Modallogik: eine Frage zur Zugänglichkeit

Sie können die Semantik für QML auf zwei Arten ausführen, entweder mit variabler Domäne oder mit konstanter Domäne. Um Welten isoliert zu halten (dh Überlappungen zu verbieten), wie es Lewis in seinem modalen Realismus tut, ist ein Ansatz mit variablen Domänen erforderlich (da die Domäne des Quantifizierers jeder Welt von jeder anderen Welt disjunkt ist). Sie können über diese beiden Ansätze in der zweiten Hälfte von Priests Buch lesen, Kapitel 14 und 15 der zweiten Auflage.

Es ist erwähnenswert, dass dieses Verbot der Überlappung von Welten ein metaphysisches Postulat ist, das Teil von Lewis' metaphysischem Modalrealismus ist . Sie wird Ihnen keineswegs durch die Modallogik selbst aufgezwungen.

Wenn es keine Beziehung zwischen den Welten gibt, was ist dann der Begriff der Zugänglichkeit? Und wie kann es sein, dass es zwei Welten gibt, die nicht aufeinander zugreifen?

Ah, aber es gibt Beziehungen, die zwischen den Welten bestehen. In der Modelltheorie der Modallogik gibt es Ähnlichkeitsrelationen für Lewis und Erreichbarkeitsrelationen. Die Beziehungen zwischen Welten, die Lewis verbietet, sind raumzeitliche und kausale Beziehungen. Seine These ist, dass Welten raumzeitlich und kausal voneinander isoliert sind – nicht dass zwischen den Welten überhaupt keine Beziehungen bestehen.

Wenn Sie eine S5-Modallogik haben (wie Lewis in OPW annimmt), können Sie, wie Erics Antwort zeigt, die Zugänglichkeit ignorieren, da jede Welt von jeder Welt aus zugänglich ist (da Zugänglichkeit eine Äquivalenzbeziehung in S5 ist). Wenn Sie jedoch mit zwei isolierten Welten w1 und w2 beginnen, haben Sie zwei disjunkte Äquivalenzklassen von Welten (wobei jede Klasse so groß ist wie die Gesamtheit von Lewis' "logischem Raum"). Dies ist jedoch im Allgemeinen kein Problem in den metaphysischen Anwendungen der Modallogik (wie Lewis 'Modalrealismus), da wir normalerweise von der tatsächlichen Welt ausgehen und ich niemanden kenne, der argumentiert hat, dass zwei Welten beide tatsächlich sein können ( zur selben Zeit).

Was bedeutet es, dass w1 und w2 zugänglich sind?

Es bedeutet einfach, dass die Aussagen, die auf diesen Welten wahr sind, relevant sein können, um den Wahrheitswert von modalen Aussagen auf der Welt w1 und w2 zu beurteilen, von denen aus sie zugänglich sind. Wenn zum Beispiel w0Rw1 und w0Rw2, dann muss p bei w1 und w2 wahr sein, damit []p (notwendigerweise p) bei w0 wahr ist.

Was sind Beispiele für zwei mögliche Welten, die keine Zugänglichkeitsbeziehung teilen (was macht sie unzugänglich)?

In schwächeren Systemen als S5 (oder in der bizarren Version von S5, die ich oben beschrieben habe) haben Sie oft Welten, die füreinander unzugänglich sind. Zum Beispiel gibt es in K keine Einschränkungen für die Zugänglichkeit, und daher können Sie nicht sicher sein, dass irgendwelche Welten auf andere zugreifen. Als seltsamen Nebeneffekt können Sie eine Welt w1 haben, in der sowohl []p als auch ~p wahr sind. Da die Zugänglichkeit in K nicht reflexiv ist, muss p bei w1 nicht wahr sein, damit []p wahr ist, und daher gibt es keinen Widerspruch.

Was es bedeutet, dass eine Welt w1 "unzugänglich" ist, ist einfach, dass die Aussagen, die bei w1 wahr sind, keinen Unterschied bei der Bewertung von modalen Aussagen in Welten machen, die nicht auf w1 zugreifen.

Um eine Frage zu beantworten, die Sie nicht gestellt haben: Aber warum nimmt Lewis S5 an?

Nun, es scheint breite Übereinstimmung darüber zu geben, dass S5 den Begriff der logischen Notwendigkeit einfängt. Aus diesem Grund nennt Lewis den Raum möglicher Welten logischen Raum.

Aber oft möchten Sie andere Arten von Notwendigkeit/Modalität in Betracht ziehen. In der Beweisbarkeitslogik geht es Ihnen beispielsweise eher um die Beweisbarkeit als um die Möglichkeit. Es wird allgemein angenommen, dass die Beweisbarkeitslogik zwischen S4 und S5 liegt (ich habe gesehen, dass sie am häufigsten als S4.2 oder S4.3 bezeichnet wird).

Kürzeste Antwort: Wenn Sie ein richtiges Modell definiert haben, wissen Sie, dass R(w1, w2) in Ihrem Modell das Paar (w1, w2) in der Erweiterung von R ist . Wenn Sie kein Modell haben, können Sie dies möglicherweise aus den angenommenen Eigenschaften von R ableiten , z. B. aus R(w0, w1) und R(w0, w2) können Sie auf R(w1, w2) schließen , wenn R euklidisch ist . Sie definieren diese Beziehung so, wie es die betreffende Modalität charakterisiert. Sie müssen zunächst eine Vorstellung davon haben, welche Eigenschaften die jeweilige Modalität hat.

Längere Antwort: Die Erreichbarkeitsrelation hat außerhalb des formalen Systems im Allgemeinen keine Bedeutung, da ihre Interpretation von dem Zweck abhängt, für den Sie die Modallogik verwenden. Zum Beispiel wird für den rationalen Glauben manchmal das System KD45 verwendet, das eine serielle, transitive und euklidische Zugänglichkeitsbeziehung hat. Wenn also R(w1, w2) , dann würden einige Leute dies interpretieren als „ w2 ist kompatibel mit dem, was der Agent an w1 glaubt". Aus formaler Sicht ist diese Interpretation jedoch unbedeutend, denn was zählt, sind die formalen Eigenschaften der Relation, dh in diesem Fall, dass sie seriell, transitiv und euklidisch ist. Diese Eigenschaften entsprechen direkt den Axiomen der Beweistheorie der Logik. Im Fall von KD45 entsprechen sie beispielsweise (D) Konsistenz und (4) positiven und (5) negativen Selbstbeobachtungsaxiomen (Axiom (K) gilt standardmäßig in allen normalen Modallogiken.)

Ich bin mir sicher, dass jemand etwas darüber geschrieben hat, aber ich persönlich würde nicht zu viel über Zugänglichkeitsbeziehungen lesen. Sie sind mehr oder weniger eine Formsache, wenn auch eine wichtige.

Ursprüngliche, ausführliche Antwort: Zunächst einmal haben Priest und Lewis unterschiedliche Ansichten zu der Frage, welche Objekte verschiedene Welten „bewohnen“ können. Lewis ist ein modaler Realist, er vertritt die Ansicht, dass ein und dasselbe Objekt nicht gleichzeitig in zwei Welten existieren kann, weshalb er die Counterpart Theory entwickelt hat. Priest entstammt einer moderneren Tradition, die nicht auf der Counterpart-Theorie basiert. Soweit ich weiß, lässt er in seinen Systemen zu, dass „dasselbe“ Objekt in verschiedenen Welten existiert, wo es unterschiedliche Eigenschaften haben kann. (Natürlich erlaubt er manchmal viel mehr, weil viele seiner Systeme parakonsistent sind. Beachten Sie, dass Gleichheit in diesem Zusammenhang keine Leibnizsche Identität über Welten hinweg sein kann. Weltübergreifende Identität wird seit den 70er Jahren des letzten Jahrhunderts ausgiebig diskutiert.)

Eine weitere zu berücksichtigende Frage ist, ob sich eine Konstante in der Welt w auf ein Objekt in der Welt u beziehen kann . Ich weiß nicht, ob Priest dies zulässt, aber zum Beispiel tun Fitting & Mendelsohn dies in ihrem Buch über die Modallogik erster Ordnung. Im Zweifelsfall müssen Sie immer die Regeln zur Termauswertung im logischen System überprüfen.

In Bezug auf die Zugänglichkeit zwischen Welten müssen sowohl Lewis als auch Priest aus technischen Gründen eine binäre Zugänglichkeitsbeziehung zwischen Welten zulassen, solange sie mit Kripke-Frames im Bereich der normalen Modallogik bleiben wollen. Lässt man die Barrierefreiheit weg, landet man bei einem System wie S5. (Ich sage "wie S5", denn streng genommen ist das System, bei dem Sie am Ende stehen, S5 mit globaler Box-Modalität oder S5 mit Modellen, in denen alle unzugänglichen Welten entfernt wurden.)

Es gibt andere Systeme, zum Beispiel Modallogik mit Nachbarschaftssemantik, die normale Modallogik verallgemeinern und keine Erreichbarkeitsbeziehung haben. Wenn ich mich nicht irre, hat Lewis in seiner Arbeit über bedingte Logik auch einige von ihnen untersucht. Aber selbst in diesen allgemeineren Systemen müssen Sie die Menge der modalen Operatoren, die überfahren werden, irgendwie einschränken, zum Beispiel durch eine 'Auswahlfunktion', damit sie sich auf irgendeine interessante Weise verhalten.

Es ist viel darüber geschrieben worden, was das alles aus metaphysischer Sicht bedeutet, und es wurde nie eine endgültige Einigung erzielt, denn es hängt von verschiedenen Standpunkten ab, die man einnehmen könnte. Zum Beispiel macht es einen Unterschied, ob Sie ein modaler Realist sind oder glauben, dass mögliche Welten ontologisch reduzierbar sind und wenn ja, auf welche Weise, und ob mögliche Welten im Wesentlichen Modelle einer nicht-modalen Basissprache (Hintikka) sind oder nicht . Cocchiarella (1989, 2007) hat sich viel mit der Metaphysik der Modalität beschäftigt, und Sie werden auch viele metaphysische Aspekte finden, die von Kit Fine angesprochen werden. Diese Autoren sind jedoch nicht leicht zu lesen und erfordern einen guten technischen Hintergrund.

Ergänzung: Ich habe vergessen zu erwähnen, dass mir kein Autor bekannt ist, der behauptet, dass mögliche Welten kausal miteinander interagieren könnten, aber Zugänglichkeit impliziert keine kausale Interaktion.

Wenn zwei Welten voneinander zugänglich wären, dann sind sie tatsächlich eine Welt - genauso wie wenn es eine Tür zwischen zwei Räumen gibt, sind diese beiden Räume tatsächlich Teil eines Hauses. Wenn es also zwei Welten gibt, dann sind sie voneinander unzugänglich.

Obwohl Occams Razor sagt, es gibt eine Welt, und wir sind darin. Man kann den Schnitt umkehren und sagen, wenn es eine Welt gibt, warum kann es dann nicht mehr geben? Vielleicht existieren alle Welten, die nicht gegen die Logik verstoßen?