Warum ist Tarskis semantische Wahrheitstheorie formal richtig und materiell angemessen?

In „Die semantische Wahrheitskonzeption und die Grundlagen der Semantik“ (1944) behauptet Alfred Tarski, dass eine zufriedenstellende Wahrheitsdefinition sowohl formal korrekt als auch materiell angemessen sein muss. Eine Wahrheitstheorie ist formal richtig, wenn sie den Regeln der Sprache, in der sie gegeben ist (der Metasprache, die die Objektsprache beschreibt), nicht widerspricht. Darüber hinaus ist eine Wahrheitstheorie materiell adäquat, wenn sie alle Äquivalenzen (T) in der Objektsprache der Form „X ist wahr, wenn und nur wenn p“ enthält, wobei „p“ ein willkürlicher Satz in der Objektsprache ist und 'X' ist der Name dieses Satzes in der Metasprache.

Die Definition von Wahrheit, die Tarski schließlich vorzubringen beschließt, lautet: „Ein Satz ist wahr, wenn er von allen Objekten erfüllt wird, und ansonsten falsch.“ Wenn zum Beispiel Schnee den Satz „Schnee ist weiß“ erfüllt, dann ist der Satz wahr. Meine Frage ist, wie kann gezeigt werden, dass diese Wahrheitsdefinition formal korrekt ist und dass sie alle Äquivalenzen (T) in der Objektsprache impliziert? Es kann sein, dass die Behandlung der Theorie, die ich lese, nur ein Umriss ist oder dass ich etwas falsch verstehe, aber so oder so wäre es sehr hilfreich, wenn mich jemand in die richtige Richtung weisen könnte.

Die „Veranschaulichung“ von Tarskis Theorie als: „ein Satz ist wahr, wenn er von allen Objekten erfüllt wird, und falsch sonst“ ist irreführend.
Aus Tarskis Wahrheitsdefinitionen : „Die Definition von Wahr sollte ‚formal korrekt‘ sein. Das bedeutet, dass es ein Satz der Form sein sollte: Für alle x, Wahr(x), genau dann, wenn φ(x), wobei Wahr niemals vorkommt in φ .... Die Definition sollte „materiell angemessen“ (dh „genau“) sein, was bedeutet, dass die Objekte, die φ erfüllen, genau die Objekte sein sollten, die wir intuitiv als wahre Sätze zählen würden.
@MauroALLEGRANZA Alles in der Frage in Anführungszeichen stammt direkt aus dem Aufsatz von Tarski. Daher bin ich verwirrt, wie es irreführend ist
Ich verstand die Forderung nach formaler Korrektheit und materieller Angemessenheit nicht als Definition, sondern als Bedingung, die jede Wahrheitsdefinition erfüllen muss, damit sie zufriedenstellend ist.

Antworten (1)

Alfred Tarski behauptet, dass eine zufriedenstellende Definition von Wahrheit sowohl formal korrekt als auch materiell angemessen sein muss.

Ich kann nicht für die philosophische Logik sprechen, aber für die mathematische Logik wurde Tarskis Behauptung zu einer Definition; in dem Sinne, dass dies gute Voraussetzungen für eine mathematisch handhabbare Definition von Wahrheit sind; dass dies (mathematisch) eine gute Definition ist, zeigen die Konsequenzen seiner Definitionen und Theorie; und dies brachte die Entwicklung der Modelltheorie mit sich.

Hier zeigte Gödel in seinem Vollständigkeitssatz, dass:

ist ein grundlegender Satz in der mathematischen Logik ... [es] stellt eine Entsprechung zwischen semantischer Wahrheit und syntaktischer Beweisbarkeit in der Logik erster Ordnung her.

Das heißt, eine Proposition p ist syntaktisch wahr, die durch die Schlußgesetze genau dann ableitbar ist, wenn p auch semantisch wahr ist, das heißt durch sein/ihre Modell(e) erfüllt ist.

Die Vorwärtsrichtung heißt Vollständigkeit & die Rückwärtsrichtung Korrektheit - zumindest in der mathematischen Logik.

Um ein einfaches Beispiel dafür zu geben, nehmen Sie die Theorie der (elementaren) Euklidischen Geometrie (EG) und die Logik erster Ordnung und Modus Tolles als das Gesetz der Schlussfolgerung. Dann kann gezeigt werden, dass jeder arithmetische Satz, den man formal durch die Regeln der Logik, des Schlusses und der Axiome von PA beweisen kann, von der tatsächlichen Ebene erfüllt wird; und die Umkehrung gilt auch.

Was meinst du mit: "Dann kann gezeigt werden, dass jeder arithmetische Satz, den man formal durch die Regeln der Logik, der Inferenz und der Axiome von PA beweisen kann, durch das Standardmodell erfüllt ist - die tatsächlichen ganzen Zahlen; und das Umgekehrte gilt auch " ? Das "Umgekehrte" muss lauten wie: "Wenn eine Aussage im Standardmodell erfüllt ist, dann ist sie formal beweisbar durch Regeln der Logik von fo Peanos Axiomen" ... Wenn ja, ist es nicht richtig: G's Incompleteness Th beweist genau das es gibt "intuitiv" wahre arithmetische Aussagen (dh wahr im beabsichtigten Modell), die nicht beweisbar sind. 1/2
Daher sind sie aufgrund der Vollständigkeit Th von G in einem Nicht-Standardmodell falsch. 2/2
@Allegranza: Ok, ich habe mich vertan. Kennen Sie ein einfaches und natürliches Beispiel, das die Bedingungen für den Vollständigkeitssatz von G erfüllt? Ich griff nach PA und vergaß sein einschränkendes Ergebnis.
Vollständigkeit Th, sagt, dass alle logischen Konsequenzen von Axiomen beweisbar sind und umgekehrt. Log cons von Axiomen zu sein bedeutet: wahr in allen Modellen (und nicht nur in dem beabsichtigten). Somit sind alle "üblichen" Theoreme, die aus Peanos Axiomen beweisbar sind, wie: für alle x, existiert y ( x < y) in allen Modellen (einschließlich Nicht-Standard) eindeutig wahr. Die „seltsame“ Formel von Gs Unvollständigkeit Th, die nicht beweisbar ist, muss kein logischer Widerspruch zu den Axiomen sein, dh wahr im Standard (wir „sehen“ dies durch den Beweis von Gs Th), sondern falsch in einigen Nicht-Standards einer...
@Allegranza: sicher; aber sollte man nicht alle qualifizieren , sind die Modelle manchmal kryptisch, topologisch, kategorial usw.; Für die Zwecke meiner Antwort habe ich nach einem einfachen konkreten Beispiel gesucht. Ich erinnere mich vage, dass ich auf einige gestoßen bin - passt Tarskis euklidische Ebenengeometrie auf die Rechnung?
Ja; vollständig in dem Sinne, dass es nicht dem "Unvollständigkeitsphänomen" von Gs Unvollständigkeit Th ... unterliegt. Sie können die vollständige Theorie sehen : Presburger Arithmetik (eine Teilmenge von Peanos), Tarskis Axiome für die euklidische Geometrie usw.
„Tarskis Behauptung wurde zu einer Definition“, aber Tarskis Forderung nach formaler Korrektheit und materieller Angemessenheit ist keine Definition von Wahrheit, sondern eine Bedingung, die jede Definition von Wahrheit erfüllen muss.
Gilt Tarskis Definition also nicht für natürliche Sprache, sondern nur für „wohldefinierte“ Sprachen wie Mathematik oder Computerprogrammierung?
Warum ist Tarskis semantische Wahrheitstheorie formal richtig und materiell angemessen?
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