Teilformeln des WFF (∀x) ((∀y) ((x ∈ y) ∨ (y ∈ x )))

Sie können dafür einen Parse-Baum verwenden. Zuerst zeichnen Sie den Parse-Baum, dann ziehen Sie Kästchen um Teilbäume.

Und Sie sehen, dass Sie Recht hatten.

Beachten Sie zum Beispiel, dass ∀y ∀x (x ∈ y ∨ y ∈ x) einer Unterformel (nämlich der gesamten Formel) entspricht , aber keine Unterformel selbst, da sie nicht im Analysebaum existiert. Sie müssen die Struktur ändern, um zu diesem Formular zu gelangen.

Auf Anfrage hier ein komplettes LaTeX-Beispiel zum Generieren des Bildes rechts:

\documentclass[11pt,border=10pt]{standalone}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}[every node/.style={draw,circle}]
    \node (ax) {$\forall x$}
        child{ node (ay) {$\forall y$} 
            child { node (or) {$\lor$} 
                child { node (xy) {$x\in y$} }
                child { node (yx) {$y\in x$} }
            }
        };
    \draw[red] ($(xy.south west)-(0.3,0.3)$) rectangle ($(xy.north east) + (0.3,0.3)$);
    \draw[red] ($(yx.south west)-(0.3,0.3)$) rectangle ($(yx.north east) + (0.3,0.3)$);
    \draw[red] ($(xy.south west)-(0.4,0.4)$) rectangle ($(yx.north east |- or.north east) + (0.4,0.3)$);
    \draw[red] ($(xy.south west)-(0.5,0.5)$) rectangle ($(yx.north east |- ay.north east) + (0.5,0.3)$);
    \draw[red] ($(xy.south west)-(0.6,0.6)$) rectangle ($(yx.north east |- ax.north east) + (0.6,0.3)$);
\end{tikzpicture}

\end{document}

Im Allgemeinen sind die Unterformeln von Φ diejenigen Formeln, die bei der Konstruktion von Φ verwendet werden. Sie können die Konstruktion von Φ als Baum sehen, und jede Formel in diesem Baum ist eine Unterformel des resultierenden Baumstamms (vielleicht ist dies intuitiver als die rekursive formale Definition, die Sie im Buch sehen).

Eine informelle Möglichkeit, Ihre Formel zu konstruieren und zu zeigen, ist wohlgeformt, indem Sie die Sammlung von Formeln der Mengenlehre verwenden, die in Weiss 'Buch definiert sind:

1. (x ∈ y) ist ein wff nach Regel 1
2. (y ∈ x ) ist ein wff nach Regel 1
3. (x ∈ y) ∨ (y ∈ x ) ist ein wff nach Regel 4
4. (∀y) ((x ∈ y) ∨ (y ∈ x )) ist ein wff nach Regel 7
5. (∀x) ((∀y) ((x ∈ y) ∨ (y ∈ x ))) ist ein wff nach Regel 7

Und da hast du die Teilformeln.

Stimmt, dass (∀x) ((x ∈ y) ∨ (y ∈ x )) ein wff ist, sieht man das an Regel 7:

7. Wenn Φ eine Formel und vi eine Variable ist, dann ist (∀vi)Φ auch eine Formel.

Wenn also ((x ∈ y) ∨ (y ∈ x )) eine Formel und x eine Variable ist, dann ist (∀x) ((x ∈ y) ∨ (y ∈ x )) auch eine Formel.

Allerdings ist (∀x) ((x ∈ y) ∨ (y ∈ x )) keine Teilformel Ihrer ursprünglichen Formel, da sie nicht zu ihrer Konstruktion verwendet wird. Dasselbe gilt für den anderen von Ihnen erwähnten Fall.