Ich bin sehr verwirrt, wie das möglich sein kann. Könnte mir jemand eine Ersatzinstanz geben?
Wenn dies nicht richtig ist, ist an diesem Beweis etwas falsch?
├ (∃y)(Fy→(∀x)Fx)
[1] 1. (∃x)~Fx A
[1] 2. ~Fa 1, EE
[3] 3. Fa A
[1,3] 4. (Fa•~Fa) 2,3, Conj
[3] 5. ~(∃x)~Fx 4, RAA
[3] 6. (∀x)Fx 5, (Ex.7)
7. (Fa→(∀x)Fx) 6, RCP
8. (∃y) (Fy→(∀x)Fx) 7, EI
Danke vielmals!
Wie Mauro sagte, wird diese Aussage oft als das Trinker-Paradoxon bezeichnet: Es gibt jemanden, der so ist, dass wenn diese Person trinkt, dann trinken alle.
Die Aussage ist gültig, da wir wissen, dass entweder jeder trinkt (in diesem Fall ist die Aussage eindeutig wahr) oder nicht jeder trinkt, in welchem Fall wir auf jeden Nichttrinker verweisen können, um die Aussage vage wahr zu machen.
Dein Beweis ist leider falsch. Beachten Sie, wie Zeile 7 sagt, dass wenn $a$ die Eigenschaft F hat, dann hat alles die Eigenschaft F ... das kann keine gültige Aussage sein: Nur weil ein Objekt a die Eigenschaft F hat, sollte das natürlich nicht implizieren, dass alles die Eigenschaft F hat. Also, Irgendwas stimmt nicht. Aber wo? Das hängt tatsächlich davon ab, wie genau Ihre Regeln definiert sind ... aber wahrscheinlich funktioniert Ihre EE-Regel etwas anders, als Sie es darstellen, oder Sie dürfen Fa nicht als eigenständige Annahme einführen, nachdem Sie das a on eingeführt haben Zeile 2 oder (wie Dan in den Kommentaren vorschlägt) in Zeile 5 sollten Sie 3 von Ihrer Annahmenbasis entfernen und nicht Zeile 1.
Um zu versuchen, Ihren Beweis zu reparieren, würde ich der zuvor erwähnten Strategie folgen: Zuerst beweisen Sie unter Verwendung des Musters des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte, dass entweder alles die Eigenschaft F hat oder nicht, und führen Sie dann einen Fallbeweis dafür durch.
Hier ist eine mengentheoretische Version Ihrer Aussage: In jeder Mengentheorie, die die Existenz einer universellen Menge verbietet (dh wenn jede Menge etwas ausschließen muss), gilt für jede Menge F und jeden logischen Satz P:
Es existiert x, (x in F => P)
unabhängig davon, ob P wahr ist oder nicht. Weitere Einzelheiten finden Sie in meinem Blogbeitrag The Drinker's Paradox .
Moral der Geschichte: Hüten Sie sich vor Implikationen mit existenziellen Quantoren. Es können wirklich seltsame Dinge passieren.
Mauro ALLEGRANZA
David
Mauro ALLEGRANZA
Dan Christensen