Was ist der historische Kontext und was sind die philosophischen Implikationen der Modelltheorie?

Husserl gab in Logical Investigations (1900) eine aufschlussreiche philosophische Analyse der Veränderung, die in der Mathematik im Laufe des 19. und frühen 20. Jahrhunderts stattfand, wobei einige Aspekte dieser Veränderung von ihm selbst vorhergesehen und als neuer Weg für die Mathematik (und Wissenschaft) gefördert wurden. . Hier ist eine Vermutung aus Formal and Transcendental Logic (1929) §§29-30:

„ Das geschieht natürlich durch jene eigentümlich logische Verallgemeinerung, die „Formalisierung“ genannt wird, wodurch alle materiell bestimmten Was-Inhalte der Begriffe – bei der Geometrie alle spezifisch räumlichen Inhalte – in unbestimmte Weisen von verwandelt werden das leere „Irgendetwas“ … Es ist nicht irgendeine Vielheit (das wäre dasselbe wie irgendeine Menge), noch ist es die Form „irgendeine unendliche Menge.“ Im Gegenteil, es ist eine Menge deren Eigentümlichkeit nur darin besteht, dass sie mit leerformaler Allgemeinheit gedacht wird, als „eine“ Provinz, bestimmt durch die Gesamtheit der euklidischen Postulatformen …Der große Fortschritt der modernen Mathematik, insbesondere wie sie von Riemann und seinen Nachfolgern entwickelt wurde, besteht ... darin, dass sie dazu übergegangen ist, solche Systemformen auch selbst als mathematische Objekte zu betrachten, sie frei zu verändern, mathematisch zu verallgemeinern und die Allgemeinheiten zu partikularisieren ... " [fett gedruckt von mir]

Von der Betrachtung euklidischer Figuren als Idealisierungen materieller Objekte, wie es die Mathematiker von Euklid bis Kant taten, gingen sie dazu über, sie als leere Unbestimmtheiten zu betrachten, die formalen Axiomen unterworfen sind. Und dann wurden nicht-euklidische Geometrien als Modifikationen der Axiome möglich, wo sie aus kantischer Sicht unmöglich waren. Darüber hinaus konnten sie "die Universalitäten partikularisieren", Modelle nicht-euklidischer Geometrien finden, wie die von Klein und Poincare, leere Formalitäten mit "Materie" auffüllen. Dasselbe geschah mit komplexen Zahlen und ihrer geometrischen Interpretation. Es wurde deutlich, dass verschiedene „materielle“ Theorien (Modelle) „gleichförmig“ sein können, formale Sätze dann für alle einheitlich gelten, aber unterschiedliche „Bedeutung“ haben.

Dies ermöglichte eine effizientere Entwicklung und Anwendung der Mathematik, wobei scheinbar unterschiedliche Bereiche sich gegenseitig bereicherten, und sie wurde auch zu einem Werkzeug zur Untersuchung metalogischer Eigenschaften formaler Theorien selbst. So zeigte zB Hilbert die Unabhängigkeit seiner geometrischen Axiome, indem er Modelle ausstellte, bei denen bis auf einen alle zutrafen; Gödel zeigte Konsistenz des umstrittenen Wahlaxioms, indem er ein Modell damit innerhalb der Mengenlehre ohne es baute; Skolem zeigte, dass alle Theorien erster Ordnung, einschließlich reeller Analyse und sogar Cantors transfiniter Arithmetik, zählbare Modelle usw. hatten. Die Ergebnisse von Skolem und Gödel unterstrichen die Bedeutungsneutralität des Formalen und leiteten die derzeitige Dominanz der Logik erster Ordnung ein, siehe Wo hat Gödel geschrieben, dass die Logik erster Ordnung die "wahre" Logik ist?Aber sie hoben auch die Grenzen ihrer Ausdruckskraft hervor und untergruben später das logistische Programm von Frege und Russell sowie das formalistische von Hilbert, siehe jeweils Was ist die philosophische Grundlage für die Unterscheidung von Logik und Mathematik? und Gab es einen kantischen Einfluss auf Hilberts formalistisches Programm? Tarski zeigte, wie Modelle es ermöglichen, die bis dahin (auch von Husserl und Carnap) verschmolzenen Begriffe semantischer und syntaktischer Inferenz zu trennen, die einen tiefgreifenden Einfluss auf die analytische Wissenschafts- und Sprachphilosophie hatten. Er lieferte auch einen modelltheoretischen Beweis für Gödels berühmten Unvollständigkeitssatz. Russell witzelte in Mysticism and Logic (1917) Kapitel 4 über die Bedeutung der entstehenden Modelltheorie wie folgt:

„ Die reine Mathematik besteht ausschließlich aus Behauptungen, dass, wenn dieser und jener Satz von irgendetwas wahr ist, dann dieser und jener andere Satz von diesem Ding wahr ist. Es ist wesentlich, nicht zu diskutieren, ob der erste Satz wirklich wahr ist, und nicht zu erwähnen, was das alles ist, wovon er wahr sein soll. [...] So kann Mathematik als das Fach definiert werden, in dem wir nie wissen, worüber wir sprechen, noch ob das, was wir sagen, wahr ist . " [fett gedruckt von mir]

Man muss nur „Mathematik“ durch „theoretische Wissenschaft“ ersetzen, um den Antrieb hinter einigen der wichtigsten Trends in der Erkenntnistheorie der Wissenschaften des 20. Jahrhunderts zu erkennen, siehe z .

PSLassen Sie uns nun Robinsons Nicht-Standard-Analyse in diesen Kontext stellen. Sein erklärtes Ziel war es, einen strengen Rahmen zu schaffen, der besser zu Intuitionen über und Manipulationen mit Infinitesimalzahlen von Fermat, Leibniz, Euler usw. passt. Das heißt, besser als die Weierstrasssche Analyse, die sie effektiv eliminierte. Um Intuitionen Rechnung zu tragen, konnte dieser Rahmen nicht nur eine formale Theorie sein, er musste mit einem Modell zu seiner Interpretation einhergehen. Das Modell musste die gewöhnlichen reellen Zahlen enthalten, und zwar in einer Weise, die der Weierstrassschen Analyse entspricht, dh es musste eine Erweiterung von ihnen sein. Aber es musste eine solche Erweiterung sein, dass alle neuen Zahlen denselben Beziehungen „erster Ordnung“ gehorchten wie die reellen Zahlen, sodass sich alle elementaren Funktionen nahtlos auf sie ausdehnen würden usw. Dies ist Leibniz‘ „Allgemeinheit der Algebra“, was zum "Übertragungsprinzip" wurde. Robinson benötigte also ein Modell, das der Analyse erster Ordnung entspricht, sich jedoch bei "externer" Betrachtung auf Infinitesimale erstreckt. Das haben die Hyper-Realen erreicht. Ideologisch war es eine Fortsetzung des "Modellbaus" nach Spezifikationen, die Hilbert und Gödel früher für andere Zwecke eingesetzt hatten.