Die meisten logischen Systeme haben zwei unterschiedliche Formen der Folgerung, eine ist die systembasierte Folgerung (logische Konsequenz) und die andere ist die beweisbasierte Folgerung (Ableitbarkeit). Im ersteren folgt eine Folgerung aus dem Zeigen, wie in allen Fällen ein bezeichneter Wert erhalten bleibt. In letzterem wird eine Reihe von Regeln verwendet, um zu beweisen, dass eine Folgerung gilt.
Vollständigkeit ist der Schritt, der es uns erlaubt zu behaupten, dass systembasiertes Implizit beweisbasiertes Implizit impliziert; 𝛤⊨P ⇒ 𝛤⊢P.
Werden Systeme, denen diese Regel fehlt, als ausgefallen angesehen? Gibt es Philosophen, die Vollständigkeit oder Unvollständigkeit als Tugend eines Systems betrachten?
Werden Systeme, denen diese Regel fehlt, als ausgefallen angesehen?
Nicht unbedingt. Es hängt davon ab, was Sie für die wichtigsten Aspekte eines Systems halten.
Gibt es Philosophen, die Vollständigkeit oder Unvollständigkeit als Tugend eines Systems betrachten?
Ja. Einige Philosophen räumen der deduktiven Kraft einen Ehrenplatz ein. Hier habe ich vielleicht jemanden aus der Tradition der Dummettischen Inferentialisten im Sinn. Bei ihrem Licht ist die Logik dafür da, Argumente (erster Ordnung) zu formalisieren. Angesichts dieses Ziels ist semantische Unvollständigkeit unerwünscht, da dies bedeutet, dass einige Folgerungen von Ihrem Beweissystem nicht erfasst werden können. Diese Philosophen werden ein Versagen der semantischen Vollständigkeit als problematisch ansehen (wie im Fall der Logik zweiter Ordnung, wie Mauro betont), weil ihr Projekt eine enge Verbindung zwischen logischer Folgerung und deduktiver Gültigkeit erfordert.
Andere Philosophen hingegen räumen der Ausdruckskraft einen hohen Stellenwert ein. Mathematische Strukturalisten sind hier ein Beispiel. Im Lichte dieser Philosophen kommt es darauf an, dass wir Strukturen – etwa der natürlichen Zahlen – festhalten. Da Sie das nur in zweiter Ordnung tun können, müssen Sie dafür die semantische Vollständigkeit aufgeben. Diese Philosophen werden die Logik zweiter Ordnung nicht als „versagt“ betrachten, obwohl sie semantisch unvollständig ist, weil sie genau das tut, was sie wollen: Strukturen präzise charakterisieren.
Fachbegriffe: Ableitbarkeit ( ⊢ ) versus logische Konsequenz ( ⊨ ).
Die Vollständigkeit des Beweissystems ist eine sehr, sehr schöne Eigenschaft: Sie stellt sicher, dass das Beweissystem unser „natürliches“ Verständnis der Grundrelation „folgen aus“ vollständig erfasst.
Der Mangel an Vollständigkeit ist sicherlich keine "Tugend", aber es gibt interessante Logiken, die nicht vollständig sind.
Siehe Logik zweiter Ordnung: Deduktive Systeme für Logik zweiter Ordnung können für die Standard-Semantik nicht vollständig sein .
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