Ich bin neugierig, warum es nur die beiden logischen Quantoren gibt und für alle . Intuition und menschliche Sprache unterstützen die Idee, dass diese Quantoren sinnvoll sind, aber ansonsten scheint es willkürlich (zumindest aus einer symbolischen, formallogischen Perspektive), dass es nur diese beiden gibt.
Tatsächlich gibt es nur einen Quantor, denn "für alle x: P(x)" kann ausgedrückt werden als "es gibt kein x: nicht P(x)." (Alternativ könnten wir auf ähnliche Weise there does in Bezug auf for all definieren .)
Was ich wirklich wissen möchte, ist, ob es andere "atomare" logische Quantoren gibt, dh Quantoren, die nicht einfach aus beispielsweise dem existentiellen Quantor und anderen grundlegenden logischen Symbolen wie not , and , and or aufgebaut werden können . Insbesondere gibt es ein einzigartiges Symbol, das nicht zählt, da dieses aus einfacheren Symbolen aufgebaut werden kann.
Kurz gesagt, kann es mehr als einen "atomaren" logischen Quantor geben, und wenn nicht, warum?
Ja – der Schlüsselbegriff ist „ verallgemeinerte Quantifizierer “. Sie werden sowohl im Kontext der natürlichen Sprache als auch in der mathematischen Logik untersucht. Ich konzentriere mich auf die logische Seite, über die ich mehr weiß.
Ein Name, der in beiden Kontexten auftaucht, ist Jon Barwise, und dieser Artikel von Vaanaanen beschreibt einen Großteil von Barwise's Arbeit über verallgemeinerte Quantifizierer; Dieses Papier von Barwise über natürliche Sprache kann von besonderem Interesse sein. Und der SEP-Artikel ist auch ziemlich gut.
Zunächst einmal ist es ein Standardergebnis, dass jeder der folgenden Quantoren nicht von den üblichen definierbar ist:
Es gibt unendlich viele Dinge, die p erfüllen .
Es gibt genau k – viele Dinge, die p erfüllen (für eine feste unendliche Kardinalzahl k).
Es gibt mindestens k-viele Dinge, die p erfüllen (für eine feste unendliche Kardinalzahl k).
Mindestens so viele x erfüllen p wie ~p .
Und viele andere.
(Grundsätzlich Kompaktheit und Lowenheim-Skolem nach Bedarf anwenden.)
Es gibt auch Quantoren, die für Situationen gelten, die reichhaltiger sind als bloße Strukturen erster Ordnung: Wenn wir beispielsweise eine Struktur betrachten, die mit einer Topologie ausgestattet ist, haben wir den Quantor "Die Menge der Dinge, die p erfüllen, ist dicht" und mit einem Maß in Andererseits haben wir den Quantor „Die Menge der Dinge, die p erfüllen , hat ein positives Maß.
Außerdem gibt es verallgemeinerte Quantoren, die syntaktisch komplizierter sind als die üblichen - zum Beispiel die "gleiche Zahl" (oder Hartig ) Quantoren : für p , q Formeln schreiben wir Ixy( p (x), q (y)) für "{x: p (x)} hat dieselbe Kardinalität wie {y: q (y)}." Selbst wenn man die Semantik von $I$ ignoriert, sieht es einfach anders aus (es bindet an zwei Formeln statt an eine).
Das Studium logischer Systeme unter Verwendung verallgemeinerter Quantifizierer ist Teil der abstrakten Modelltheorie , die allgemeiner Logik jenseits der Logik erster Ordnung untersucht; Standardtext zum Thema ist die Sammlung Modelltheoretische Logiken .
Um den Appetit auf das Thema zu wecken (und eine Art negatives Ergebnis zu liefern), lassen Sie mich schließlich einen Satz erwähnen - den Satz von Lindstrom :
Es gibt kein logisches System, das strikt stärker ist als die Logik erster Ordnung, das sowohl die Kompaktheit als auch die nach unten gerichteten Lowenheim-Skolem- Eigenschaften aufweist.
Insbesondere die wirklich unterschiedlichen verallgemeinerten Quantifizierer haben alle eine grundlegende „logische Wildheit“: Wir können keinen von ihnen zu unserer Logik hinzufügen, ohne ihre grundlegenden Eigenschaften zu ändern.
(Ich bin hier etwas vage - zB was genau bedeutet "logisches System" hier? Eine genaue Aussage und Beweis des Theorems finden Sie entweder in Kapitel 2 der oben erwähnten Sammlung oder am Ende von Ebbinghaus-Flum-Thomas .)
WillG
Benutzer76284
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