Schaffen Gödels Unvollständigkeitssätze einen Widerspruch/Paradoxon?

Die kurze Antwort ist, dass Gödels Unvollständigkeitstheoreme nicht widersprüchlich sind, und wohl auch nicht paradox, außer insofern, als sie unsere vorgefassten Meinungen über Beweisbarkeit und Axiomatisierbarkeit erschüttern. Sie drücken wichtige Einschränkungen dessen aus, was in formalen Systemen bewiesen werden kann.

Eine längere Antwort ist, dass sich Gödels Unvollständigkeitssätze mit formalen Systemen befassen, die in der Lage sind, Arithmetik zu interpretieren und formale Beziehungen der Beweisbarkeit oder Ableitbarkeit auszudrücken. Sie verwenden die folgenden Konzepte:

• Eine Theorie erster Ordnung ist eine Reihe von Sätzen, die typischerweise in einer formalen Sprache ausgedrückt werden.
• Eine Theorie ist konsistent , wenn für jeden Satz Φ, Φ und ¬Φ nicht beide beweisbar sind.
• Eine Theorie ist negationsvollständig , wenn für jeden Satz Φ entweder Φ oder ¬Φ beweisbar ist.
• Eine Theorie ist (rekursiv) axiomatisierbar , wenn es eine entscheidbare Teilmenge namens Axiommenge gibt, so dass alle Sätze der Theorie aus dieser Axiommenge bewiesen werden können. Dies ist logisch äquivalent zu der Eigenschaft, dass eine Theorie berechenbar aufzählbar oder halbentscheidbar ist.

Gödels erster Unvollständigkeitssatz kann dann so ausgedrückt werden, dass keine Theorie alle der folgenden Eigenschaften haben kann:

1. Konsistent.
2. Verneinung abgeschlossen.
3. Rekursiv axiomatisierbar.
4. Ausreichend stark, um Arithmetik zu interpretieren, insbesondere mindestens so stark wie Robinson-Arithmetik (Q).

Sie können alle drei der vier haben, aber nicht alle vier.

Das Ergebnis erscheint paradox, weil es zu implizieren scheint, dass es Aussagen gibt, die zwar wahr, aber nicht beweisbar sind. Wie Sie dieses Ergebnis interpretieren, hängt von Ihrem bevorzugten Verständnis der Philosophie der Mathematik ab, und davon gibt es mindestens ein Dutzend. Gödel selbst war mathematischer Platoniker und verstand sein Ergebnis tatsächlich als Beweis dafür, dass es in der Arithmetik Aussagen gibt, die zwar wahr, aber nicht beweisbar sind. Wir könnten eine semantische Theorie wie die Modelltheorie einsetzen, um uns zu erlauben, darüber zu sprechen, was „wahr“ ist. Unter Verwendung der Modelltheorie könnten wir sagen, dass es arithmetische Sätze gibt, die in der Standardinterpretation wahr sindaber unbeweisbar. Alternativ könnten wir uns damit begnügen zu sagen, dass unser Verständnis von Arithmetik nicht axiomatisierbar ist. Oder wir könnten behaupten, dass die formale Version der Ableitbarkeit, die in Gödels Beweis verwendet wird, hinter dem zurückbleibt, was im weiteren Sinne beweisbar oder nachweisbar ist. Oder wir könnten sogar die Logik, die Gödels Ergebnis zugrunde liegt, ablehnen, wie es die Intuitionisten tun, und das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten über Bord werfen.

Obwohl es unterschiedliche Darstellungen der Implikationen gibt, wurden die Theoreme selbst streng bewiesen und von Tausenden kompetenter Mathematiker überprüft und werden nicht bestritten, außer von Spinnern. Entsprechende Ergebnisse gibt es auch in der Berechenbarkeitstheorie und in der Modallogik.

Gödels (erstes) Unvollständigkeitstheorem besagt definitiv, dass, wenn die üblichen Axiome für die Zahlentheorie konsistent sind (was allgemein angenommen wird), es in diesem System mit Sicherheit wahre Aussagen gibt, die nicht bewiesen werden können. So viel hängt nicht von irgendjemandes Interpretation des Ergebnisses oder irgendjemandes bevorzugtem Verständnis der Philosophie der Mathematik ab.

Gödel zeigte, dass es in Axiomensystemen, die stark genug sind, um grundlegende Arithmetik auszudrücken, eine gültige Aussage P gibt, so dass P bedeutet "Es gibt keinen Beweis für mich".

Nehmen wir nun an, eine solche Aussage wäre falsch. Das würde bedeuten, dass es einen Beweis dafür gibt. Aber in diesem Fall ist die Aussage wahr. In einem konsistenten System können wir keine Aussage haben, die sowohl wahr als auch falsch ist. Damit haben wir gezeigt, dass die Aussage unter Annahme eines konsistenten Systems nicht falsch sein kann. Das lässt nur die Möglichkeit, dass es wahr ist, und somit ist P eine Aussage, die sowohl wahr als auch unbeweisbar ist.

Beachten Sie jedoch, dass wir Meta-Argumentation verwendet haben , um zu dieser Schlussfolgerung zu gelangen, sodass wir sie innerhalb des diskutierten Systems nicht als wahr bewiesen haben.