Erkenntnistheorie unendlicher Mengen

Ich stimme der obigen Antwort zu, aber ich werde das Problem von einem anderen Standpunkt aus angehen.

Sei S eine endliche Menge der Kardinalität = n ;

klar, mit n „wenig“ haben wir kein Problem, es „epistemisch festzuhalten“ (vorzustellen ? zu visualisieren ?).

Bei einer Menge S mit n = 3567 Elementen bin ich mir nicht sicher .

Sicherlich ist eine Menge S mit n = 6665734529976967438675338965633321266643790584532111111 Elementen weit davon entfernt, "leicht zu halten" zu sein.

Betrachten Sie nun die Menge N , die ein "Anfangs"-Element enthält, nennen Sie es 0 , und für jedes Element n enthält es auch seinen "Nachfolger", nennen Sie es S(n) .

Wir haben auf einfache und verständliche Weise die Menge N der natürlichen Zahlen "spezifiziert" , die unendlich (genau: abzählbar viele) Elemente hat.

Das Grundkonzept einer unbegrenzten Iterationsmöglichkeit , die den „Kern“ des potentiell Unendlichen darstellt, ist viel einfacher zu verstehen als eine „sehr sehr große“ endliche Zahl.

Was ist mit Aleph-Eins ?

Unter der Annahme, dass es gleich c ist, müssen wir hier von der sogenannten reellen Linie ausgehen ; Welche Rolle spielt eine "kontinuierliche" Größe in unserem Denken? Wir brauchen es "nur" in der Mathematik ?

Bei niedrigen Zahlen verlassen wir uns auf unser physikalisches Verständnis. Ich kann drei Tassen sehen und ich kann 5 Cricket-Bälle werfen. Bei hohen Zahlen ist dies nicht möglich und andere Fähigkeiten übernehmen. In Betracht ziehen:

678

1256745

Die zweite Zahl ist viel größer als die erste. Aber ich habe kein physisches Verständnis für diese Tatsache. (Es ist möglich, dies durch Training in quantitativer Physik zu erhöhen); aber hier ist es viel einfacher, da wir uns auf das gleiche Paradigma mit niedrigen Zahlen wie zuvor verlassen können. Ich sehe die Zahl nicht wirklich physisch, aber ich sehe ziemlich schnell, dass die zweite mehr Ziffern hat als die erste. Betrachten wir nun Folgendes:

3567

6665734529976967438675338965633321266643790584532111111

Die zweite ist viel größer als die erste, jetzt kann man die Anzahl der Ziffern nicht auf einen Blick ablesen, aber geometrisch betrachtet, kann man beurteilen, dass die zweite vielleicht zehnmal so lang ist .

Praktisch muss man bedenken, dass große Zahlen ziemlich sinnlos sind. Es gibt immerhin nur etwa eine Google-Partikel im Universum. Man kann diese Zahl aufschreiben – 1 mit hundert Nullen dahinter. Meistens haben wir es tatsächlich mit recht kleinen Zahlen zu tun – 6, 30 vielleicht 500.000. Daher ist für die meisten Menschen meistens nur ein ziemlich primitives Verständnis von Quantität erforderlich: nichts, eins, zwei, ein wenig und viel.

Das Bild wird klarer, wenn wir beginnen, die Kardinalzahlen zu betrachten. Hier gibt es keine Hoffnung, körperliche Vorstellungskraft zu verwenden, und was man verwendet, ist, wie sie innerhalb des Körpers der Mathematik funktionieren, dh durch die Aussagen, die sie verwenden und von ihr verstanden werden. In der Sausseaschen Terminologie verstehen wir es strukturell . Das ist durch ein Element in einem Ganzen und seine Beziehungen. Man könnte von hier aus, denke ich, eine strukturelle Epistemologie der Quantität entwickeln.

Inwiefern nimmt unser epistemisches Verständnis von Mengen ab? und warum? Welche Eigenschaft von Mengen schränkt unsere Fähigkeit ein, sie zu kennen?

Ich denke, mit etwas Ausbildung in Mathematik (Grundstudium) wird der Umgang mit unendlichen Mengen auf unterschiedliche Weise ziemlich natürlich. Es ist offensichtlich, dass jeder menschliche Verstand nur endliche Dinge begreifen kann. Anstatt also zu versuchen, eine unendliche Sache zu verstehen, argumentieren Sie über eine endliche Beschreibung, wie man sie konstruiert. Sie verwenden dann diese endliche Konstruktion, um über die Menge nachzudenken.

Zum Beispiel: Anstatt zu versuchen, in deinem Kopf zu behalten, was die reellen Zahlen sind, betrachtest du die reellen Zahlen stattdessen einfach als die Vervollständigung der rationalen Zahlen. Obwohl die reellen Zahlen also eine viel größere Kardinalität haben, muss es nicht so viel schwieriger sein, diese Kardinalität zu verstehen.

Das beste Beispiel für etwas, das dem menschlichen Denken über Mengen zu entgehen scheint, ist die Kontinuumshypothese : ob es eine Menge gibt, deren Größe größer ist als die der ganzen Zahlen, aber kleiner als die der reellen Zahlen.

Sei nun P eine numerierbare unendliche Menge (wie N), wird es schwieriger zu glauben, dass ich alle Elemente von N gleichzeitig halten kann. Es scheint, dass ich die Menge der natürlichen Zahlen weniger kenne als eine ihrer Teilmengen.

Aber das gilt für jedes Objekt, physisch ODER abstrakt. Angenommen, ich halte einen Stein in der Hand. Ich habe eine direkte physische Erfahrung des Felsens ... seiner Größe, seines Gewichts, seiner Textur und seines Aussehens.

Aber ich habe keinerlei Wissen oder Erfahrung über die Atome, Quarks, Gluonen, Strings usw., aus denen das Gestein besteht. Es gibt Teile des Gesteins, die Physiker noch gar nicht entdeckt haben.

Ist das ein erkenntnistheoretisches Problem? Ich glaube nicht. Um etwas zu wissen, muss ich nicht alle seine Teile kennen. Ich weiß über China Bescheid, obwohl ich nicht jeden Bürger Chinas beim Namen kenne.

Sie haben Recht, dass wir eine Intuition von N haben. Aber wir haben keine direkte Erfahrung von jedem einzelnen der Zahlen 1, 2, 3, ..., geschweige denn von jedem Element der unzählbaren Potenzmenge von N.

Aber wie gesagt, das ist nicht anders als alles andere, was ich kenne. Ich weiß, dass die Sonne morgen früh aufgehen wird; aber ich habe keine direkte Erfahrung mit jedem einzelnen Photon, das es in meine Richtung aussendet.