Wie man zeigt, dass (P & Q) v (~P v ~ Q) ein Satz in SD ist

Sie werden keine Disjunktion beweisen können, da keine von beiden eine logische Wahrheit ist. Nehmen Sie stattdessen die Negation dessen an, was Sie beweisen möchten, und leiten Sie dann einen Widerspruch ab. Ich bin mir sicher, dass andere das viel schöner formatieren können als ich, aber hier ist ein Beweis. Ich benutze 'F', um das Falschum/den Widerspruch zu meinen, und ich verlasse mich auf eine DeMorgan-Äquivalenz, aber dies wird natürlich eliminiert.

|1. ~((P&Q)∨(~P∨~Q))........Angenommen
||2. P&Q................................Angenommen
||3. (P&Q)∨(~P∨~Q)........2, ∨Intro
||4. F ................................... 1,3
|5. ~(P&Q)................................. 2-4, ~Einführung
|6. ~P ∨ ~Q......................... 5, DeMorgan
|7. (P&Q)∨(~P∨~Q).......... 6, ∨Intro
|8. F..................................... 1,7
9. (P&Q)∨(~P∨ ~Q)......... 1-8, ~Elim

ein anderer Ansatz, der die minimale Anzahl von Schritten angibt (jedoch kein formaler Beweis):

1. (P & Q) v ~(P & Q)              law of excluded middle
2. (P & Q) v (~P v ~Q)             DeM 1

Unter Verwendung des mit forall x: Calgary Remix verbundenen natürlichen Abzugs- und Beweisprüfers erhalte ich den folgenden Beweis:

Beginnen Sie in Zeile 1 einen Unterbeweis, indem Sie die Negation dessen annehmen, was Sie beweisen möchten.

Wenden Sie in Zeile 2 die Regel von DeMorgan auf Zeile 1 an.

Eliminiere in Zeile 3 den ersten Teil der Konjunktion in Zeile 2.

Wenden Sie in Zeile 4 die Regel von DeMorgan auf Zeile 3 an.

Eliminiere in Zeile 5 den zweiten Teil der Konjunktion in Zeile 2.

Führen Sie in Zeile 6 einen Widerspruch basierend auf den Zeilen 4 und 5 ein.

In Zeile 7 lösen Sie die Annahme in Zeile 1 auf und verlassen den Unterbeweis mit indirektem Beweis (IP), um zum gewünschten Schluss zu gelangen.

Ich möchte den folgenden "Beweis" anbieten.

1 - Wenn (A) V ~(A) ein SD-Theorem ist,
2 - A = (P & Q) : Definition
3 - (P & Q) V (~PV ~Q) : gegeben
4 - (P & Q) V ~(P & Q) : DeMorgan (im 2. Teil)
5 - (A) V ~(A) : Substitution
6 - Daher ist (P & Q) V (~PV ~Q), ein SD-Theorem.

Strategie: Zeigen Sie, dass die Annahme, dass das Ziel falsch ist, zu einem Widerspruch führt, egal was wir über die Literale annehmen.

Der Beweis für den Fitch-Stil lautet wie folgt: Nehmen Sie einige Dinge an und leugnen Sie dann alles. Grundsätzlich.

   ._.
 1.|  |_ ~((p & q) v (~p v ~q))      : Assumption
 2.|  |  |_ p                        : Assumption
 3.|  |  |  |_ q                     : Assumption

 6.|  |  |  | #                      : Negation Elimination (1,5)
 7.|  |  | ~q                        : Negation Introduction (3-6)

10.|  |  | #                         : Negation Elimination (1,9)
11.|  | ~p                           : Negation Introduction(2-10)

14.|  | #                            : Negation Elimination (1,13)
15.| ~~((p & q) v (~p v ~q))         : Negation Introduction (1-14)
16.| ((p & q) v (~p v ~q))           : Double Negation Elimination (15)

Opps. Ich habe ein paar Schritte verpasst. :)

NB: Die DNE am Ende legt nahe, dass dies kein konstruktiv gültiges Theorem ist. In der Tat ist es nicht. Dennoch ist ((p & q) v (~pv ~q)) ein Theorem der klassischen Logik, wie gezeigt wird, indem nur die grundlegenden Schlußregeln für natürliche Deduktion verwendet werden.

PS: Verwenden von # als Falschum-Konstante

Keine Antwort war bisher rein in SD.

1. |~((P&Q)∨(~P∨~Q)) A/~E
2. | ~PA/~E
3. | (~Pv~Q) 2 vI
4. | (~Pv~Q)v(P&Q) 3 vI
5. | ~((P&Q)∨(~P∨~Q)) 1 R
6. |P 2-5 ~E
7. | ~QS/~E
8. | (~Pv~Q) 7 vI
9. | (~Pv~Q)v(P&Q) 8 vI
10. | ~((P&Q)∨(~P∨~Q)) 1 R
11. |Q 7-10 ~E
12. |(P&Q)
13. |(P&Q)v(~P∨~Q) 12 vI
14. |~((P&Q)∨(~P∨~Q)) 1 R
15. (P&Q)∨(~P∨~Q) 1-14 ~E