Was sind die philosophischen Implikationen der Kategorientheorie?

Die Stanford Encyclopedia of Philosophy enthält einen ausführlichen Artikel über die Kategorientheorie und ihre philosophischen Implikationen. Zur Bedeutung der Theorie heißt es:

Die Kategorientheorie fordert Philosophen auf zwei Arten heraus, die sich nicht unbedingt gegenseitig ausschließen. Einerseits ist es sicherlich Aufgabe der Philosophie, den allgemeinen erkenntnistheoretischen und ontologischen Stellenwert von Kategorien und kategorialen Methoden sowohl in der mathematischen Praxis als auch in der Grundlagenlandschaft zu klären. Andererseits können Philosophen und philosophische Logiker Kategorientheorie und kategoriale Logik anwenden, um philosophische und logische Probleme zu untersuchen.

Somit ist es offensichtlich, dass die Kategorientheorie sowohl für die Mathematik als auch für die Philosophie relevant ist und Auswirkungen darauf hat und nicht nur semantisch ist. Aus mathematischer Sicht ist die Kategorientheorie sehr bedeutsam, weil „Mathematik in einem kategorialen Rahmen fast immer radikal anders ist als in einem mengentheoretischen Rahmen“.

Der Artikel enthält eine Liste philosophischer Ergebnisse aus der Kategorientheorie, wie zum Beispiel:

Die Hierarchie kategorialer Lehren: reguläre Kategorien, kohärente Kategorien, Heyting-Kategorien und Boolesche Kategorien; all dies entspricht wohldefinierten logischen Systemen, zusammen mit deduktiven Systemen und Vollständigkeitstheoremen; Sie legen nahe, dass logische Begriffe, einschließlich Quantoren, natürlich in einer bestimmten Reihenfolge entstehen und nicht willkürlich organisiert sind.

Und es wird auch erwähnt, dass "die Kategorientheorie die Entwicklung von Methoden ermöglichte, die das Gesicht der Mathematik verändert haben und weiterhin verändern".

Dies sind nur Beispiele, die Ihre Fragen zu beantworten beginnen; Der (ausgezeichnete) Artikel enthält viel zu viel, um ihn hier aufzuzählen, aber das Lesen sollte die Antworten gut vervollständigen.

Das folgende Zitat stammt aus dem Wikipedia-Eintrag über Strukturalismus:

Strukturalismus ist ein theoretisches Paradigma, das betont, dass Elemente der Kultur in Bezug auf ihre Beziehung zu einem größeren, übergreifenden System oder einer "Struktur" verstanden werden müssen. Mit anderen Worten, der Strukturalismus postuliert, dass diskrete kulturelle Elemente an und für sich nicht erklärend sind, sondern Teil eines bedeutungsvollen Systems sind und am besten in Bezug auf ihre Position innerhalb (und Beziehung zu) der Struktur als Ganzes verstanden werden.

Ich denke, das erinnert sehr an die Philosophie der Kategorientheorie (in rein mathematischer Hinsicht), insofern sie eine hat. Tatsächlich würde ich sogar so weit gehen zu sagen, dass die Kategorientheorie eine Umsetzung dieser allgemeinen philosophischen Idee in den präzisen Modus der Mathematik ist und sich dort als sehr erfolgreich erwiesen hat.

Ein konkretes Beispiel mag zeigen, was ich damit explizit meine: Nehmen Sie die einfachste mathematische Operation, die wir uns vorstellen können, die der Addition. Ursprünglich wurde dies in Bezug auf die ganzen Zahlen definiert, und es wurde gesehen, dass sie bestimmten Regeln folgten (dh Existenz von Identität und dem assoziativen Gesetz). Beachten Sie auch, dass wir zum Addieren zweier ganzer Zahlen nicht die Hilfe einer dritten brauchen, die nur in Bezug auf die beiden ganzen Zahlen definiert ist, die wir zur Hand haben.

Mit der Geburt der modernen Algebra und der Erfindung neuer mathematischer Strukturen, sagen wir der Einfachheit halber - Gruppen, von denen jede intern einen Begriff der Addition hatte (man konnte zwei Elemente einer Gruppe hinzufügen, um ein drittes zu erhalten, und tatsächlich charakterisiert dies das Gruppe) und einen externen Begriff der Addition (Sie könnten zwei verschiedene Gruppen zusammenfügen, um eine dritte zu erhalten, Sie hatten auch die Existenz einer Identität und einer assoziativen Regel, weshalb dies Addition genannt wird).

Es wurde festgestellt, dass in anderen algebraischen Systemen dasselbe Muster bestand: Sie hatten interne Operationen, die diese einzelne Instanz dieser Art von algebraischem System charakterisierten, und eine externe Addition. Nun waren diese externen Zusätze für jede Kategorie algebraischer Systeme unterschiedlich, und das Problem bestand darin, eine einheitliche Definition zu finden. Schließlich wurde festgestellt, dass die Definition dieser externen Addition in Bezug auf jedes andere algebraische System dieser Art eine einheitliche Definition ergab (es wird allgemein als universelle Eigenschaft/Definition bezeichnet) und dass sich die Definition außerdem nicht direkt auf die interne Struktur eines dieser Systeme bezog Systeme, sondern wie sie zueinander in Beziehung stehen (in der Kategorientheorie Morphismus genannt).

Schließlich, um den Kreis zu schließen, stellen wir fest, dass wir durch die Verwendung dieser Definition in der Kategorie der endlichen Mengen (für die keine internen Operationen gegeben sind) die ganzen Zahlen neu erfinden.

In der zeitgenössischen kontinentalen Philosophie ist mir bewusst, dass Badiou die Kategorientheorie in der späteren Entwicklung seines Denkens verwendet, obwohl ich nicht sagen kann, dass ich verstehe, was er tut, also werde ich nichts darüber sagen. Siehe jedoch „Logik der Welten“. Das Folgende ist ein Zitat von dieser Seite: http://theimmeasurableexcess.blogspot.com/2008/07/badiou-and-deleuze-brothers-in.html

"Badiou verwendet zwei unterschiedliche Regime: Theorie des Seins/der Ontologie/Menge und Erscheinungs-/Logik-/Kategorietheorie."

Es scheint, dass der Verstand die Kategorientheorie verwendet, um sein Wissen zu systematisieren und zu navigieren:

http://www.ploscompbiol.org/article/info:doi/10.1371/journal.pcbi.1000858

Das Papier zeigt, wie Systematik, d. h. die Fähigkeit, Wissen ohne falsche Schlussfolgerungen zu verallgemeinern und zu extrahieren, die in der künstlichen Intelligenz ein Albtraum sind, zum Beispiel: Ein Auto kann rot sein, daher können rote Blumen Kraftstoff verbrauchen, auf natürliche Weise aus mentalen Prozessen (Verhaltensweisen) hervorgehen ), die den Regeln der Kategorientheorie folgen.

„Unser Verstand ist nicht die Summe einer willkürlichen Sammlung geistiger Fähigkeiten. Stattdessen kommen unsere geistigen Fähigkeiten in Gruppen verwandter Verhaltensweisen vor. Diese Eigenschaft der menschlichen Kognition hat einen erheblichen biologischen Vorteil, da die Vorteile, die ein kognitives Verhalten bietet, auf eine verwandte Situation übertragen werden ohne die Kosten, die mit dem Erwerb dieses Verhaltens überhaupt verbunden waren, [..] Systematik entsteht als natürliche Folge struktureller Beziehungen zwischen kognitiven Prozessen, anstatt sich auf die spezifischen Details der kognitiven Repräsentationen zu verlassen, auf denen diese Prozesse basieren, und ohne sich auf allzu starke Annahmen zu verlassen"

Ich denke, dass die Beziehung zwischen Kategorien der Mathematik und Kategorien als mentale Argumentation der Philosophie und Psychologie endlich sehr eng ist.

Da dies Auswirkungen auf die Struktur des menschlichen Geistes und damit auf die Struktur der von uns wahrgenommenen Realität und die Art und Weise hat, wie wir über das Wahrgenommene denken und handeln, kann dies eine gewisse Unterstützung für eine aristothenisch-tomistische Philosophie über die Essenzen liefern, und a feste Stütze für Analogieschluss.

Analog aus Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Analogie

Steven Phillips und William H. Wilson [18][19] verwenden die Kategorientheorie, um mathematisch zu demonstrieren, wie das analoge Denken im menschlichen Verstand, das frei von den falschen Schlussfolgerungen ist, die herkömmliche Modelle der künstlichen Intelligenz plagen (Systematik genannt), auf natürliche Weise entstehen könnte von der Verwendung von Beziehungen zwischen den internen Pfeilen, die eher die internen Strukturen der Kategorien als die bloßen Beziehungen zwischen den Objekten beibehalten. So kann der Verstand Analogien zwischen Bereichen verwenden, deren interne Strukturen gemäß einer natürlichen Transformation passen, und diejenigen ablehnen, die dies nicht tun

Wenn mir das OP erlaubt, die Frage neu zu formulieren, damit ich eine Art Antwort geben kann: „Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Kategorientheorie, wie sie heute von Mathematikern praktiziert wird, und den Kategorien von Aristoteles, wie sie in seinem ORGANON zu sehen sind?“

Ja, es gibt eine Verbindung, aber sie ist nicht direkt. In PRIOR ANALYTICS sehen wir die erste systematische Analyse der Logik im Westen, die die Form eines zweigliedrigen Aussagenkalküls annimmt. Dieses relativ einfache Schema lässt eine kleine Anzahl von Kategorien zu, die Aristoteles verwendet hat, um Aussagen zu klassifizieren.

Im 19. Jahrhundert erweiterte Boole die Ergebnisse von Aristoteles um eine beliebige Anzahl von Begriffen, was die Aussicht auf einen Katalog unmöglich machte. In seinen Gesetzen des Denkens bewies Boole, dass die Anzahl der Kategorien unendlich ist.

Im 20. Jahrhundert bewies Stone, dass jede boolesche Algebra auch eine Menge ist. Dies ist die Verbindung zur Kategorientheorie. Kategorien werden bei der Auswertung von Mengen mit Hilfe von Algebra verwendet.

Das ist also die Verbindung! Beginnend mit den Kategorien von Aristoteles, weiter mit der Algebra von Boole und endend mit den Mengen von Stone. Das gesamte relevante Material ist gemeinfrei, falls Sie es lesen möchten.