Das Papier "The Seven Virtues of Simple Type Theory" erwähnt, dass es denselben Trick (aufgrund von Tarski) verwendet, um die Semantik zu definieren, die auch von der Logik erster Ordnung verwendet wird. Ich interpretierte dies als Hinweis auf Tarskis Wahrheitsdefinitionen . Nachdem ich den verlinkten SEP-Eintrag gelesen hatte, erfuhr ich, dass es eine Version von 1933 und eine Version von 1956 gibt.
Wenn ich es richtig verstanden habe, ist für die Version von 1933 das Modell (also die algebraische Struktur, von der wir sprechen) Teil der Metasprache und wird nicht gesondert erwähnt. Die Zuordnung von Objekten zu Variablen hingegen ist das, was eine gegebene Formel erfüllen kann. Eine Formel ist (definiert) wahr, wenn sie von allen möglichen Zuweisungen von Objekten an Variablen erfüllt wird.
Die Version von 1956 wird im verlinkten SEP-Eintrag weniger explizit behandelt, aber es wird angedeutet, dass das Modell kein impliziter Teil der Metasprache mehr ist, sondern ein explizites Objekt der Mengenlehre. Ein Modell kann eine bestimmte Formel (oder einen Satz) erfüllen, ähnlich wie eine "Zuweisung von Objekten zu Variablen" eine bestimmte Formel für die Version von 1933 erfüllen könnte. Aber der Text deutet auch an, dass sich die 1956 nun stärker auf eine zugrunde liegende Mengentheorie stützt, während die 1933 ausdrücklich versucht, "die mengentheoretischen Anforderungen der Wahrheitsdefinition" zu minimieren.
Sind das alle wichtigen Unterschiede zwischen der Version von 1933 und der Version von 1956? Gibt es wichtige Missverständnisse in meiner Zusammenfassung der Unterschiede?
Das Thema ist etwas komplex.
Sehen :
John Etchemendy, TARSKI ÜBER WAHRHEIT UND LOGISCHE KONSEQUENZEN , in The Journal of Symbolic Logic, Bd. 53 (1988)
Mario Gomez-Torrente, Tarski on Logical Consequence , in ND Journal of Formal Logic, Bd. 37 (1996)
Craig Bach, TARSKI'S 1936 ACCOUNT OF LOGICAL CONSEQUENCE , in Modern Logic, Band 7 (1997)
die Neuübersetzung von Alfred Tarski, On the Concept of Following Logically (1936), in HISTORY AND PHILOSOPHY OF LOGIC, 23 (2002).
Ich werde versuchen, das zentrale Problem zusammenzufassen und technische Details zu vermeiden (auch aufgrund des Fehlens eines LaTeX-Editors).
Bezug genommen wird natürlich auf den Eintrag von Wilfrid Hodges in SEP : Tarski's Truth Definitions .
Wir sagen, dass eine Sprache vollständig interpretiert ist, wenn alle ihre Sätze Bedeutungen haben, die sie entweder wahr oder falsch machen. Alle Sprachen, die Tarski in der Arbeit von 1933 berücksichtigte, wurden vollständig interpretiert [...]. Dies war der Hauptunterschied zwischen der Definition von 1933 und der späteren modelltheoretischen Definition von 1956 [...].
1933 ging Tarski davon aus, dass die formalen Sprachen, mit denen er es zu tun hatte, zwei Arten von Symbolen hatten, nämlich Konstanten und Variablen. Zu den Konstanten gehörten logische Konstanten, aber auch alle anderen Begriffe mit fester Bedeutung. Die Variablen hatten keine eigenständige Bedeutung und waren einfach Teil des Quantifizierungsapparates.
Heute arbeiten Logiker mit formalen Sprachen, deren außerlogische Konstanten uninterpretiert sind (bis im Einzelfall eine Interpretation feststeht). Um eine Interpretation oder ein Modell einer solchen Sprache bereitzustellen, spezifiziert man typischerweise einen Diskursbereich oder ein Diskursuniversum und weist jeder einzelnen Konstante ein eindeutiges Objekt in dem Bereich zu, jedem monadischen Prädikat erster Ordnung eine Teilmenge des Bereichs und so weiter.
Tarski [1936] arbeitete stattdessen mit sogenannten formalisierten Sprachen, in denen die außerlogischen Konstanten interpretiert und der Definitionsbereich festgelegt werden.
Wie Hodges erklärt:
Die Modelltheorie hingegen arbeitet mit drei Symbolebenen. Es gibt die logischen Konstanten (z. B. =, ¬, &), die Variablen (wie zuvor) und dazwischen eine mittlere Gruppe von Symbolen, die keine feste Bedeutung haben, sondern durch Anwendung auf eine bestimmte Struktur eine Bedeutung erhalten. Zu den Symbolen dieser Mittelgruppe gehören die nichtlogischen Konstanten der Sprache, wie Relationensymbole [wie ∈ in der Mengenlehre], Funktionssymbole und konstante Einzelsymbole [wie 0 in der Arithmetik]. Sie enthalten auch die Quantorensymbole ∀ und ∃, da wir uns auf die Struktur beziehen müssen, um zu sehen, über welche Menge sie sich erstrecken. Diese Art der Drei-Ebenen-Sprache entspricht dem mathematischen Sprachgebrauch; zum Beispiel schreiben wir die Additionsoperation einer abelschen Gruppe als +, und dieses Symbol steht für verschiedene Funktionen in verschiedenen Gruppen.
In den späten 1940er Jahren war klar geworden, dass eine direkte modelltheoretische Wahrheitsdefinition benötigt wurde. Die Version, die wir heute verwenden, basiert auf der von Tarski und Robert Vaught im Jahr 1956 veröffentlichten.
Die richtige Art, die modelltheoretische Definition zu denken, ist, dass wir Sätze haben, deren Wahrheitswert je nach Situation, in der sie verwendet werden, variiert. Die nichtlogischen Konstanten sind also keine Variablen; sie sind eindeutige Beschreibungen, deren Bezug vom Kontext abhängt. Ebenso haben die Quantoren dieses indexikalische Merkmal, dass der Bereich, über den sie sich erstrecken, vom Kontext der Verwendung abhängt.
Da Tarski [1936] eine formalisierte Sprache mit interpretierten extralogischen Konstanten verwendet, muss er zuerst extralogische Konstanten durch Variablen des gleichen Typs ersetzen und dann überlegen, welche Mengen von Objekten die resultierende Satzfunktion erfüllen.
Das Konzept eines Modells in Tarski [1936] ist nicht das zeitgenössische Konzept. In der zeitgenössischen Mathematik ist ein Modell oder eine Struktur, wie Hodges betont, ungefähr eine Sammlung von Elementen mit darauf definierten Beziehungen. Eine Menge von Objekten ist keine solche Struktur.
Dennis
Paul Ross
Thomas Klimpel