Grundlagen der Logik und Argumentation in natürlichen Sprachen

Was Sie sagen, ist im Allgemeinen wahr. So bekommt man zum Teil philosophische Skepsis. Natürlich ist das, was Sie über den Nachweis von blindem Glauben gesagt haben, irgendwie unsinnig, wenn Sie es als Kritik an der Mathematik verwenden - jede Art von formalem Beweis für die Notwendigkeit von Axiomen wird irgendwo blindes Vertrauen oder Axiome selbst beinhalten. Obwohl die verwendeten Wörter bestimmte Konnotationen haben – „blinder Glaube“ klingt viel negativer als „Gewissheit“.

Ich denke, Mauros Kommentar ist in diesem Fall deaktiviert. Mauro sagte, wir gehen davon aus, dass mathematische Axiome wahr sind, bis sie sich als falsch herausstellen. Ich würde es anders ausdrücken – mathematische Axiome sind die Regeln, die wir in der Mathematik verwenden, also sind sie nicht wahr oder falsch. Ein Axiom wie „der Nachfolger jeder natürlichen Zahl ist auch eine natürliche Zahl“ anzunehmen, halten wir nicht für wahr, bis sich herausstellt, dass es falsch ist. Zu sagen, es könne sich als wahr oder falsch erweisen, ist sinnlos. Es ist eine Regel, und es macht wenig Sinn zu sagen, ob eine Regel wahr oder falsch ist. Eine Aussage wie „1+1=2“ ist eher eine Regel/Definition als eine Behauptung, die wahr oder falsch sein kann (zu sagen, dass sie wahr ist, erscheint mir inhaltsleer).

Erstens ist die Mathematik selbst im Begriff der natürlichen Zahlen zirkulär . Schlimmer noch, es gibt nicht nur keine praktikable Alternative, sondern auch kein offensichtliches physikalisches Modell der Peano-Arithmetik . Darüber hinaus können die verallgemeinerten Unvollständigkeitssätze in schwachen Metasystemen wie ACA bewiesen werden, was impliziert, dass es absolut keine Möglichkeit gibt, die natürlichen Zahlen durch irgendein nützliches formales System festzulegen. Selbst wenn wir davon ausgehen, dass PA in Bezug auf natürliche Zahlen (was auch immer sie sind) Recht hat, ist dies wirklich eine seltsame Art von „blindem Glauben“, weil wir nicht einmal mathematisch spezifizieren können, was die natürlichen Zahlen sind, und dennoch Annahmen über sie treffen! Außerdem könnten Sie daran interessiert seindieser kurze Bericht über die zunehmenden philosophischen Annahmen, die erforderlich sind, um mehr auszudrücken oder mehr zu beweisen .

Also, ja, alle Mathematik basiert auf Vertrauen in dem Sinne, dass es keine gültige Rechtfertigung dafür gibt, dass PA in Bezug auf eine Struktur in der realen Welt vollständig korrekt ist, und dennoch basieren formale Systeme auf den im Wesentlichen äquivalenten Eigenschaften der Saitenmanipulation. Aber nein, PA wurde ursprünglich entwickelt, um das zu erfassen, was wir für richtig hielten, was wir uns als natürliche Zahlen vorstellten, und scheint auf menschlicher Ebene zu funktionieren, also ist das wirklich „blinder Glaube“? Wenn ja, wie können Sie erklären, warum die RSA-Entschlüsselung funktioniert?

Zweitens ist Ihre Frage nach philosophischen Theorien durch die obigen Überlegungen zu formalen Systemen durchaus beantwortet. Lassen Sie es mich ausdrücklich sagen. Jedes formale System muss die grundlegenden Eigenschaften von endlichen Zeichenketten haben, sonst kann man nicht einmal behaupten, dass der Begriff der logischen Deduktion gültig ist. Aber es gibt keinen brauchbaren Ersatz für formale Systeme in rigoroser logischer Argumentation, daher stützt sich jede philosophische Theorie, die objektive Beweisvalidität hat, bereits auf die gleichen Zirkularitäten wie die Mathematik. Und wenn eine philosophische Theorie keine objektive Beweisvalidität hat, kann sie nicht als objektiv bezeichnet werden, und es ist wohl schlimmer, als „blindes Vertrauen“ in die klassische Arithmetik zu haben. Der Grund dafür ist, dass jeder behauptete Beweis in der klassischen Logik syntaktisch überprüft werden kann und seine Gültigkeit über das deduktive System entscheidbar und eindeutig ist, also jeder, der denkt, dass ihre semantische Interpretation der Axiome wahr ist, dann ist er gezwungen, die semantische Wahrheit der bewiesenen Schlussfolgerungen zu akzeptieren. Im Gegensatz dazu ist jedes nicht-syntaktische System nicht besser als nur willkürliche Meinungen, da es keine genaue Abgrenzung gültiger Argumente gibt.