"→" ist das Symbol für materielle Implikation. Gibt es so etwas wie „immaterielle Implikation“?

Es gibt keine "immaterielle" Implikation.

Der Begriff „materielle Implikation“ stammt von Bertrand Russell, The Principles of Mathematics (1903); siehe Teil I: Kapitel III. Implikation und formale Implikation für:

• Zwei Arten von Implikationen, die materielle und die formale .

Siehe in W&R, Principia Mathematica die Notation für Implikation (das "Hufeisen") ⊃; in der "materiellen" Verwendung ist es ein Bindeglied zwischen Sätzen:

*1.2 ⊢ : pvp . ⊃ . p ,

während es sich im formalen Gebrauch um eine Beziehung zwischen "Klassen" handelt:

*10·02 φx ⊃x ψx . = . (x). φx ⊃ ψx .

Sehen :

• Alfred North Whitehead & Bertrand Russell, Principia Mathematica bis *56 (2. Auflage – 1927), Seite 7.

Heute muss der materielle Konditional mit anderen Konditionalen verglichen werden: dem Konjunktiv und den kontrafaktischen Konditionalen; sehen :

• Graham Priest, An Introduction to Non-Classical Logic: From If to Is (2. Auflage – 2008), Seite 13.

Materielle Implikation – die übliche Formimplikation in der Mathematik – definiert P => Q äquivalent zu ~[P und ~Q]. Einigen ist die Vorstellung unangenehm, dass, wenn P falsch und Q falsch ist, dann P => Q wahr ist. Vielleicht liegt das daran, dass die Notation eine kausale Beziehung suggeriert – z. B. dass vielleicht P Q verursacht oder Q P verursacht. Sie denken vielleicht: Wie kann P Q verursachen, wenn P falsch ist? Oder etwas in diese Richtung.

Ich verwende gerne folgendes Beispiel. Betrachten Sie die Aussage: "Wenn es regnet, dann ist es bewölkt."

Regen => Bewölkt

Das bedeutet nicht, dass Regen Bewölkung verursacht. Oder dass Bewölkung Regen verursacht. Beides ist nicht der Fall. Die Aussage bedeutet einfach, dass es nicht gleichzeitig regnen und nicht bewölkt sein kann.

~[ Regen & ~ Bewölkt ]

Dies ist wahr, wenn es nicht regnet und nicht bewölkt ist (dh wenn sowohl Vorder- als auch Hintersatz der Bedingungsaussage falsch sind). Daran ist nichts Seltsames oder Widersinniges.

Als Mathematiker sehe ich keine Notwendigkeit für andere Bedingungen, aber hier ist eine Liste einiger alternativer Formulierungen aus dem Wiki:

• Kontrafaktische Bedingung
• Indikative Bedingung
• Entsprechende Bedingung
• Streng bedingt

UPDATE 3 JAHRE SPÄTER:

Für meine neuesten Überlegungen zu materiellen Auswirkungen siehe meinen Blog-Beitrag Material Implication: If Pigs Could Fly. Dort leite ich die Wahrheitstabelle ab, indem ich allgemein gebräuchliche Implikationsbegriffe verwende.

Dieses Video gibt einen guten Überblick über viele Arten von Implikationen.

Das Quellenmaterial für seinen Vortrag war hauptsächlich Jonathan Bennetts A Philosophical Guide to Conditionals .

Nicht ganz eine Antwort, aber es könnte nützlich sein:

In Aristoteles Physik unterscheidet er zwischen Ursachen; Es gibt vier Arten, darunter die formale und die materielle.

Die formale Ursache ist das, was die Form oder Form von etwas verursacht: Die formale Ursache des Topfes ist der Töpfer. Die materielle Ursache ist das, woraus der Topf besteht – der Ton.

Natürlich kann es keinen Topf geben, wenn der Töpfer nicht da ist, um den Ton zu formen; Auch kann es keinen Topf geben, wenn der Töpfer keinen Ton hat. Beide Ursachen sind in dieser Situation notwendig.

Ursachen sind Folgen; und was eine Konsequenz ist, kann als Implikation verstanden werden. Dies verbindet sich mit zwei Arten von Logik bei Aristoteles, der formalen und der materiellen. Die formale Logik sind Sätze, die der Form nach wahr sind - zum Beispiel der Syllogismus; der erste Satz des berühmten Beispiels lautet:

Sokrates ist sterblich

Die materielle Logik ist Wahrheit durch Entsprechung. Gibt es tatsächlich einen Sokrates?

Auch hier sind beide notwendig, um objektives Wissen zu etablieren.

Man könnte also sagen, dass die immaterielle Implikation die formale ist.