Definition von "Beweis"

Ich habe einmal ein Buch mit logischen Rätseln gelesen und darin war eine kleine Geschichte (fiktiv) über einen Jungen, der in seinem Geometrietest eine 5 bekommen hat, weil sein Professor sagte, sein Beweis, dass alle Winkel eines Dreiecks 180 Grad ergeben, sei falsch. Der Junge konterte mit etwas wie: „Du hast für unsere Klasse alles über Parallelen, Winkel usw. definiert, aber du hast ‚Beweis‘ nicht definiert. Woher soll ich wissen, wie man etwas beweist, wenn du es nicht hast? definiert, was es bedeutet, etwas zu beweisen?".

Ich fand das sehr interessant, also habe ich die Google-Definition nachgeschlagen:

Beweise oder Argumente, die eine Tatsache oder die Wahrheit einer Aussage begründen oder dazu beitragen, diese zu begründen.

Merriam-Webster definierte es wie folgt:

a : die Stichhaltigkeit von Beweisen, die den Verstand dazu zwingen, eine Wahrheit oder Tatsache zu akzeptieren

b : der Prozess oder ein Fall der Feststellung der Gültigkeit einer Aussage, insbesondere durch Ableitung von anderen Aussagen in Übereinstimmung mit Prinzipien des Argumentierens

Warum beschäftigt sich die Mehrheit der Lehrer nicht damit, "Beweise" für eine Klasse zu definieren?

Ist es außerdem möglich zu beweisen, dass es eine bestimmte Anzahl von Möglichkeiten gibt, eine Aussage zu beweisen?

Für die zweite Frage müssen Sie zuerst definieren, wann zwei Beweise gleich sind, was nicht trivial ist.
Eine formale Definition dessen, was einen mathematischen Beweis ausmacht, würde Konzepte und Abstraktionen erfordern, die für die Grundschule oder sogar für Studenten im Grundstudium viel zu anspruchsvoll sind. Die Anwendung einer soliden, deduktiven Argumentation bei der Formulierung eines mathematischen Beweises kommt von unserer mathematischen Intuition.
Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks hängt davon ab, ob örtlich parallele Geraden überall den gleichen Abstand voneinander haben (zB bei Euklid angenommen), divergieren (hyperbolisch) oder sich kreuzen (wie auf einer Kugeloberfläche). Ohne dies zu berücksichtigen, würde der Beweisversuch zwangsläufig etwas fehlen. Aber nur unter der stillschweigenden Annahme eines euklidischen Raums hätte er etwa 2500 Jahre lang als Beweis akzeptiert und nur etwa 200 Jahre lang ( seit ~1830 ) als fehlend angesehen werden können.
[… Fortsetzung des vorherigen Kommentars] Ob ein Beweis als gültig angesehen wird, hängt also nicht nur davon ab, (1) welche Beweistechniken zu diesem Zeitpunkt als gültig angesehen werden, sondern auch davon, (2) welche Annahmen als gesicherte Tatsachen angesehen werden. Was Beweistechniken betrifft, mag ich sogenannte "Look-See"-Beweise, zB einfach das Kommutativgesetz der Multiplikation visuell zu sehen . Dies sind gültige Beweise. Leider hatten meine Studenten (am College) schon in den 1990er Jahren nicht so einfache Dinge gelernt. Ganz zu schweigen von zB dem Beweis des Satzes von Pythagora. :(
Ich denke, um das moderne Beweiskonzept wirklich zu verstehen, müsste man mit Gödels Vollständigkeitssatz beginnen (nicht mit seinen späteren Unvollständigkeitssätzen, sondern mit seinem Vollständigkeitssatz). Hier geht es darum, was durch bloß mechanische Symbolmanipulation bewiesen werden kann und wie subtilere Vorstellungen von Gültigkeit und Wahrheit darauf abgebildet werden. Aber dann gerät man in wirklich komplexe Sachen.
Eine Antwort ist, dass dem Beweis und der Strenge in der mathematischen Ausbildung (hier spreche ich als Amerikaner) beklagenswert wenig Aufmerksamkeit geschenkt wird, um Zeit damit zu "verschwenden", über die Art des Beweises zu sprechen. Es ist leicht, sich einen High-School-Lehrplan vorzustellen, der elementare Zahlentheorie, grundlegende Zähltechniken, Kombinatorik und andere unterhaltsame, zugängliche und strenge Themen umfasst, aber wir sind mehr daran interessiert, Kindern beizubringen, Regeln zu befolgen, als ihnen beizubringen, wie man denkt. Entschuldigung, dass ich politisch werde...
Ihre zweite Frage ist interessant und etwas, das ich mich immer gefragt habe. Formale Beweise eines Satzes in der Logik erster Ordnung können sich auf oberflächliche Weise voneinander unterscheiden: ZB einfach überflüssigerweise ein Axiom in der Mitte eines ansonsten gültigen Beweises zitieren. Gibt es eine Beweistheorie? Möglichkeit, oberflächliche Unterschiede von substantiellen Unterschieden zu unterscheiden? Vielleicht gibt es eine Art Metrik, die man definieren könnte, die eine Vorstellung von der Entfernung zwischen zwei Beweisen gibt. Dann könnten Sie fragen, wie viele Kugeln eines bestimmten Radius es braucht, um den Raum der Beweise abzudecken eines Satzes. Aber das ist wahrscheinlich zu phantasievoll
Eine kleine Dosis formaler Logik unter Verwendung von Computersoftware kann für Schüler sogar in der High School hilfreich sein, um zu verstehen, was ein gültiger Beweis ist. Im ersten Beispiel im Tutorial, das mit meinem eigenen Beweisprüfer geliefert wird, beweist der Student A & B => B & A in 5 Zeilen. Die Schlußregeln (in diesem Fall Prämisse, Teilung, Verbindung und Konklusion) werden aus einer Menüleiste ausgewählt. Diese Regeln basieren auf einer vereinfachten Version von FOL. Weitere Informationen, eine Videodemo und einen kostenlosen Download mit vollem Funktionsumfang finden Sie auf meiner Website unter dcproof.com

Antworten (1)

Die mathematische Logik definiert auf präzise Weise das Konzept des "formalen" Beweises , und es gibt einen Zweig des mathematischen Protokolls, der als Beweistheorie bezeichnet wird und sich dem Studium des mathematischen Objekts widmet: Beweis . [siehe zB Sara Negri & Jan von Plato, Structural Proof Theory (2001)].

Aber natürlich haben wir eine „intuitive“ Vorstellung davon, was als Beweis oder als gültiges Argument gilt, genauso wie wir eine intuitive Vorstellung davon haben, was eine natürliche Zahl (die zum Zählen verwendeten Zahlen) ist, vor jeder „ formale" Definition davon, wie die mengentheoretische Definition natürlicher Zahlen .

Und unsere Intuition darüber, was als Beweis gilt, hat sich im Laufe der Zeit mit dem Wachstum mathematischer Kenntnisse geändert.

Siehe: Yuri Manin, A Course in Mathematical Logic for Mathematicians (2010), Seite 45:

Ein Beweis wird erst nach dem sozialen Akt des „Annehmens als Beweis“ zum Beweis. Das gilt für die Mathematik genauso wie für die Physik, Linguistik oder Biologie. Die Entwicklung allgemein anerkannter Kriterien dafür, ob ein Argument ein Beweis ist, ist ein fast unberührtes Thema in der Wissenschaftsgeschichte. Das Ideal dessen, was einen mathematischen Nachweis einer „nichtoffensichtlichen Wahrheit“ ausmacht, ist jedenfalls seit Euklids Zeiten unverändert geblieben: Zu einer solchen Wahrheit müssen wir aus „offensichtlichen“ Hypothesen oder bereits bewiesenen Behauptungen mit Mitteln gelangen einer Reihe explizit beschriebener, „offensichtlich gültiger“ elementarer Schlussfolgerungen.

Somit ist die Methode der Deduktion eine Methode der Mathematik par excellence .

[...] Jeder geschriebene Beweis muss von anderen Mathematikern, manchmal von mehreren Generationen von Mathematikern, genehmigt und akzeptiert werden. In der Zwischenzeit können sowohl das Ergebnis als auch der Beweis selbst verfeinert und verbessert werden.

Die Tatsache, dass die aktuellen Kriterien für einen "akzeptablen" Beweis ziemlich "allgemein geteilt" sind, widerspricht also nicht der Tatsache, dass mathematische Beweise menschliche (und soziale) Aktivitäten sind.

Wir lernen sie in der Schule, und der "Trainingsprozess", dem wir in der Schule unterliegen, ist die Art und Weise, wie wir lernen, einen Beweis zu verstehen und zu handhaben: Aus diesem Grund kann die mathematische Ausbildung nicht einfach mit der "formellen" Definition von Beweisen beginnen , so wie wir das Zählen nicht ausgehend von der mengentheoretischen Definition der natürlichen Zahl lernen können ...

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