Wikipedia auf [2. Ordnungslogik] sagt:
Die Prädikatenlogik wurde in erster Linie von CS Peirce in die mathematische Gemeinschaft eingeführt, der den Begriff Logik zweiter Ordnung prägte und dessen Notation der modernen Form am ähnlichsten ist.
Heutzutage sind die meisten Logikstudenten jedoch eher mit den Werken von Frege vertraut ...
Frege verwendete verschiedene Variablen, um die Quantifizierung über Objekte von der Quantifizierung über Eigenschaften und Mengen zu unterscheiden; aber er sah sich selbst nicht als zwei verschiedene Arten von Logik an.
Nach der Entdeckung von Russells Paradoxon wurde klar, dass etwas mit seinem System nicht stimmte. Schließlich fanden Logiker heraus, dass die Beschränkung von Freges Logik auf verschiedene Weise – auf das, was heute als Logik erster Ordnung bezeichnet wird – dieses Problem beseitigte: Mengen und Eigenschaften können nicht allein in der Logik erster Ordnung quantifiziert werden ...
Es wurde festgestellt, dass die Mengenlehre als ein axiomatisiertes System innerhalb des Apparats der Logik erster Ordnung formuliert werden konnte ( auf Kosten mehrerer Arten von Vollständigkeit , aber nichts so Schlimmes wie Russells Paradoxon), und dies wurde getan (siehe Zermelo-Fraenkel-Menge Theorie).
Was waren diese Vorstellungen von Vollständigkeit, die aufgegeben werden mussten, um ZFC in den Rahmen der Logik erster Ordnung einzufügen?
Freges Logik war wirklich Logik zweiter Ordnung (und mehr ...).
Die Einschränkung, die erforderlich ist, um Paradoxien (Russells) zu vermeiden, besteht nicht darin , die 2. Ordnung zu vermeiden und die 1. Ordnung anzunehmen, sondern die Axiome, die Sie verwenden möchten. Die Schuldigen sind:
"naives" Verständnis - Cantor
Grundgesetz V - Frege
Einschränkungen sind sowohl dann notwendig, wenn man zB ZFC in erster oder in zweiter Ordnung formuliert (andere Aspekte sind auch relevant..).
Erste Ordnung ist "einfacher" und hat einige nette Eigenschaften, wie die Vollständigkeit des deduktiven Standardkalküls (oder Beweissystems ): siehe Gödel-Vollständigkeitssatz. Dies gilt nicht mehr in der Logik zweiter Ordnung.
Dies gilt auch für ZFC .
Aber alle formalisierten Theorien, die in Bezug auf die Ausdruckskraft ausreichend "stark" sind (und dieses Konzept von stark ist präzise und formal, und es ist sehr ... schwach), unterliegen dem Gödel-Unvollständigkeitssatz, der auch für Peano-Arithmetik und ZFC gilt . beide zu ihrer Version mit Logik erster und zweiter Ordnung.
Was waren diese Vorstellungen von Vollständigkeit, die aufgegeben werden mussten, um ZFC in den Rahmen der Logik erster Ordnung einzufügen?
Logik zweiter Ordnung (SOL) quantifiziert über Prädikate oder Relationen einschließlich Funktionen. SOL kann nach der aktuellen Mengentheorie nicht auf FOL reduziert werden, da FOL höchstens eine abzählbar unendliche Menge adressiert. Nach dem Satz von Skolem gibt es ein abzählbares Modell, das genau die gleichen Sätze erster Ordnung über reelle Zahlen und Mengen reeller Zahlen erfüllt wie die reelle Menge R reeller Zahlen. Im abzählbaren Modell kann es nicht alle überabzählbar vielen Teilmengen von N oder R geben und die Eigenschaft der kleinsten Obergrenze kann nicht für jede beschränkte Teilmenge von R erfüllt werden. Wenn also die reellen Zahlen nicht abzählbar sind, dann muss es viele FOL-Modelle von R geben. In SOL gibt es jedoch nur ein Modell (bis auf Isomorphie).
SOL hat jedoch einen Hauptnachteil. Nach einem Ergebnis von Gödel lässt SOL keine vollständige Beweistheorie zu. Also ist SOL eigentlich nicht logisch. Quine nennt es „Mengenlehre im Schafspelz“.
DBK
Mauro ALLEGRANZA
Mosibur Ullah