Was ist ein Satz? (Ist es möglich, eine Menge zu definieren?)

Ich habe kürzlich die Mengenlehre aus einigen einführenden Lehrbüchern (wie Steinharts „More Precisely“ oder Open Logic Projects „Sets, Logic, Computation“) studiert. Ich interessiere mich für den Begriff einer Menge.

In Lehrbüchern zur Mengentheorie lautet die Antwort normalerweise "Eine Menge ist eine Sammlung von Objekten" oder etwas in dieser Richtung. Das Problem liegt bei der leeren Menge. Sicherlich ist es eine Menge, aber es hat keine Mitglieder, dh es ist keine Sammlung von Objekten. Die Aussage, dass eine Menge eine Sammlung von Objekten ist, muss also nur eine Kurzform sein, um dem Laien den Begriff einer Menge zu erklären, aber es kann technisch nicht präzise sein. Aber was ist die technischere Definition einer Menge? Vielleicht werden Mengen innerhalb der Theorie einfach als primitiv angenommen und können daher nicht definiert werden. In diesem Fall kann die Frage allgemeiner gestellt werden: Was ist eine Menge ?

Vielleicht kann mir jemand relevante Literatur zu diesem Thema nennen?

Können wir es so definieren: „Eine Menge ist eine Sammlung, die beim rationalen Denken hilft. Die Sammlung kann alles sein, einschließlich Objekte.“ ? Können die Verwendungen – „rationales Denken“ und „irgendetwas“ – den Zugang zum Nullsatz verweigern?
Das Problem mit "eine Menge ist eine Sammlung von Objekten" ist nicht die leere Menge, sondern dass "Sammlung" ein Synonym ist, also als Definition gelesen wird, ist dies ein Zirkelschluss. Die Bedeutung von "Menge" oder "Sammlung" wird eher durch Manipulationen festgelegt, die wir mit ihnen und Sätzen machen können, in denen wir sie verwenden können, und die Skizze davon wird in Axiome der Mengentheorie(n) destilliert. Die Antwort ist also, dass es keine Definition von "Menge" gibt, es kann keine Definition von "Menge" geben, und "Menge" ist das, was die Axiome oder ihre intuitiven Gegenstücke beschreiben. Alternativ kann man alternative primitive Begriffe wählen und "Menge" in diesen Begriffen definieren.
Vielleicht hilft es, Mengen mit Zahlen zu vergleichen und zu fragen, ob Null wirklich eine Zahl ist. Wenn ich sage, ich habe eine Menge Münzen in der Tasche, und Sie fragen: "Wie viele?" und ich sagte, ich habe keine Münzen, aber Null ist eine Zahl, würden Sie zu Recht denken, ich würde mich mit Ihnen anlegen. Aber zumindest ist es bequem, Null als Zahl zu behandeln, und es ist bequem, die leere Menge als Menge zu behandeln. Mengen und Zahlen können rekursiv konstruiert werden, und die Operationen darauf erfordern, dass sich { } und 0 qualifizieren. Vielleicht könnte man sie sich als degenerierte Fälle vorstellen.
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Ein „Satz“ ist eine Gruppe von Partien im Tennis.

Antworten (4)

Wir können das Problem bezüglich der Definition von Menge mit Geometrie vergleichen.

Euklids Elemente beginnen mit fünf Definitionen :

  1. Ein Punkt ist das, was keinen Teil hat.

  2. Eine Linie ist endlose Länge. [...]

  3. Eine Fläche ist das, was nur Länge und Breite hat.

Sie können beim Erfassen der Grundkonzepte eine gewisse Hilfe sein, aber kaum als wirkliche Definitionen aufgefasst werden.

1899 veröffentlichte David Hilbert sein bahnbrechendes Buch über die Axiomatisierung der Geometrie: Grundlagen der Geometrie , basierend auf früheren Vorlesungen. Dies sind die ersten Absätze (Seite 3):

Betrachten wir drei unterschiedliche Systeme von Dingen. Die Dinge, die das erste System bilden, werden wir Punkte nennen und sie mit den Buchstaben A, B, C, ... bezeichnen ; die der zweiten nennen wir gerade Linien und bezeichnen sie mit den Buchstaben a, b, c, ... ; und die des dritten Systems werden wir Ebenen nennen und sie mit den griechischen Buchstaben alpha, beta, gamma bezeichnen . [...]

Wir denken uns, dass diese Punkte, geraden Linien und Ebenen gewisse gegenseitige Beziehungen haben, die wir durch Worte wie „liegen“, „zwischen“, „parallel“, „kongruent“, „kontinuierlich“ usw. bezeichnen eine vollständige und genaue Beschreibung dieser Beziehungen folgt als Folge der Axiome der Geometrie .

Hilberts Arbeit über die Grundlagen der Mathematik und Logik wurde Formalismus genannt und ist immer noch die vorherrschende philosophische Sichtweise unter "arbeitenden" Mathematikern.

Für set können wir Georg Cantors ausgereifte Definition von set in " Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre ", Mathematische Annalen (1895-97, Engl.transl.1915 - Dover reprint), §1, Seite 85 betrachten:

Unter einem „Aggregat“ ( Menge ) ist jede Sammlung zu einem Ganzen ( Zusammenfassung su einem Ganzen ) M von bestimmten und getrennten Objekten m unserer Intuition oder unseres Denkens zu verstehen . Diese Objekte werden die "Elemente" von M genannt .

Vergleichen Sie es mit einem modernen Lehrbuch zur Mengenlehre: Nicolas Bourbaki, Elements of Mathematics: Theory of sets (1968 - 1. französische Ausgabe: 1939-57), Seite 65:

Von einem "naiven" Standpunkt aus können viele mathematische Entitäten als Sammlungen oder "Sätze" von Objekten betrachtet werden. Wir versuchen nicht, diesen Begriff zu formalisieren, und in der formalistischen Interpretation des Folgenden ist das Wort „Menge“ als streng synonym mit „Begriff“ zu betrachten. Insbesondere Formulierungen wie „$X$ sei eine Menge“ sind im Prinzip überflüssig, da jeder Buchstabe ein Begriff ist. Solche Ausdrücke werden nur eingeführt, um die intuitive Interpretation des Textes zu unterstützen.

Aus mathematischer Sicht sind Punkte und Linien also „Dinge“, die den Axiomen der Geometrie genügen ; ebenso sind Mengen „Objekte“, die die Axiome der Mengenlehre erfüllen .

Selbst wenn eine Definition des Mengenbegriffs "innerhalb" der Mengentheorie unmöglich ist, können wir natürlich immer noch versuchen, den Mengenbegriff aus philosophischer Perspektive zu erläutern.

Siehe z. B. Paul Benacerraf & Hilary Putnam (Herausgeber), Philosophy of Mathematics: Selected Readings , (2. Auflage: 1983), Teil IV. Das Set-Konzept .

Eine aktuelle Arbeitsdefinition von Set wird von den Zermelo-Fraenkel-Axiomen bereitgestellt , normalerweise mit dem Axiom of Choice.

Es gibt viele Debatten darüber, ob diese Axiome alles über Mengen (sowohl spezifisch für die Mengentheorie als auch allgemein in Bezug auf mathematische Vollständigkeit) erfassen und darüber, ob einige Axiome notwendig oder richtig sind, aber Beweise mit ZFC werden allgemein akzeptiert.

Es gibt satztheoretische Systeme jenseits von ZF und ZFC wie NBG , oder?

Ich würde die Vorstellung zurückdrängen, dass eine leere Menge keine Sammlung von Objekten sein kann, weil sie keine Elemente enthält. Das ist so, als würde man sagen, dass eine Kommode keine Kommode mehr ist, wenn nichts drin ist. Abgesehen davon ist es für uns technisch und formal wirklich notwendig, den Begriff einer leeren Menge zu haben, denn:

  1. Wir wollen, dass die Schnittmenge zweier Mengen immer eine Menge ist. Für zwei beliebige Mengen A, B möchten wir, dass ihre Schnittmenge A ⋂ B ebenfalls eine Menge ist. Damit dies auch dann gilt, wenn A, B keine gemeinsamen Elemente haben, müssen wir eine Menge ohne Elemente – eine leere Menge – als eine gültige Menge betrachten.

  2. Wir wollen hypothetische Eigenschaften verwenden, um Mengen zu definieren. Zum Beispiel bin ich es gewohnt, an die "Lösungsmenge" einer Gleichung als die Menge aller Werte zu denken, die die Gleichung wahr machen. Wenn ich nach allen reellen Lösungen der Gleichung x = x + 1 frage, gibt es keine Zahlen, die diese Gleichung wahr machen. Aber wir müssen die Menge {x: p(x) = q(x)} immer noch als Menge betrachten, selbst wenn es passiert, dass p(x) =/= q(x) für jedes x ist. Im Allgemeinen bedeutet das Axiomschema des Verstehens, dass ich in der Lage sein sollte, zu einer gegebenen Menge A eine Teilmenge B ⊆ A aufzuweisen, wobei B die Menge aller Elemente von A mit einer bestimmten Eigenschaft ist . Ich brauche B, um eine Menge zu sein, auch wenn es keine Elemente von A mit dieser Eigenschaft gibt.

"Das ist, als würde man sagen, dass eine Kommode keine Kommode mehr ist, wenn nichts drin ist." Andererseits kann sich die leere Menge als mathematisches Objekt nicht ändern und plötzlich Elemente enthalten. Es ist zwangsläufig leer. Die leere Einfügungsnotation zu nehmen und damit ein anderes Element zu umkreisen, entscheidet den Fall ansonsten keineswegs ganz, da die leere Notation nicht die leere Menge selbst ist, oder?
@KristianBerry Ich weiß nicht, was daran seltsam wäre, dass es nach dem Hinzufügen von Elementen zum leeren Set nicht mehr das leere Set ist. Jedes Set wird zu einem anderen Set, sobald Sie ihm weitere Elemente hinzufügen. Dies ist keine eindeutige Eigenschaft der leeren Menge.
Ja, aber Sie fügen nicht wirklich Elemente ein. Im besten Fall würden Sie, wie beim Schreiben von {} und dann {{}}, nur die leere Menge in sich selbst stecken. Aber ansonsten, gemäß dem Platonismus der Mengentheorie, nein, die leere Menge ändert sich nie wirklich, daher wird nie etwas in sie eingefügt.
"Die leere Menge ändert sich eigentlich nie" OK, und nach der gleichen Logik auch keine andere Menge. Jede Menge ist durch ihre Elemente vollständig spezifiziert. Worauf willst du hinaus?
Mein Punkt ist, dass die Beschreibung der leeren Menge in natürlicher Sprache seltsam ist. Vielleicht nicht falsch, aber seltsam und vielleicht absurd ... Ich bekräftige die Intuition hinter der Frage, auf die wir oben geantwortet haben.
@KristianBerry Ich stimme bis zu einem gewissen Grad zu, dass "die Beschreibung der leeren Menge in natürlicher Sprache seltsam ist" und für einen Anfänger nicht intuitiv ist. Aber soweit ich dem zustimme, halte ich das eher für ein Artefakt unserer natürlichen Sprache als für die intrinsische Verrücktheit der leeren Menge.
@KristianBerry Stellen Sie sich zum Beispiel eine alternative Geschichte der Mathematik vor, in der wir anstelle des Wortes "Set" den Begriff "konzeptionelles Gefäß" verwenden, um uns auf dasselbe Konzept zu beziehen (was übrigens urkomisch wäre: Stellen Sie sich vor, wenn Mathematiker dies ständig tun müssten verwenden Sie Jargon wie "Euklid hat bewiesen, dass das konzeptionelle Gefäß aller Primzahlen unendlich ist" ). Hätten wir „Mengen“ stattdessen „begriffliche Gefäße“ genannt, wäre niemand überrascht, dass „begriffliche Gefäße“ leer sein könnten. Ein "leeres Set" klingt meistens komisch, weil wir uns entschieden haben, diese Dinge überhaupt "Sets" zu nennen.
;) Nicht unbedingt amüsanter als das Gerede von Mäusen in der Mengenlehre, aber ansonsten stimme ich voll und ganz zu. (Übrigens habe ich immer noch keine Ahnung, was Mäuse sind.)

Eine Menge ist etwas, das Elemente haben kann. Nun ist die angeblich leere Menge notwendigerweise leer, dh nichts kann ein Element davon sein, denn sie ist ein ewiges, abstraktes Objekt (nehmen wir an), und diese ändern sich nicht. Da die leere Menge keine Menge von irgendetwas sein kann, kann sie nur eine Menge von nichts sein. Aber wenn es keine Menge von irgendetwas sein kann, ist es dann wirklich eine Menge? Ich würde behaupten, nein, ist es nicht. Wenn ich zum Beispiel einen Würfel habe, der jedes Mal, wenn ich versuche, ein Objekt hineinzustecken, automatisch Objekte aus sich herausschiebt, würde ich diesen Würfel dann zu Recht als Box oder eher als Teufelswürfel bezeichnen? Vielleicht hat eine unbewusste Wertschätzung dieses Details Peano dazu veranlasst, die natürlichen Ordinalzahlen ursprünglich bei 1 und nicht bei 0 zu beginnen.

(Am Rande würde ich sogar argumentieren, dass 0 nicht leer ist, sondern sich selbst enthält und nicht vom Rest des Mengenuniversums enthalten ist, sondern aufgrund der seltsamen arithmetischen Ergebnisse, die aus verschiedenen nicht fundierten Ausdrücken stammen, "unter Quarantäne gestellt" wird it. Aber das ist eine Tangente.)

Enthält die leere Menge nicht sich selbst? Enthält daher ein Unterbereich eines Volumens nicht intuitiv einen kleineren Unterbereich, der selbst leer ist?
Die leere Menge enthält sich selbst nicht. { } ist nicht dasselbe wie { ∅ }. Tatsächlich ist bei von Neumann-Ordnungszahlen { } die Zahl 0 und { ∅ } die Zahl 1.
Die Null von Zermelo (oder von Neumann) enthält sich selbst nicht, aber wenn es eine echte Null neben ihrer gibt, enthält sie sich vielleicht selbst ... Und wir sind noch nicht einmal bei Conways surrealer Null angelangt, die zwar immer noch leer ist, aber auf surreale Weise.
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