Welche Beziehung besteht zwischen den materiellen Konditionalen in der Logik und Konditionalen, die wir jeden Tag verwenden?

Der materielle Konditional hat in jedem Fall einen Wahrheitswert von T, es sei denn, der vorhergehende Satz ist wahr und der folgende Satz ist falsch. Dies bedeutet jedoch, dass viele Bedingungen wahr sind (wenn auch nur vage), die wir niemals im Alltag verwenden würden. Gibt es eine Analyse, die Konditionale in gewöhnlicher Sprache als eine Teilmenge materieller Konditionale abgrenzt, die Licht auf dieses Problem werfen können, oder beschränken wir uns derzeit darauf, zu sagen, dass vage wahre Aussagen wahr, aber für das tägliche Leben nutzlos sind?

Einige zeitgenössische mehrwertige Logiken werten eine Bedingung mit einem falschen Antezedens zu „Null“ aus. Die Wahl von wahr ist etwas willkürlich, aber angesichts des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte müssen Sie entweder wahr oder falsch auswählen.
Es ist jedoch seltsam, dass wir in der gewöhnlichen Sprache sagen würden, dass eine Bedingung wie „Wenn Budapest ein Viertel in London ist, dann ist Budapest in England“ wahr ist, während eine wie „Wenn Gras blau ist, dann bin ich die Mutter eines Esels“ wahr ist FALSCH. In beiden Fällen sind Antezedenz und Konsequenz beide falsch, aber die erste Bedingung ist intuitiv wahr, während die andere falsch ist. Ist dies einfach ein Fall, in dem unsere Intuition fehlerhaft ist, oder gibt es eine tiefere Trennung zwischen gewöhnlicher Sprache und Logik?
Ich denke, es ist eher eine Verwirrung darüber, was Logik ist und tut. Logik wird nicht am besten als Übersetzung für normale Sprache verstanden, sondern eher als ein formales System zum Durchdenken von Problemen, das präziser ist als normale Sprache. Aber die Genauigkeit hat ihren Preis – Bivalenz usw. müssen auf eine Weise eingeführt werden, die Informationen verliert oder uns dazu zwingt, Schlussfolgerungen zu ziehen, die noch nicht eindeutig sind.
Das macht definitiv Sinn und erklärt definitiv, warum es schwierig ist, gewöhnliche Sprache mit Logik erster Ordnung in Einklang zu bringen. Vor diesem Hintergrund, wie sollen wir gewöhnliche Sprachkonditionale und andere gewöhnliche Sprach-„Verbindungen“ analysieren, wenn wir die formale Logik nicht als Werkzeug verwenden können?
Wenn wesentlich, können Sie die if-Anweisungen anders übersetzen, z. B. als Biconditionals, oder Sie können sie als Konjunktionen übersetzen.

Antworten (2)

Ich denke, dass diese Erklärung von Stephen Cole Kleene, Mathematical Logic (1967 - Dover-Nachdruck) [Seite 10 - Fußnote 12] eine gute kurze Erläuterung der "Formalisierung" von Konditional in einer wahrheitsfunktionalen Umgebung ist:

Der gewöhnliche Sprachgebrauch erfordert sicherlich, dass „Wenn A , dann B “ wahr ist, wenn A und B beide wahr sind, und falsch, wenn A wahr, aber B falsch ist. Somit kann nur unsere Wahl für T in der dritten und vierten Zeile [der für A und B eingetragenen Wahrheitstabelle , dh den Zeilen FT und FF] in Frage gestellt werden. Aber wenn wir in diesen beiden Zeilen T zu F ändern würden, würden wir einfach ein Synonym für ∧ ["und"] bekommen; nur in der dritten Zeile, für ↔ [dh die Bi-Bedingung ]. Wenn wir nur in der vierten Zeile T in F ändern würden, würden wir die nützliche Eigenschaft unserer Implikation verlieren, dass „Wenn A, dann sind B " und " Wenn nicht B , dann nicht A " unter den gleichen Umständen wahr [...].

Die wahrheitsfunktionale Definition von propositionalen Konnektiven ist ein "Modell", das in einigen Fällen ganz gut zu unserem Gebrauch in der natürlichen Sprache "passt" (Negation, Disjunktion, Konjunktion) und in anderen Fällen nicht so gut (Konditional).

Wenn wir einen Satz A behaupten , drücken wir die Tatsache aus, dass wir ihn für wahr "beurteilen" .

Die Behauptung der Bedingung A → B bedeutet also, sie als wahr zu "beurteilen" .

Als Mathematiker (wie Frege) das wahrheitsfunktionale Konnektiv eingeführt haben, haben sie eine charakteristische Eigenschaft des Konnektivs im Sinn, nämlich die Regel des modus ponens. Mit dieser Regel behaupten wir A → B und A ; In diesem Fall "schließt" die erste Behauptung den Fall aus, wenn A wahr und B falsch ist , während die zweite Behauptung die beiden Fälle "ausschließt", in denen A falsch ist .

Somit bleibt uns nur noch eine Möglichkeit: B true , und das haben wir erwartet.

In unserem „normalen“ Sprachgebrauch setzen wir selten ein konditionales „wenn ..., dann ___“ ein, wenn wir wissen, dass der Vordersatz falsch ist; aber die "Modellierung" der mathematischen Logik passte ganz gut zur Verwendung in der gewöhnlichen Mathematik.

Der sehr wichtige "Kontext" in der Mathematik ist folgender:

Σ⊨φ ;

in diesem Fall sagen wir, dass aus Σ φ folgt . Die Bedingung, die die Beziehung von "Entailment" validiert, ist die: jede Interpretation , die (alle Sätze in) Σ erfüllt , wird auch φ erfüllen ; oder äquivalent dazu gibt es keine Interpretation derart, dass alle Σ wahr sind und φ falsch ist .

Dieser „Kontext“ wird üblicherweise verwendet, wenn wir behaupten, dass ein Satz ( φ ) aus einer Menge Σ von Sätzen folgt , zB den Axiomen einer Theorie.

Wenn Σ={σ} , haben wir aus σ⊨φ : ⊨σ→φ .

Dieses Ergebnis stellt eine strikte Verbindung zwischen dem Konditional (→) und der Folgerungsrelation ( ⊨) her. Die beiden sind unterschiedliche Relationen, aber die obige Verbindung zwischen ihnen ist so nützlich, dass wir die „nicht perfekte“ Anpassung des Konditionals an unsere natürlichen Sprachgewohnheiten „akzeptieren“.

Danke erstmal für die Antwort. Ich verstehe einige der Vorteile der besonderen Wahrheitstabelle, die der materielle Konditional hat, aber ich interessiere mich mehr für die Beziehung zwischen dem materiellen Konditional und den Konditionalen der gewöhnlichen Sprache. Ich denke, was Sie erreichen wollen, ist, dass der materielle Konditional, obwohl er eine Ähnlichkeit mit gewöhnlichen Sprachkonditionalen hat, für ganz andere Zwecke geschaffen wurde als die, für die der gewöhnliche Sprachkonditional geschaffen wurde. Aber wenn die Logik keinen Einblick in gewöhnliche Sprachbedingungen geben kann, was dann?
@leibnewtz - es gibt viele Diskussionen in der analytischen Philosophie über natürliche Sprache; Mein Standpunkt ist: Natürliche Sprache ist nicht "logisch reglementiert". Wenn wir in natürlicher Sprache "oder" verwenden, ist es exklusiv oder inklusive ? Beides: es kommt auf den Kontext an; für mathematische Verwendungen brauchen wir "Präzision"; somit haben wir vel und aut "getrennt" .
Was bedeutet das in diesem Zitat „nur in der dritten Zeile für ‚nicht‘“?
@barlop - die übliche Wahrheitstabelle für → : TT ​​ist T; TF ist F; FT ist T; FF ist T.
@MauroALLEGRANZA so ist die dritte Zeile F-T is Tund wenn wir nur in die dritte Zeile wechseln, bekommen wir "not" is T. is FNicht was?
@MauroALLEGRANZA im Fall von A->A sind die einzigen nicht widersprüchlichen Zeilen der Wahrheitstabelle T->T und F->F. Um also zu diskutieren, das Ergebnis der dritten Zeile in zu ändern, noch bevor Sie sich das Ergebnis F->T is Tansehen is Fund das Ergebnis zu ändern, ist es eine widersprüchliche Linie. Es ist also höchstens das Hinzufügen eines Widerspruchs in die bereits widersprüchliche Zeile.
@barlop - Entschuldigung; das war ein Druckfehler...
@MauroALLEGRANZA Danke, dass du das korrigiert hast. Außerdem schlagen Sie vor, dass Sie im Fall der "vierten Zeile" F,F is Tanzudeuten scheinen, dass das Kontrapositiv nicht mehr wahr ist, wenn Sie das T in F umwandeln. Ich stimme meiner intuitiven Logik zu, dass A->B also ¬B->¬A, aber ich verstehe nicht, wie das von A->B abgeleitet wird. insbesondere wie ¬B->¬A abgeleitet werden kann, wenn die F,F-Linie von A->B wahr ergibt, aber nicht abgeleitet werden kann, wenn die F,F-Linie von A->B falsch ist.
@MauroALLEGRANZA Wenn wir versuchen, das Kontrapositiv ¬B->¬A in die A->B-Wahrheitstabelle einzufügen, würden wir ¬B=True und ¬A=True sagen und wir würden es in Zeile 1 T ersetzen, T ist T. Ich glaube, ich verstehe. Also, wenn die Permutation von ¬B=True ¬A=True zu True führt. für X->YX=¬BY=¬A (wie es der Fall ist). Dann Also auch B=Falsch A=Falsch X=BY=A, X->Y muss auch für diesen Fall wahr sein? Ich bin mir aber nicht sicher? Wie würde das Kontrapositiv normalerweise abgeleitet werden?
@barlop - überprüfen Sie es auf Papier ... mit einem tt für A, B in der Reihenfolge: TT, TF; FT; FF; die entsprechenden Werte für ¬B, ¬A sind: FF, TF; FT; TT; und das Ergebnis ändert sich nicht.

Aus dem täglichen Gebrauch haben wir:

  1. Wenn wir annehmen, dass A wahr ist, und ohne irgendwelche anderen Annahmen zu treffen, können wir folgern, dass B auch wahr sein muss, dann können wir folgern, dass A impliziert, dass B wahr ist. Es kann dazwischenliegende Räumlichkeiten geben, die entladen und deaktiviert wurden. (Die Abschlussregel)

  2. Wenn wir annehmen, dass A wahr ist und wir ohne weitere Annahmen einen Widerspruch erhalten können, dann muss A falsch sein. Auch hier kann es zwischengeschaltete Räumlichkeiten geben, die entladen und deaktiviert wurden. (Die indirekte Schlussregel)

Unter Verwendung dieser Regeln aus dem täglichen Gebrauch können wir beweisen, dass wir für alle logischen Wahr-oder-Falsch-Aussagen A und B haben: A ist wahr impliziert, dass A falsch ist, impliziert, dass B wahr ist. (A => [~A => B])

Nachweisen:

  1. Seien A und B logische Wahr-oder-Falsch-Sätze. (Es gilt das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte)

  2. Prämisse: Angenommen, A ist wahr.

  3. Prämisse: Angenommen, A ist falsch. (Annahmen müssen nicht konsistent sein.)

  4. Prämisse: Angenommen B ist falsch.

  5. Wenn wir (2) und (3) verbinden, erhalten wir den Widerspruch A ist wahr und A ist falsch.

  6. Unter Anwendung der indirekten Schlussregel muss (4) falsch sein, dh B muss wahr sein.

  7. Wendet man die Konklusionsregel für (2) und (6) an, impliziert A, dass B wahr sein muss. (Die Prämisse auf Linie 4 wurde entladen und deaktiviert.)

  8. Wenn wir die Konklusionsregel noch einmal auf (1) und (6) anwenden, erhalten wir wie gefordert, dass A wahr impliziert, dass A falsch impliziert, dass B wahr ist. (Prämisse auf Zeile 3 wurde entladen und deaktiviert.) ( A => [~A => B] )

Aus einer Lüge folgen alle Dinge.

Weitere Details in meinem Blogbeitrag Material Implication: If Pigs Could Fly .

Dan

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