden, in denen nur eine davon wahr ist. Beispielsweise ist der Satz all of the students failed an exam mehrdeutig, weil er genau zwei unterschiedliche Interpretationen mit sich bringt. Und wir können sie umschreiben:
Erste Interpretation: Es gibt eine Prüfung, die jeder Student nicht bestanden hat
Zweite Deutung: Jeder Student ist bei der einen oder anderen Prüfung durchgefallen
Und schließlich können wir Situationen identifizieren, in denen nur die zweite Interpretation zutrifft (z. B. gibt es zwei Studenten und zwei Prüfungen und der erste Student hat die erste Prüfung bestanden, aber die zweite nicht bestanden, während der zweite Student die erste Prüfung nicht bestanden hat, aber die bestanden hat zweite).
Dies gilt jedoch nicht für Generika. Das heißt, es ist nicht so, dass der Satz Schnee ist weiß bedeutet , dass in manchen Kontexten der ganze Schnee weiß ist , aber in anderen Kontexten ist ein Teil des Schnees weiß . (versuchen Sie einfach, an solche Zusammenhänge zu denken!). Vielmehr scheint der Satz in jedem Kontext eine einzige Interpretation zu haben, die einfach nicht gleichbedeutend mit all snow is white oder some snow is white ist .
Vor diesem Hintergrund ist hier etwas Interessantes, das für Ihre Frage nicht direkt relevant ist: Dieselbe oberflächliche syntaktische Struktur kann verwendet werden, um Existenzialien und Generika auszudrücken. Zum Beispiel,
1 ein. Waschbären sind Säugetiere .
B. Waschbären fressen unseren Müll
2 ein. Ein Handy ist ein tragbares Kommunikationsmittel
B. Auf dem Tisch liegt ein Handy. weißt du wem es gehört?
(1a) und (2a) sind Generika, aber (1b) und (2b) sind Existentiale. Es gibt auch empirische Tests, um sie voneinander zu unterscheiden. Existentials sind aufwärtsführend, Generika jedoch nicht. Und das Prädikat in einem Existenzial muss ein Prädikat auf Stufenebene sein, aber das Prädikat in einem Generikum muss ein Prädikat auf individueller Ebene sein (Vorbehalt: Dies gilt nicht ganz für unbestimmte Singulare). Aber das hat nichts mit deiner Frage zu tun.
Frage 4 : „Mein Fehler bestand darin, diese Zweideutigkeit nicht zu berücksichtigen, eine Zweideutigkeit, die sich aus, wie Sie es ausdrückten, „den Nuancen von Generika“ ergibt.“
Antwort : Das habe ich größtenteils schon beantwortet, aber nein, ich glaube nicht, dass das richtig ist. Ich denke, der Satz Schnee ist weiß ist eindeutig. Ihr Fehler war, es als universell zu interpretieren, wenn es wirklich (eindeutig) ein generisches ist.
Geoffrey Thomas