Was sind gegenwärtig die größten ungelösten Probleme der Logik?

Man sollte bedenken, dass sich die Bedeutung von "Logik" im Laufe des letzten Jahrhunderts verändert hat und sich jetzt mehr auf die formale Logik beschränkt, obwohl sie weiter gefasst ist als die deduktive oder mathematische Logik im engeren Sinne. Die Schnittstelle zwischen dem Formalen und dem Informellen, Formalisierung, formale Semantik, wird ebenfalls einbezogen. Aber das ist nicht das, was Kant mit „transzendentaler Logik“, Hegel mit „Logische Wissenschaft“ oder Husserl mit „Logische Untersuchungen“ meinte, dieser Sinn von Logik steht dem näher, was man heute Erkenntnistheorie nennt.

Was die herausragenden Probleme betrifft, so nenne ich drei Hauptprobleme: semantische Paradoxien, vage Prädikate und die Konstruktion der formalen Semantik natürlicher Sprachen. Die ersten beiden haben antike Wurzeln, das dritte ist ein neueres Projekt, das auf die sprachliche Wende Mitte des 20. Jahrhunderts zurückgeht, alle drei sind Gegenstand aktiver Forschung.

Das älteste semantische Paradoxon ist der Lügner, „Epimenides der Kreter sagt, dass alle Kreter Lügner sind“, „die kleinste Zahl, die nicht in weniger als 12 Wörtern beschrieben werden kann“, das Berry-Paradoxon, ist ein weiteres Beispiel. Semantische Paradoxien spielen meist mit Selbstreferenz und sind der Grund für die Schwierigkeiten mit formalen Sprachen, in denen man über die Wahrheit der eigenen Sätze sprechen kann, dies führt zu Inkonsistenzen. Trotzdem ist unsere natürliche Sprache anscheinend von dieser Art. Standardansätze führen künstliche Hierarchien von Sprachen ein, wie die klassische Tarski-Hierarchie oder die Kripke-Hierarchie, was Wahrheitslücken beinhaltet. Allerdings kann auch Kripkes Version nicht mit dem gestärkten Lügner umgehen, und die Rede von weder wahren noch falschen Sätzen wird in einer fremden Sprache geführt, wie Kripke es ausdrückte, „ das Gespenst der Tarski-Hierarchie ist immer noch bei uns “. Ein anderer Ansatz beinhaltet parakonsistente Logiken, die ein gewisses Maß an Inkonsistenz zulassen, aber viele finden, dass es ein zu hoher Preis ist, sie zu schlucken.

Die Idee der vagen Prädikate geht auf das Sorites-Paradoxon zurück (das demselben Eubulides von Milet zugeschrieben wirdwie der Lügner): Ein Weizenkorn macht keinen Haufen, das Hinzufügen eines Korns macht einen Nicht-Haufen nicht zu einem Haufen, daher gibt es keine Haufen. Zunächst scheint es einfach, das Paradoxon durch Zulassen von Grenzfällen aufzulösen, aber selbst wenn wir eine Grauzone zwischen Heaps und Nicht-Heaps, Semi-Heaps, zulassen, stehen wir bei Nicht-Heaps und Semi-Heaps vor dem gleichen Problem. Es scheint notwendig, entweder den Modus Ponens oder die Induktion aufzugeben, und beides ist kostspielig. Wahrheitslücken und Parakonsistenz wurden eingesetzt und offensichtlich Fuzzy-Logik. Das Problem mit der Fuzzy-Logik ist, dass es keine offensichtliche Brücke zwischen den Fuzzy-Wahrheitswerten und den traditionellen gibt, tatsächlich ist das Bauen einer solchen nur die verkleideten Sorites. Ein eigentümlicher Ansatz ist der Epistemismus, es gibt eine scharfe Grenze zwischen Haufen und Nicht-Haufen, heißt es, aber wir wissen nicht (und werden es nie wissen), was es ist.

In gewisser Weise ist die Konstruktion der Semantik natürlicher Sprachen ein umfassendes Megaproblem, von dem die beiden oben genannten nur kleine Teile sind. Seine Kristallisation ist wahrscheinlich auf Dummets Bemühungen in den 1970er Jahren zurückzuführen. Die Idee ist, eine „ideale Sprache“ mit guten formalen Eigenschaften zu bauen, die unseren sprachlichen Intuitionen so genau wie möglich folgt. Für eine umfassende neuere Übersicht und einen radikalen Ansatz, der sich mit dem klassischen Prädikatenkalkül auseinandersetzt, siehe Ben-Yami's Logic & Natural Language .

Andere Aspekte beinhalten den Umgang mit dem Konditional, das klassische materielle Konditional ist eindeutig nicht das intuitive, und andere formale Kandidaten, zB starke oder relevante Konditionale, haben auch ihre Probleme. Der Streit zwischen Freges Deskriptivist und Kripkes referenzieller Namensemantik endete bisher in einer Sackgasse, beide erfassen intuitive Aspekte der Sprache, eignen sich aber nicht für eine saubere Synthese. Die Modallogik und ihre Interpretationen, sowohl formell als auch informell, bleiben trotz Kripkes Bemühungen ebenfalls umstritten. Die deontische Logik, die Logik der Imperative, bietet eine Reihe von unlösbaren Schwierigkeiten, siehe Hansens Imperative und deontische Logik für eine Übersicht.