Kann jemand in einfachen Worten erklären, was genau eine Logik erster Ordnung ist?
Von meinem Amateurstandpunkt aus denke ich, dass die Logik erster Ordnung eine Art System von Symbolen und allgemeinen logischen Regeln und Operationen ist, die auf diesem Satz von Symbolen so definiert sind, dass eine Logik erster Ordnung eine gewisse Ausdruckskraft hat ( das heißt, einige Aussagen können in der Logik erster Ordnung dargestellt werden und einige Theoreme über die Logik erster Ordnung können abgeleitet werden).
Bei den Theoremen hänge ich aber da fest, weil ich im Grunde nicht weiß, was genau in der Logik erster Ordnung bewiesen werden kann, einschließlich Sätze über Aussagen in der Logik erster Ordnung und über zusammengesetzte Aussagen und auch Sätze über die Logik erster Ordnung selbst.
Kann hier jemand so einfach wie möglich eine Erklärung und Beschreibung einer Logik erster Ordnung geben? Am besten so kurz wie möglich.
Gibt es auch nur eine Logik erster Ordnung oder gibt es viele Logiken erster Ordnung, die sich alle in Axiomen unterscheiden, die zum Aufbau einer solchen Theorie verwendet werden?
FOL ist die natürliche Logikumgebung, um mathematische Theorien zu formalisieren.
Das grundlegende Merkmal des Prädikatenkalküls ist die Verwendung von Quantoren : Die Logik erster Ordnung ist ein Prädikatenkalkül, bei dem die Quantifizierung auf einzelne Variablen (Variablen, die über "Objekte" reichen) beschränkt ist und die Quantifizierung über Prädikatenvariablen (dh Variablen, die über "Eigenschaften" reichen) nicht erlaubt.
Der Aussagenkalkül hingegen ist nur ein „Spielzeug“: Er basiert auf einem sehr vereinfachten Sprachmodell, das für die Entwicklung interessanter Theorien nicht geeignet ist, aber effizient verwendet werden kann, um die grundlegenden Eigenschaften eines formalen Systems zu untersuchen: Konsistenz, Vollständigkeit , usw.
Bei FOL haben wir die "logische Maschine", dh die Syntax der Sprache mit Axiomen und Regeln, und wir studieren sie normalerweise ähnlich wie das Studium des Aussagenkalküls, um die grundlegenden metalogischen Eigenschaften zu verstehen.
Wenn wir "reines" FOL untersuchen, definieren wir die Ableitungsbeziehung ( ⊢ ), wobei:
⊢ φ bedeutet : "Formel φ ist im Kalkül ableitbar", und Γ ⊢ φ bedeutet : "Formel φ ist im Kalkül aus der Menge Γ von Annahmen ableitbar".
Damit beweisen wir den fundamentalen Korrektheits- und Vollständigkeitssatz :
Γ ⊢ φ gif Γ ⊨ φ , wobei das Symbol ⊨ semantische Konsequenz bedeutet .
Neben dem Studium der „reinen“ Prädikatenlogik sind wir daran interessiert, der „logischen Maschine“ geeignete nicht-logische Konstanten hinzuzufügen, wie ∈ („in“), die binäre Relation der Mengenlehre, oder + und × („ plus" und "times"), die Grundrechenarten, mit passenden Axiomen , die ihr Verhalten bestimmen.
Daher haben wir gemäß den eingeführten spezifischen mathematischen Symbolen und Axiomen verschiedene mathematische Theorien; wenn die Sammlung von Axiomen die Version erster Ordnung von Peanos Axiomen ist , haben wir PA , dh Theorie der Arithmetik erster Ordnung .
Dasselbe gilt für ZF , dh Zermelo-Fraenkel Mengenlehre .
Leider sind nicht alle interessanten mathematischen Eigenschaften mit FOL ausdrückbar; siehe Logik zweiter und höherer Ordnung .
Die Prädikatenlogik erster Ordnung basiert auf der Aussagenlogik (auch Prädikatenlogik 0. Ordnung genannt).
Die logischen Operatoren der Aussagenlogik (Prädikat nullter Ordnung):
Die Logik erster Ordnung (FOL) umfasst alle Operatoren der Aussagenlogik und fügt ihnen die folgenden 3 Operatoren hinzu:
Identität (=) hilft uns zu symbolisieren
∃xG(x): ein x existiert so, dass es ein G() ist, wobei G(x): = " x ist ein Gott." = "Irgendein Gott existiert"
∀xG(x): Jedes x ist so beschaffen, dass es ein G() ist. = "Jeder Gott" / "Alle Götter"
In Summe:
wobei x eine Prädikatsvariable ist, sich auf alles im Bereich des Diskurses beziehen kann (Bereich: die Menge aller Personen).
wobei G() ein Prädikat ist, wobei G(x) eine Aussagenvariable ist.
Konifold
Mauro ALLEGRANZA