Das Axiom of Choice (AoC) in der Mengenlehre führt bekanntermaßen zu kontroversen und kontraintuitiven Theoremen. (Beispiele: Banach-Tarski-Paradoxon und Existenz nicht messbarer Mengen .)
Ich kenne einige der Sätze, die von AoC abhängen: Alle Vektorräume haben eine Hamel-Basis, alle Körper haben einen algebraischen Abschluss, jede Menge kann wohlgeordnet werden.
Meine Frage ist, warum wird AoC allgemein akzeptiert/verwendet und nicht abgelehnt/ausgeschlossen?
Die Ergebnisse, die von AoC abhängen, auf die ich gestoßen bin, scheinen nicht wie „notwendige Wahrheiten“ zu sein. Wenn die Axiome der Mengenlehre nicht beweisen könnten, dass 2 + 2 = 4 ist, würden wir uns wohl alle einig sein, dass sie nicht ausreichten, um die Essenz der mathematischen Wahrheit zu erfassen; aber wenn sie nicht beweisen konnten, dass Vektorräume beliebiger Dimension eine Hamel-Basis haben müssen ... scheint das meine Intuition nicht zu verletzen.
Auf der anderen Seite erfordern die "Probleme", die durch AoC entstehen (wie nicht messbare Sets), viel Gepäck und extreme Sorgfalt, um richtig zu zähmen (zumindest in der Maßtheorie, wo, um Sets Größen zuzuweisen, man muss Sigma-Algebren definieren und die gesamte Theorie um sie herum formulieren). Wenn wir AoC ablehnen würden, würde das Banach-Tarski-Paradoxon nicht entstehen und wir müssten uns keine Sorgen um Sigma-Algebren machen, weil wir nicht-messbare Mengen überhaupt nicht konstruieren könnten. Und wir würden nur einige Ergebnisse verlieren, die nicht unbedingt oder intuitiv wahr erscheinen? Ich bin nur neugierig, die andere Seite dieses Arguments zu hören.
Aus philosophischer Sicht wird viel sowohl für als auch gegen AC geschrieben - zB dafür siehe Penelope Maddy's Bleib an den Axiomen .
Es gibt jedoch auch alltäglichere Probleme. Ich denke, ob es ideal ist oder nicht, ein entscheidender Punkt hier ist die Benutzerfreundlichkeit .
Eine Antwort wie diese mag bei Philosophy .stackexchange zweifelhaft angemessen erscheinen, aber ich denke, sie ist ein wichtiger Teil des Bildes - und jede Philosophie der Mathematik, die die tatsächliche mathematische Praxis nicht berücksichtigt, ist meiner Meinung nach grundsätzlich unvollständig.
Erstens denke ich, dass es einfacher ist, eine implizite Verwendung von Zahmheitsannahmen (wie „jede Menge ist messbar“) zu erkennen, als eine implizite Verwendung von Wahlmöglichkeiten. (Dies gilt insbesondere, weil es Zahmheitsannahmen gibt, die insgeheim Anwendungen der Wahl sind, wie "jeder Vektorraum hat eine Basis"). Das bedeutet, dass das Hinzufügen von AC als Axiom zu ZF es wesentlich einfacher macht, einen Beweis in natürlicher Sprache (d. h. einen Beweis, wie er von menschlichen Mathematikern geschrieben wurde, im Gegensatz zu einem vollständig formalisierten Beweis) als gültig anzuerkennen (= das zu demonstrieren). das fragliche Prinzip ist eigentlich eine Folge unserer Axiome).
Das heißt, es gibt einen Unterschied zwischen dem Verbessern von Beweisen und dem Verbessern von Ergebnissen . Selbst wenn wir akzeptieren, dass die Wahl mehr zu unerwünschten Konsequenzen führt als ihre Verneinung (was ich nicht kaufe), spricht dies nicht die Frage an, ob „Beweisen in ZFC“ eine einfachere/natürlichere Aufgabe ist als „Beweisen in ZF" oder "Prüfung in ZF + [Zahmheitseigenschaft]."
Als konkretes Beispiel dafür, wie schwierig Theorien zu „zähmenden“ Negationen von AC sein können, betrachten wir die gebräuchlichste AC-Alternative: Determination und ihre Varianten. Einerseits beweist die Bestimmtheit, dass jede Menge von reellen Zahlen messbar ist, die Baire- und perfekte Mengeneigenschaften hat usw., obwohl diese Beweise nicht trivial sind. Andererseits ist die Begründung für Bestimmtheit überraschend brüchig: „Jedes Spiel hat eine Gewinnstrategie“ verkennt die Tatsache, dass es auf die Zugfolge grundsätzlich ankommt – Bestimmtheit für Partien auf den zählbaren Ordnungszahlen ist geradezu unvereinbar mit ZF!
Um also tatsächlich Zahmheit aus Determiniertheit zu bekommen, müssen wir etwas Arbeit darauf verwenden, zu lernen, wie man Determiniertheit verwendet (was meiner Meinung nach viel schwieriger ist, als zu lernen, wie man Wahlmöglichkeiten nutzt); Inzwischen ist die Wahl ein viel "globaleres" Axiom, und die naive Rechtfertigung für die Wahl ist im Gegensatz zu der für die Bestimmtheit nicht wirklich irreführend.
Beachten Sie, dass dies eine andere Frage ist als die Frage, ob AC wahr ist (was auch immer das bedeutet) , aber ich denke, wir können pragmatische Bedenken beim Studium der mathematischen Praxis nicht ignorieren.
Um nun auf den kursiv gedruckten dritten Absatz oben zurückzukommen, ist eine wichtige Frage an dieser Stelle (insbesondere für diese Seite), ob wir aus diesem pragmatischen Anliegen ein tatsächliches philosophisches Argument oder eine tatsächliche Beobachtung ableiten können.
Ich denke, in diesem Fall können wir das tatsächlich. Wenn wir die Wahl mit der Begründung ablehnen, dass sie die Existenz „pathologischer“ Objekte impliziert, gehen wir implizit davon aus, dass mathematische Objekte fundamentaler sind als mathematische Beweise, und ich denke, das ist nicht gerechtfertigt.
Darüber hinaus ist der von Ihnen erhobene Einwand gegen die Wahl im Endeffekt auch sehr pragmatisch, zumindest bis wir eine weitere Begründung gegeben haben: Warum sollte zB aus platonischer Sicht pathologisches Verhalten Nichtexistenz implizieren?
Für das, was es wert ist, gibt es einen genauen Sinn, in dem das Problem der AC die "konkrete" Mathematik nicht beeinflusst.
Der Absolutheitssatz von Shoenfield besagt, dass jede Pi^1_2-Aussage, die in M wahr ist, in N wahr ist, wenn M und N Modelle von ZF mit denselben Ordnungszahlen sind. Das ist ein bisschen technisch, aber die wichtigsten Punkte sind:
Im Grunde ist jedes konkrete mathematische Prinzip Pi^1_2 (oder sogar viel einfacher).
Gödel zeigte, dass es für jedes Modell M von ZF ein weiteres Modell L^M mit denselben Ordnungszahlen gibt, sodass L^M ein Modell von ZFC ist.
Als Konsequenz (über den Vollständigkeitssatz ) ist jeder Pi^1_2-Satz von ZFC ein Satz von ZF, und somit ist im Grunde jedes konkrete mathematische Prinzip, das ZFC-beweisbar ist, auch ZF-beweisbar. Ebenso wirkt sich die Kontinuumshypothese nicht auf die Pi^1_2-Prinzipien aus.
Konifold
Benutzer6559
Noah Schweber
Benutzer253751