Was stellt der Wahrheitswert einer materiellen Implikation dar?

Ich teile Ihre Besorgnis über die Anwendung der materiellen Implikation. Es ist ein nützliches Bindeglied in der Mathematik oder anderen hochgradig mathematischen Wissenschaftszweigen, aber es trägt wenig dazu bei, zu erfassen, was wir unter Bedingungen in natürlichen Sprachen verstehen. Aus diesem Grund gibt es so viele sogenannte Paradoxien der materiellen Implikation, die eigentlich gar keine Paradoxien sind, sondern nur Beispiele dafür, wo die materielle Implikation den gewöhnlichen Gebrauch nicht angemessen berücksichtigt.

Um deine drei Beispiele zu nehmen...

1. Ich würde das eher ein bedingtes Versprechen als eine bedingte Aussage nennen. Als solches hat es keinen Wahrheitswert. Wenn ich gesund bin, erfülle ich mein Versprechen, indem ich zum Kurs komme; falls ich es nicht bin, liegen die Bedingungen für das Versprechen nicht vor - ich habe das Versprechen nicht gebrochen, aber es scheint ein wenig seltsam zu sagen, dass ich es gehalten habe.

2. Dies funktioniert nicht als Beispiel für materielle Implikationen, weil es nicht plausible Fälle von denen unterscheidet, die es nicht sind. „Wenn 3 ein perfektes Quadrat ist, dann ist 3 keine Primzahl“ ist plausibel, nicht weil 3 kein perfektes Quadrat ist, sondern weil alle perfekten Quadrate keine Primzahlen sind. Schließlich ist „Wenn 3 ein perfektes Quadrat ist, dann ist 3 eine transfinite Zahl“ kaum plausibel, hat aber denselben falschen Vordersatz.

3. Dutchman-Konditionale können durchaus als Spezialfälle von Konditionalen behandelt werden. Sie haben einen rhetorischen Zweck, bei dem typischerweise jemand eine Proposition P behauptet und jemand anderes antwortet: "Wenn P, dann bin ich ein Holländer" - was bedeutet, dass sie P für absurd halten und daher mit einer eigenen Absurdität kontern.

Es gibt viele Klassen von Fällen, in denen die materielle Implikation überhaupt nicht als Darstellung englischer Konditionale funktioniert. Einige davon sind:

4. Wetten auf Bedingungen. Wenn ich anbiete, mit Ihnen zu wetten, dass "wenn X für die Präsidentschaftswahl nominiert wird, dann wird X die Wahl gewinnen", dann wette ich nicht, dass die materielle Implikation "X nominiert -> X gewählt" wahr wird. Wenn X nicht nominiert ist, gibt es keine Wette.

5. Bedingte Befehle. Wenn ein Arzt einer Krankenschwester befiehlt, "wenn der Patient morgen früh noch lebt, Verband wechseln", ist dies kein Befehl, um den Fall zu erzwingen, dass "Patient lebt -> Verband wechseln" - wenn es so wäre, könnte die Krankenschwester nachkommen durch das Töten des Patienten.

6. Aussagen über Wahrscheinlichkeiten. Wenn Sie sagen, dass es wahrscheinlich ist, dass "wenn A, dann B", meinen Sie nicht, dass es wahrscheinlich ist, dass A -> B, da dies trivialerweise wahr wäre, falls A höchst unwahrscheinlich ist. Was damit gemeint ist, ist wahrscheinlich, dass "wenn A, dann B" typischerweise bedeutet, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B | A) hoch ist. Wenn ich einen fairen, sechsseitigen Würfel werfe, ist die Wahrscheinlichkeit von „wenn gerade dann eine 6“ P(6 | gerade), was 1/3 ist; während P( gerade -> 6 ) 2/3 ist.

7. Behauptungen über kausale Zusammenhänge. Materielle Implikation ist nur eine Wahrheitsfunktion: Sie sagt nichts darüber aus, wie der Inhalt von Vordersatz und Nachsatz zusammenhängt. Wenn wir kausale Behauptungen aufstellen, stellen wir immer eine substanzielle Behauptung über einen solchen Zusammenhang auf. Typischerweise haben wir eine Art internes Modell dafür, wie die Welt unserer Meinung nach funktioniert und welche Dinge darin wahr sind, und wir verwenden das, um Prognosen darüber zu erstellen, was unter hypothetischen Umständen passieren würde. „Wenn ich dieses Gift trinke, wird es mich umbringen“ ist nicht plausibel, weil ich nicht die Absicht habe, es zu trinken, sondern weil mein Modell, wie mein Körper funktioniert und was das Trinken von Gift mit ihm machen würde, mir stark nahelegt, dass der Tod sein wird die kausale Folge.

8. Behauptungen über Konditionale, bei denen wir wissen (oder zumindest glauben), dass der Vordersatz falsch ist. Allgemein als Kontrafaktuale bezeichnet, sind diese nicht trivialerweise wahr, obwohl die materiellen Implikationen wahr sind.

Bedingungssätze zu verstehen, hat eine enorme Literatur hervorgebracht, und es gibt immer noch keine allgemein anerkannte Erklärung ihrer Bedeutung.

Wie Sie in dem Beitrag Was ist der Ursprung der Wahrheitstabelle in der Logik sehen können, wurde die wahrheitsfunktionale Definition der materiellen Implikation (oder Bedingung ) von altgriechischen stoischen Logikern mit der sogenannten philonischen Bedingung kodifiziert .

In der Neuzeit wurde es von Gottlob Frege in seiner Begriffsschrift (1879) „wiederentdeckt“ .

Es entspricht Punkt (1) Ihrer Analyse:

ein Konditional mit wahrem Vordersatz und falschem Nachsatz ist falsch ; in allen anderen Fällen ist es wahr .

Ihr Fall (2) wird richtig analysiert als:

∀x (Perf_Sq(x) → ¬ Prime(x)) ;

es ist eine Verallgemeinerung einer Bedingung (früher "formale Implikation" genannt; siehe den Beitrag: Gibt es eine "immaterielle" Implikation ? ).

Für (3) müssen Sie berücksichtigen, dass die Beziehung der logischen Konsequenz (oder Folgerung ) definiert:

Ein gutes Argument ist eines, dessen Schlussfolgerungen aus seinen Prämissen folgen; seine Schlussfolgerungen sind Folgen seiner Prämissen.

Es ist eine Beziehung, die zwischen einer Menge Γ von Sätzen (den Prämissen ) und einem Satz A (der Schlussfolgerung ) besteht, symbolisiert durch:

Γ ⊨ A

und "entdeckt von Aristoteles mit seinem Begriff der Deduktion ( sullogismos ):

Eine Deduktion ist eine Rede ( logos ), bei der sich, nachdem gewisse Dinge angenommen wurden, notwendigerweise etwas anderes als die angenommenen ergibt, weil sie so sind. ( Frühere Analytik I.2, 24b18–20)

Jedes der „angenommenen Dinge“ ist eine Prämisse des Arguments, und was „Ergebnisse der Notwendigkeit“ sind, ist die Schlussfolgerung .

Die Beziehung zwischen logischer Konsequenz und Bedingung ist:

A ⊨ B gdw ⊨ A → B ,

aber wir müssen bedenken, dass die beiden nicht dasselbe sind: zum Beispiel ändert sich die Definition der logischen Konsequenz auch dann nicht, wenn die Sprache keinen bedingten ( → ) Konnektor hat.

Materielle Implikation, logische Äquivalenzen, Beweis durch Kontraposition:

Ich zeige, dass die Kontraposition einer materiellen Implikation (X), Kontrapositiv dieser Implikation (X*) genannt, logisch äquivalent zu dieser materiellen Implikation (X) ist: X ≡ X*.

Angesichts der materiellen Bedingung P -> Q wird P als "Antezedenz" und Q in dieser Form als Folge bezeichnet (Vorwärtsimplikation von P nach Q).

Wenn der Vordersatz (P) wahr ist, dann gilt die materielle Implikation (->) nur, wenn der Nachsatz (Q) ebenfalls wahr ist. Das heißt, eine wahre Voraussetzung/Prämisse/Bedingung (P) kann nur eine wahre Folge/Schlussfolgerung/Konsequenz (Q) implizieren.

Wenn der Vordersatz (P) wahr und der Nachsatz (Q) falsch ist, dann gilt die Implikation nicht (wahr). Das heißt, eine wahre Vorgeschichte kann keine falsche Folge implizieren: Wahrheit kann nicht Falschheit implizieren. Dies ist die einzige Option, für die die materielle Implikation nicht gilt, dh der Operator/Konnektiv (->) gibt falsch aus, wenn und nur wenn der Vordersatz (P) wahr und der Nachsatz (Q) falsch ist.

Wenn der Vordersatz (P) falsch ist, impliziert P materiell Q, unabhängig davon, ob Q wahr oder falsch ist. Aus dem Falschen folgt alles. Das heißt, ein falscher Vordersatz (P) impliziert die Konsequenz (Q), sowohl in dem Fall, in dem Q falsch ist, als auch in dem Fall, in dem Q wahr ist. Weitere Informationen finden Sie im „Explosionsprinzip“, das auf Lateinisch lautet: „Ex falso sequitur quodlibet“ = „Aus Falschem folgt alles“.

Beispiel 1 (mit falscher Konsequenz): „Wenn 2+2 = 5, dann bin ich Gott“ sind sowohl P als auch Q falsch, aber die Implikation gilt (wahr).

Beispiel 2 (mit wahrer Konsequenz): „Wenn Julius Cäsar in Nordamerika einfällt, spreche ich etwas Latein“ gilt ebenfalls. (Ich spreche ein wenig Latein).

Beispiel 3: "Wenn du einen tollen Beitrag schreibst, dann gebe ich dir 10 $." Diese Bedingung stellt ein Versprechen dar. Sehen wir uns an, für welche Wahrheitswertkombinationen von P und Q das Versprechen (Implikation) gilt (wahr).

Lassen Sie: P := Sie schreiben einen großartigen Beitrag, und

Lassen Sie: Q := Ich gebe Ihnen $10.

• Fall 1. P ist wahr und Q ist wahr.
• Fall 2. P ist wahr und Q ist falsch.
• Fall 3. P ist falsch und Q ist wahr.
• Fall 4. P ist falsch und Q ist falsch.

Angenommen, Fall 1 ist der Fall: „Du schreibst einen tollen Beitrag und ich gebe dir 10 Dollar.“ Hält die Implikation oder habe ich mein Versprechen gebrochen? Ich habe mein Versprechen als Antwort auf Ihren großartigen Beitrag erfüllt. Die Implikation gilt (wahr).

Angenommen Fall 2 ist der Fall: „Du schreibst einen tollen Beitrag, aber ich gebe dir keine 10 Dollar“. Hält die Implikation oder habe ich mein Versprechen gebrochen? Tatsächlich habe ich mein Versprechen gebrochen, weil ich die Folge des Bedingungssatzes nicht erfüllt habe, wenn man einen wahren Antezedens hat. Daher gilt für diese Option die Implikation nicht (wahr), dh die Implikation gibt einen Wahrheitswert von falsch aus.

Angenommen, Fall 3 ist der Fall: "Du schreibst keinen großartigen Beitrag, und ich gebe dir 10 Dollar." Habe ich mein Versprechen gebrochen? Mein Versprechen basierte darauf, dass Sie einen großartigen Beitrag schreiben, und es sagt nichts darüber aus, was passieren sollte, wenn der Vorsatz falsch wäre. Mein Versprechen (Implikation) gibt lediglich an, was passieren sollte, wenn der Vorläufer wahr wäre. Wenn du keinen guten Beitrag schreibst, ich dir aber trotzdem 10 Dollar gebe, dann habe ich streng genommen mein Versprechen nicht gebrochen. Daher gilt die Implikation (wahr) mit einem falschen Antezedens (P) und einer wahren Konsequenz (Q).

Angenommen, Fall 4 ist der Fall: „Du schreibst keinen großartigen Beitrag, und ich gebe dir keine 10 Dollar“. Obwohl hier sowohl der Vordersatz (P) als auch der Nachsatz (Q) beide falsch sind, gilt die Implikation dennoch (wahr). Eine Falschheit kann eine Falschheit implizieren, weil aus der Falschheit alles folgt.

P -> Q bedeutet "P impliziert Q materiell", was als folgende materielle Bedingungsaussage (wenn-dann) ausgedrückt wird: "Wenn P, dann Q". Die materielle Bedingung P -> Q impliziert, dass P eine hinreichende Bedingung für Q ist.

Angesichts der materiellen Bedingungsaussage (wenn-dann) (P -> Q) wird der Operator/Konnektivität (->) als materielle Implikation bezeichnet, die eine materielle Bedingung aufstellt: „Wenn P (ist der Fall), dann Q (folgt) “, was äquivalent als „Q if P“ angegeben werden kann, was wiederum äquivalent zu der Aussage „P only if Q“ ist, was impliziert, dass P eine hinreichende Bedingung für Q ist, was wie folgt dargestellt wird: P => Q.

Außerdem ist die Hinlänglichkeit von P für Q logisch äquivalent zur Notwendigkeit von Q für P: [P => Q] <= logisch äquivalent zu => [Q <= P].

Betrachten Sie die folgenden vier Optionen:

1. P => Q: P ist ausreichend für Q.
2. Q <= P: Q ist für P notwendig.
3. P <= Q: P ist für Q notwendig.
4. Q => P: Q ist ausreichend für P.

Von nun an soll das Symbol (≡) logische Äquivalenz bezeichnen und (≡|≡) logische Nichtäquivalenz bezeichnen.

• Optionen (1) und (2) sind logisch äquivalent: (1) ≡ (2)
• Die Optionen (3) und (4) sind logisch äquivalent. (3) ≡ (4)

Betrachten Sie die ursprüngliche Bedingung (P -> Q) mit der (vorwärts) materiellen Implikation (->), die P mit Q verbindet, sodass P als hinreichende Bedingung für Q aufgestellt wird.

Beziehen wir uns auf P -> Q als die "ursprüngliche" materielle Bedingung:

• A1. Ursprüngliches materielles Konditional: (P -> Q), mit einer "Vorwärtsimplikation", dh von P nach Q.
• A2. Umkehrung des Originals: (Q -> P), mit einer "umgekehrten Implikation", dh von Q nach P. Umkehrung von "vorwärts".
• A3. Umkehrung des Originals: (~P -> ~Q), mit einer "Vorwärtsimplikation" und mit sowohl dem Vordersatz (P) als auch dem Nachsatz (Q) negiert.
• A4. Kontrapositiv von Original: (~Q -> ~P), mit einer "umgekehrten Implikation" und mit negiertem Vordersatz (P) und Nachsatz (Q); daher kontrapositiv = die Umkehrung des Originals umgekehrt; das heißt, Kontrapositiv (vom Original) = Gegenteil von Invers (vom Original).

Beachten Sie, dass:

• Das Kontrapositiv (A4) ist logisch äquivalent zum Original (A1): A1 ≡ A4.
• Die Umkehrung (A2) ist logisch äquivalent zur Umkehrung (A3): A2 ≡ A3.

Die Umkehrung (A3) kann durch die Kontraposition der Umkehrung (A2) abgeleitet werden: durch Umkehren der Richtung der Implikation in (A2) und Negieren von P und Q. Beachten Sie, dass ebenso wie die Kontraposition des Originals die Kontraposition ergibt ( des Originals), wo das Kontrapositiv dem Original logisch äquivalent ist, so ergibt auch die Kontraposition der Umkehrung die Umkehrung (des Originals), die der Umkehrung logisch äquivalent ist. Daher ergibt die Kontraposition einer Bedingung (C) gültig eine andere Bedingung (C*), die logisch äquivalent zu der Bedingung (C) ist: C ≡ C*.

Der Wahrheitswert einer materiellen Bedingung P -> Q stellt eine Behauptung dar, dass Q nicht weniger wahr ist als P. Bei gegebenen Prämissen von P und einer wahren materiellen Bedingung P -> Q ist eine Schlussfolgerung von Q deduktiv gültig, das heißt, sie wird keinen neuen Fehler einführen.