Können alle mathematischen Überlegungen in traditionelle Logik übersetzt werden?

Mit einem Wort, nein.

Ich werde die wohltätigste Version Ihrer Frage nehmen.

1) Ich gehe davon aus, dass mathematische Entitäten irgendwie geerdet sind, und Sie beziehen sich mit Ihrer Argumentation auf die Manipulation mathematischer Entitäten. Der Grund, warum ich diese Annahme mache, ist, dass die syllogistische Logik nichts darüber aussagt, worüber argumentiert wird (sozusagen der Inhalt des Denkens, es könnten Personen und Attribute sein, es könnten Zahlen und Eigenschaften sein), also nehme ich an, Sie meinen, sie werden generiert /an anderer Stelle gegeben.

2) Gibt es Möglichkeiten, über mathematische Entitäten nachzudenken, die über die syllogistische Logik hinausgehen? Ganz einfach, ja. Beachten Sie, dass die syllogistische Logik, obwohl sie nichts über den Inhalt des Denkens aussagt, tatsächlich einige Annahmen trifft. Nennen wir diese Annahmen operative oder sogar erkenntnistheoretische Annahmen. Es wird davon ausgegangen, dass Sie die Schlussfolgerungen immer mit richtig oder falsch beantworten können. Es geht auch davon aus, dass, obwohl die Objekte der Erkenntnis nicht spezifiziert sind, sie ihrer Natur nach diskret sind.

3) Die syllogistische Logik ist also nicht in der Lage, über undefinierte Begriffe wie die Division durch Null zu sprechen. Es gelingt ihm nicht, von endlosen Verfahren zu sprechen. Es ist nicht in der Lage, eher über das Kontinuum als über diskrete Objekte / Mengen zu sprechen, so dass es nicht in der Lage ist, über die Objekte zu sprechen, die in Robinsons Nicht-Standard-Analyse und tatsächlichen Unendlichkeiten und Infinitesimalen enthalten sind.

Ich empfehle Susan Haacks Philosophie der Logik , um mehr zu verstehen.

• Prior, AN „ Logik, Traditionell “. Enzyklopädie der Philosophie . Ed. Donald M. Borchert. 2. Aufl. Vol. 5. Detroit: Macmillan Reference USA, 2006. 493-506. Virtuelle Gale-Referenzbibliothek. Netz. 20. Mai 2016.

erwähnt

• Timothy Smiley. „ Syllogismus und Quantifizierung .“ Das Journal of Symbolic Logic 27, No. 1 (1962): 58-72.

Smileys Zusammenfassung:

Wer Aristoteles liest und etwas über die moderne Logik und nichts über ihre Geschichte weiß, muss sich fragen, warum die Syllogistik nicht so wie sie ist in die Logik der Quantifizierung übersetzt werden kann. Es ist nun mehr als zwanzig Jahre her, seit der erforderliche Rahmen, die Logik der vielschichtigen Quantifizierung, erfunden wurde.

Er schließt:

Wenn die aristotelische Logik nach einer langen Vorrangstellung und einer kürzeren Zeit des Verrufs jetzt gemäßigter betrachtet wird, ist die Veränderung sicherlich auf Lukasiewicz' Formalisierung der traditionellen Syllogistik in den 1930er Jahren und seine Einbeziehung moderner Techniken und Ideen zurückzuführen auf dem resultierenden System. Aber der Preis, der für eine Rehabilitierung der traditionellen Logik durch eine Algebra vom Typ Łukasiewicz gezahlt wird, ist eine gewisse Abkehr von der Hauptströmung der modernen Logik: Łukasiewicz wurde sogar zum Schluss gebracht ( op. cit. [ Łukasiewicz, Jan . 1957. Aristoteles's syllogistic vom Standpunkt der modernen formalen Logik. Oxford: Clarendon Press. ], p. 130), dass die Syllogistik des Aristoteles „abgesondert von anderen deduktiven Systemen existiert und ihre eigene Axiomatik und ihre eigenen Probleme hat“. Das Ergebnis ist eine gewisse Ambivalenz in der aktuellen Haltung gegenüber der alten Logik - wenn wir unser Weltteam von Logikern zusammenstellen, neigen wir dazu, Aristoteles als (nicht spielenden) Kapitän einzubeziehen. Diese gleichzeitig bewundernde und ablehnende Haltung wird in Łukasiewiczs Schlussfolgerung gut veranschaulicht: „Die Syllogistik des Aristoteles ist ein System, dessen Genauigkeit sogar die Genauigkeit einer mathematischen Theorie übertrifft, und dies ist ihr ewiges Verdienst. Aber es ist eine Enge System und kann nicht auf alle Arten von Argumenten angewendet werden, zum Beispiel auf mathematische Argumente … Die Logik der Stoiker, der Erfinder der antiken Form des Aussagenkalküls, war viel wichtiger als alle Syllogismen des Aristoteles. Wir erkennen heute, dass die Theorie der Deduktion und die Theorie der Quantoren die grundlegendsten Zweige der Logik sind.“ (S. 131.)

Es wäre natürlich absurd und anachronistisch, wenn ich versuchen würde, Aristoteles' Themenwahl dadurch zu rechtfertigen, dass er sich bewusst von so etwas wie der modernen Idee der Quantifizierung leiten ließ. Aber ohne diesen Fehler zu begehen, gibt es zwei Beobachtungen, die meiner Meinung nach richtig gemacht werden können. Wenn es anachronistisch ist zu behaupten, dass Aristoteles' Logik „wirklich“ eine Theorie der Quantifizierung ist, dann ist es ebenso anachronistisch zu behaupten, dass sie „wirklich“ eine Theorie primitiver Funktoren A , I istusw. Wie Łukasiewicz selbst in seinem Buch bemerkt, „ist die Logik des Aristoteles formal, ohne formalistisch zu sein“; und was ich der Einfachheit halber in § 2 die „traditionelle“ Theorie genannt habe, ist sowohl in ihrer bewussten Konzeption als Algebra nicht-leerer Klassen als auch in ihrem formalistischen Vokabular und ihrer Axiomatisierung so unverwechselbar „modern“ wie die Logik von Quantifizierung. Die andere Bemerkung, die gemacht werden muss, ist, dass die Logik der vielseitigen Quantifizierung keineswegs etwas ist, das „abseits von anderen deduktiven Systemen“ existiert. Sie ist nicht nur formal nicht mehr als eine systematische Verdoppelung der standardmäßigen einfachsortierten Logik, sondern sie ist auch der offensichtliche Rahmen für die Formalisierung einer ganzen Reihe mathematischer Theorien: Jeder Zweig der Geometrie wird ein Beispiel liefern und Russells oder von Neumanns ' s setzen Theorien ein anderes. Ich möchte daher glauben, dass die oben eingeführten Übersetzungen dazu beitragen würden, der Andeutung einer sogar verbleibenden Inkompatibilität zwischen der modernen und der aristotelischen formalen Logik entgegenzuwirken.

Vielleicht möchten Sie sich Gödel, Escher, Bach von Hofstadter ansehen. Tatsächlich ist es möglich, alle Peano-Axiome zusammen mit der Logik erster Ordnung in ein rein "typografisches" System zu codieren, wie Hofstadter es nennt. Theoretisch deckt das die gesamte Zahlentheorie ab (obwohl der im Buch gegebene Beweis der Kommutativität der Addition zeigt, wie undurchführbar ein Projekt wäre). Der Beweis Ihres ersten Beispiels würde ungefähr so ​​​​aussehen:

Ex:SS0+Sx=SSS0
Ey:S0+Sy=SS0
...various steps including transitivity of equality
Ez:S0+Sz=SSS0

Natürlich sind xund ydarüber 0, und zdarüber ist S0aka 1.

Es kann also getan werden.

Obwohl vielleicht die Antwort, nach der Sie gesucht haben, lautet: nur wenn Sie auch einige mathematische Axiome hinzufügen, wie der Kommentar von @ Mauro oben auch sagt.