Was sind Sanktionen für logische Inkonsistenz? [geschlossen]

Ein niederländisches Buch ist eine Situation, die es einem klugen Spieler ermöglicht, Wetten auf eine Weise zu platzieren, die ihm einen Gewinn garantiert . Es kann gezeigt werden, dass ein Buchmacher, wenn er bei der Konstruktion seiner Quoten die Regeln des Bayes'schen Kalküls befolgt, niederländische Bücher vermeiden kann.

Ist es möglich, Logik auf ähnliche Weise zu rechtfertigen, dh indem man Strafen berücksichtigt, die für einen Agenten (wie einen Buchmacher) resultieren, der die Regeln der Logik nicht befolgt? Zum Beispiel, indem Sie „ A “ und „ A & B “ wahr , „ B “ aber falsch zuweisen .

"das holländische buch" ???
@MauroALLEGRANZA ich meinte niederländische Buchargumente
@MauroALLEGRANZA Ich sehe das Explosionsprinzip hier nicht als relevant an, da unser hypothetischer Agent den Axiomen der Logik gehorchen sollte, indem er Aussagen Wahrheits-/Falschwerte zuweist, um Schaden durch die Verletzung des Gesetzes der Widerspruchsfreiheit zu erleiden. Wenn es den Gesetzen der Logik nicht gehorcht (z. B. zufällig Wahrheitswerte zuweist), hat es damit keine Probleme.
Es ist schwer zu verstehen, was der Beitrag bedeutet, er liest sich wie eine Satzmitte ohne Anfang und Ende. „Wahr“ und „falsch“ sind keine Wahrscheinlichkeiten, was hat es also mit der Zuweisung von Wahrscheinlichkeiten zu tun, und wie ist irgendetwas davon ein „Argument“ für irgendetwas?
@Conifold, ja, "wahr" und "falsch" sind keine Wahrscheinlichkeiten, das niederländische Buchargument ist hier eine Analogie. Wenn ein Agent mit seinen Wettquotienten gegen die Wahrscheinlichkeitsaxiome verstößt, wird er anfällig für ein niederländisches Buch, es ist eine Sanktion für die Verletzung dieser Axiome. Daraus kann geschlossen werden, dass unter allen Möglichkeiten der Zuweisung von Wahrscheinlichkeiten (Wettquotienten, Vertrauensgrade) die optimalen (in dem Sinne, dass Sie nicht niederländisch gebucht werden können) diejenigen sind, die den Wahrscheinlichkeitsaxiomen gehorchen.
Und ich suche nach einem ähnlichen Argument für die Zuweisung von True-False-Werten. Ich meine, inwiefern die Zuweisung von Richtig-Falsch-Werten nach den Prinzipien der (klassischen) Logik besser ist als beispielsweise die Zuweisung dieser Werte nach dem Zufallsprinzip oder nach einem anderen System, das die Axoime der Logik verletzt.
Ok, aber könnten Sie eine kurze Beschreibung des niederländischen Bucharguments in Ihren Beitrag einfügen und die Analogie erklären, die Sie dort machen. Außerdem, warum können Sie nicht direkt ein niederländisches Buch mit allen Wahrscheinlichkeiten 0 oder 1 verwenden? SEP charakterisiert niederländische Bücher als aufschlussreiche Widersprüchlichkeit .

Antworten (1)

In der induktiven Logik/Wahrscheinlichkeitstheorie wird eine Reihe von Wettquoten als kohärent bezeichnet, wenn sie nicht für einen sicheren Verlustvertrag (als Dutch Book bezeichnet) offen ist. Interessanterweise kann man das beweisen:

(1) Eine Reihe von Wettquoten ist kohärent, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsregeln erfüllt.

Wenn ich Ihre Frage richtig verstehe, fragen Sie, ob es möglich ist, ein ähnliches Ergebnis für Regeln der Logik zu beweisen: Geben Sie also irgendwie eine analoge Definition der Kohärenz für eine Reihe von Zuordnungen von Wahrheitswerten zu einer Reihe von Sätzen und beweisen Sie dann dass eine solche Zuordnung kohärent ist, wenn sie (in gewissem Sinne) den Regeln der Logik genügt. "Regeln der Logik" sollte sich hier auf eine Axiomatisierung der Logik beziehen, da es im Fall der Wahrscheinlichkeit ähnlich die Axiome sind, die Wettquoten erfüllen müssen, um ein niederländisches Buch zu vermeiden. Die naheliegende Idee wäre, Kohärenz wie folgt zu definieren:

Df. Eine Menge von Wahrheitszuordnungen zu einigen Sätzen ist kohärent genau dann, wenn es eine Wahrheitsbewertung gibt, die den Sätzen dieselben Wahrheitswerte zuweist wie Ihre Zuordnungen.

(Die obige Definition bedeutet, dass Kohärenz garantiert, dass Ihre Wahrheitszuweisungen keinem sicheren Fehler unterliegen, dh Sie könnten mit Ihren Zuweisungen von Wahrheitswerten richtig liegen.)

Definieren Sie eine Menge S von Sätzen wie folgt: Wenn Ihre Zuweisung 1 einer Formel F zuweist, dann F∈S, wenn Ihre Zuweisung 0 einer Formel F zuweist, dann nicht-F∈S. Nennen wir diese Menge S die durch die Wahrheitsbelegungen bestimmte Menge .

Es ist nun leicht zu zeigen, dass eine Menge von Wahrheitszuordnungen zu einigen Sätzen genau dann kohärent ist, wenn die durch diese Wahrheitszuordnungen bestimmte Menge S erfüllbar ist. Da uns nun die Korrektheits- und Vollständigkeitssätze sagen, dass eine Menge S erfüllbar ist, wenn S konsistent ist (in Bezug auf die Regeln/Axiomatisierung der Logik), lautet das Analogon von Satz (1) wie folgt:

(1)* Eine Menge von Wahrheitsbelegungen ist kohärent genau dann, wenn die durch die Wahrheitsbelegungen bestimmte Menge konsistent ist (relativ zu einer Axiomatisierung der Logik)

Sie können sich dies als eine Version der Korrektheits- und Vollständigkeitssätze vorstellen.

Danke, dass Sie meine Frage klarer formuliert haben. Ich sehe jedoch ein Problem in Ihrer Formulierung des Kohärenzbegriffs für eine Reihe von Aufgaben. In holländischen Buchargumenten sind Wettquoten und Verluste aufgrund eines holländischen Buches nicht direkt mit den Wahrscheinlichkeitsaxiomen verbunden, dieses Argument scheint nicht zirkulär zu sein. Es scheint jedoch, dass Ihre eigentliche Definition von Kohärenz wirklich lautet: "Eine Reihe von Wahrheitszuordnungen zu einigen Sätzen ist kohärent, wenn sie den Axiomen der Logik gehorcht", und sonst nichts, wenn ich es richtig verstehe. Es appelliert an die Axiome, dieselben Axiome zu „verteidigen“.
Nein, da meine Definition von Kohärenz semantisch ist (Axiome werden in der Definition nicht erwähnt) und die Axiome der Logik syntaktisch sind, ist es eine Entdeckung, dass Semantik und Syntax so übereinstimmen, Vollständigkeit muss bewiesen werden, es kann nicht einfach angenommen werden , manchmal kann es nicht bewiesen werden.
Ich verstehe den Sinn immer noch nicht. Vielleicht ist es ein Problem mit der Interpretation oder mangelnder Kenntnis des Themas auf meiner Seite. Sie geben der Existenz einer angemessenen Bewertung, die per Definition den Axiomen gehorcht, normative Kraft, nicht wahr? Und Sure-Error bedeutet nur, dass es keine angemessene Bewertung gibt, oder?
Anscheinend muss ich den Unterschied zwischen Syntax und Semantik verdauen.
Ich glaube tatsächlich, ich verstehe, was Sie fragen: Im Grunde fragen Sie nach einer Möglichkeit, Logik zu rechtfertigen. Sie gehen davon aus, dass das "holländische Buchargument" Wahrscheinlichkeitsaxiome in gewissem Sinne rechtfertigt, und suchen eine ähnliche Rechtfertigung für die Logik (und denken, dass das Argument, das ich gegeben habe, dies nicht gibt). Ich denke, in dieser Denkweise liegt eine Verwirrung, und es könnte einige Mühe erfordern, sie klar zu formulieren. Vielleicht denke ich etwas später über das Thema nach.
Ja, es gab einige Verwirrung zwischen „Axiomen der Aussagenkalküle“ und „Logikregeln“ (z. B. Gesetz des ausgeschlossenen Dritten), die ebenfalls Axiome (irgendeiner Art) sind. Ihre Antwort ist vollkommen gültig für den Fall, dass ein Agent "Regeln der Logik" befolgt. Nach Ihrer Definition von Kohärenz sollte der Agent also auch den Axiomen der Aussagenkalküle gehorchen (wegen der Korrektheits- und Vollständigkeitstheoreme). Es ist mir jetzt klar, hilft aber nicht bei den Regeln der Logik.
Ich nehme an, Sie meinen mit "Regeln" die Wahrheitstabellen?
Ja, ich meine die Wahrheitstabellen.
Eine viel nützlichere Anwendung des holländischen Buches, das spieltheoretische Strategien vermeidet, ist das sogenannte Logische Induktionskriterium in der induktiven Logik, um mit epistemischen Unsicherheiten logischer Aussagen umzugehen, die aus dem Problem der logischen Allwissenheit stammen. Durch die Zuweisung von Wahrscheinlichkeiten zu unsicheren Sätzen wie der Goldbach-Vermutung, zusätzlich zur einfachen Erklärung von Stichhaltigkeits- und Vollständigkeitstheoremen, hat sie Meta-Lernkraft, um die logische Kohärenz in der Grenze sicherzustellen, vorzugsweise innerhalb der Polynomzeit ...
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