Was trennt Mathematik von Logik? Können "mathematische" Operationen auf logische Systeme angewendet werden?

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Beide Disziplinen verwenden Symbole auf eine wahrheitszentrierte, regelbasierte sinnvolle Weise, aber die Mathematik baut auf Logik auf und ist kontextbezogener und behandelt Themen wie bekannte und unbekannte Größen, Länge, Fläche, Volumen, Richtung und Position sowie Formen und deren Transformationen. Selbst einfache Arithmetik zum Beispiel neigt dazu, auf logischen Theoremen „aufgebaut“ zu sein.

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Das ist keine Kleinigkeit. Was Sie danach fragen, ist: "Was ist die Natur der Schnittmenge von Logik und Mathematik?" Die vielleicht berühmteste Person, die diese Frage stellt, ist Gottlob Frege . Diese Frage bezieht sich sowohl auf die Philosophie der Mathematik als auch auf die Grundlagen der Mathematik . Ist dies ein weiteres Abgrenzungsproblem wie das, das der Abgrenzung und Verallgemeinerung wissenschaftlicher Methoden von Pseudowissenschaft und einander zugrunde liegt ?

Traditionell waren formelle und informelle Logiken Versuche zu verstehen, wie Menschen im Allgemeinen argumentieren und zur Kunst der Argumentation zu gelangen. Dass Denkmuster symbolisiert und in formale Symbolsysteme umgewandelt werden können , die eine Erweiterung formaler Sprachen sind , ist per definitionem wahr. Sehen Sie sich Wikipedias wunderbares Diagramm der syntaktischen Unterteilungen eines formalen Systems im Artikel „Formale Sprachen“ an, um zu sehen, wie Folgen von Symbolen, wenn sie wohlgeformt sind, durch die Anwendung von Wahrheitswerten als Theoreme betrachtet werden können. Um es noch einmal zu wiederholen, wenn eine Folge von Symbolen als akzeptabel angesehen wird (man könnte solche Werte mit BNF beschreiben) und diese akzeptablen Zeichenfolgen wahr sind, dann hat man ein Axiom oder Theorem. Ein Axiom wird als wahr angenommen, und ein Theorem wird als logisch äquivalent zu den Axiomen gezeigt. Das ist die Essenz eines formalen Systems. Um also die Beziehung zwischen Logik und Mathematik zu verstehen, muss man sehen, dass ein formales System aus vier Teilen besteht. Von WP:

1. Ein endlicher Satz von Symbolen, bekannt als Alphabet , der Formeln verkettet, sodass eine Formel nur eine endliche Folge von Symbolen aus dem Alphabet ist.
2. Eine Grammatik , die aus Regeln besteht, um Formeln aus einfacheren Formeln zu bilden. Eine Formel heißt wohlgeformt, wenn sie nach den Regeln der formalen Grammatik gebildet werden kann. Es wird oft gefordert, dass es ein Entscheidungsverfahren gibt, um zu entscheiden, ob eine Formel wohlgeformt ist.
3. Eine Reihe von Axiomen oder Axiomenschemata, die aus wohlgeformten Formeln bestehen.
4. Eine Reihe von Inferenzregeln . Eine wohlgeformte Formel, die aus den Axiomen abgeleitet werden kann, wird als Theorem des formalen Systems bezeichnet.

Die ersten beiden Punkte sind die Essenz einer formalen Sprache, und die letzten beiden hinzugefügten sind die Kriterien für ein formales System. Sowohl Logik als auch Mathematik können gemäß ihren formalen Systemen durchgeführt werden. Der Logik sind keine Grenzen gesetzt. Boole hatte seine Algebra , und es gibt FOPC . Modallogik , unendliche Logik und intuitionistische Logik sind fortgeschrittenere Logik, die Mathematikstudenten eher nicht studieren.

Alle diese Logiken haben eine Essenz. Sie nehmen Eingabeanweisungen, die Variablen und Beziehungen enthalten, transformieren sie mit logischen Operationen und Ausgabeanweisungen. Mathematik unterscheidet sich dadurch, dass sie tendenziell mehr semantische Informationen enthält. Die Mathematik betrachtet allgemeiner Begriffe, die sich auf Formen, bekannte und unbekannte Größen, natürliche Sprache und Richtung beziehen. Das ist Logik, die notwendig ist, um Mathematik zu machen, aber sie ist nicht ausreichend. Einige Beispiele:

In der Logik sieht man die logische Äquivalenz (<-->, IFF). Aber in der Mathematik ist der Begriff der Identität viel umfassender. In Arithmetik und Algebra ist es Definition (eine Zahl sei gleich), Gleichheit (bei gegebener Summe der Operationen stellt sich heraus, dass sie gleich ist) und Identität (durch Substitution sind die Formeln äquivalent); in der Geometrie kann es Ähnlichkeit (gleiche Form, unterschiedliche Mengen) oder Kongruenz (gleiche Form, gleiche Größen) sein. ALLE diese Instanzen sind Beispiele für logische Identitäten, die in einem bestimmten Kontext verwendet werden, sei es Zuweisung oder Vergleich.

Beachten Sie, dass man der Logik in der Arithmetik nicht entkommen kann, man kann auch der Arithmetik in der Logik nicht entkommen. Quine und andere haben seit langem erkannt, dass der Existenzoperator arithmetischer Natur ist. „Es gibt ein eindeutiges x, so dass“ (∃!x:) logischer Jargon für „eine Menge S gibt es genau ein Element x (|S|=1:x∈S)“ ist. Darüber hinaus kann die Mengenlehre verwendet werden, um arithmetische Operatoren zu definieren, so dass Addition in Form von Vereinigung, Subtraktion in Form von Mengendifferenz usw. definiert werden kann. Aber ob Sie Zahlen auf dem Zahlenstrahl ordnen oder bestimmen, ob eine Menge a ist richtige Teilmenge einer anderen, müssen Sie immer noch die grundlegenden logischen Operatoren verwenden, um Aussagen zu haben und ihre Wahrheitsbeziehungen zu bewerten. Aus diesem Grund ist die Beschäftigung mit Modelltheorie (häufig definiert als "universelle Algebra + Logik"Sowohl der Modelloperator (⊨) als auch der Beweisoperator (⊢) sind beide nur Kontextbeispiele für logische Implikation (→) (in diesem Fall eine Metasprache zur Beschreibung der logischen Beziehung zwischen logischen Aussagen in einem formalen System).

Die mathematische Logik ist eine Art der symbolischen Logik, selbst eine Art der formalen Logik, die im Wesentlichen mit der Syllogistik des Aristoteles vor 2.500 Jahren begann.

Formale Logik wurde von Logikern immer als Versuch verstanden, menschliches deduktives Denken darzustellen oder zu modellieren. Auch die mathematische Logik war ursprünglich ein Versuch, das zu modellieren, was Boole die "Gesetze des Denkens" nannte, dh die menschliche Logik, indem sie eher eine symbolische Notation als verbale Argumente verwendete, die in der aristotelischen Tradition verwendet wurden.

Streng genommen ist die einzige Logik, die wir kennen, die Logik des menschlichen deduktiven Denkens, die am besten als eine Eigenschaft oder Fähigkeit des menschlichen Geistes oder des menschlichen Gehirns verstanden wird.

Symbolische Logik ist offensichtlich ein Teil der Mathematik. Wie jede mathematische Disziplin ist sie streng logisch. Wie das Etikett andeutet, soll es sich aber auch um eine Art formale Logik handeln, dh um eine Art, die Logik des menschlichen deduktiven Denkens zu modellieren.

Mathematische Logik ist natürlich Mathematik. Das explizite Ziel von George Boole, ein mathematisches Modell der Denkgesetze zu erstellen, geriet jedoch spätestens seit Bertrand Russell weitgehend in Vergessenheit, so dass es nun tatsächlich von jedem Mathematiker abhängt, ob mathematische Logik von Mathematikern selbst als Modell menschlicher Logik verstanden wird .

Im Wesentlichen ist die mathematische Logik ein symbolisches System, das mathematisch ist, aber kein Modell der menschlichen Logik. Es ist sicherlich nicht bewiesen, dass es so ist. Es zeigt sich auch, dass die mathematische Logik nur einen minimalen Einfluss darauf hat, wie Mathematiker außerhalb der mathematischen Logik Theoreme wirklich beweisen.

Anscheinend arbeiten Mathematiker im Wesentlichen so wie vor der Einführung der mathematischen Logik. Dies ist sicherlich das, was jedes mathematische Lehrbuch außerhalb der mathematischen Logik vorschlägt. Beweise mathematischer Theoreme sind die gleiche Art von halbformalen Beweisen, die vor der mathematischen Logik durchgeführt werden, und niemals formale Beweise wie in der mathematischen Logik.

Nach der vernünftigsten Interpretation ist die mathematische Logik also kein Modell der Logik des menschlichen deduktiven Denkens und daher streng genommen, obwohl sie logisch ist, überhaupt keine formale Logik. Es ist im Wesentlichen eine mathematische Disziplin, die etwas von der menschlichen Logik inspiriert ist.

Die Beziehung zwischen Logik und Mathematik besteht also nur darin, dass, wie Aristoteles hätte scherzen können, alle Mathematiker Menschen sind und alle Menschen logisch sind, also alle Mathematiker logisch sind.

Wie Sie aus anderen Antworten hier ersehen können, neigen Philosophen dazu, Mathematik als einen Zweig der Logik zu sehen - natürlich einen sehr großen, aber dennoch ein Kind des allgemeinen Elternteils des logischen und begründeten Diskurses.

Mathematiker sehen das eher umgekehrt. Sie werden Sie ernsthaft darüber informieren, dass alle Formen des begründeten Diskurses einfach Anwendungen der reinen Mathematik eines bestimmten logischen Systems sind. Die formale Logik begann effektiv mit Euklids Axiomatisierung der Geometrie, und das ist fest im Bereich der Mathematik angesiedelt.

Mein eigenes Gefühl ist, dass, wenn die Hölle zufriert, die Vier Reiter der Apokalypse immer noch über den Wurf streiten werden.

Meine Argumentation geht von einem explizit kantischen Satz von Prämissen aus, also 😨 sagen wir jetzt, wir haben intuitives und diskursives Wissen. Verzicht auf Formen/formale Intuition von Raum oder Zeit im Besonderen, sagen wir mal, aber was ist unser Wissen um den Unterschied? Ahnen wir, dass es Diskurs und Intuition gibt, oder wissen wir das diskursiv? Oder beides?

Wenn beides, und um zumindest auf die Phrasen der Fakultätspsychologie hinzuweisen, gibt es dann eine Form des Wissens, die nicht nur mit beiden als beiden gegeben ist, sondern von irgendeiner dritten "Fähigkeit"? Was ist diese quasi-intuitive, quasi-diskursive Erkenntnis...?

Aber Kant erklärt den Unterschied so: Intuition ist von Einzelheiten, Diskurs operiert zuerst auf Allgemeinheit. Unsere mögliche dritte Quasi-Fakultät hat also damit zu tun. Numerische Identität und Haecceities werden zum Thema. Welches Wissen haben wir über Differenzierung als solche? Es reicht aus, dass etwas eindeutig ist, wenn es eindeutig indiziert ist. Was ist diese reine Indexikalität? Aber jede Zahl ist in sich differenziert. Entweder hat es eine endliche Anzahl von Ziffern oder eine unendliche Anzahl. Reelle Zahlen haben aleph-0 viele Ziffern. In gewissem Sinne muss es also Zahlen mit Aleph-1 vielen Ziffern, Aleph-2 vielen Ziffern und so weiter geben. Und dies ist neben den Alephs selbst (und es wäre nicht greifbar, von Zahlen mit so vielen Ziffern zu sprechen, wie es Elemente eines messbaren Kardinals gibt).

Wenn Sie sich so oder so einem stark genugen Spielformalismus in Bezug auf Mathematik und Logik verschrieben haben, könnten Sie diese Halbintuition am Ende als unser Wissen über Spielregeln, einschließlich Sprachspiele, betrachten. Aber es wäre besser zu beschreiben als Wissen über ein formales Spiel selbst, zumindest für Spiele transzendental (kodiert in die Form des Wissens per se für uns) und dann weder Sinn noch Referenz, sondern wiederum Indexikalität für sich. Zahlen sind in diesem Spiel mögliche Punkte, wenn Sie so wollen, sogar die Alephs. Vielleicht können Sie also immer nur eine so hohe Punktzahl erreichen ... Egal, die ganze Sache ist wirklich wie Logik - aber es ist auch wie Wahrnehmung.

BEARBEITEN: In einem Slogan ist dies besonderes Wissen über die Allgemeinheit und allgemeines Wissen über Besonderheiten. Außerdem ermöglicht die iirc-Godel-Nummerierung bis zu einem gewissen Grad, dass Schlussfolgerungen auf eine Art arithmetische Weise durchgeführt werden. Daher ist die Idee, dass verschiedene Mengenoperationen logischen Formen entsprechen, auch nicht falsch (stellen Sie sich zum Beispiel die logische Konjunktion als Prototyp/Archetyp der positiven Hyperoperatorfolge vor; beachten Sie, dass Sie "x ^nx = x ^n+" nicht anwenden können 1 2" zur Basis, denn selbst wenn Sie Folge in eine binäre Operation umwandeln, ist 0 Folge 0 nicht gleich 0 + 2).

Mathematik und Logik sind zwei Disziplinen, die voneinander abhängig sind. Logik wird auf Mathematik angewendet und Mathematik kann auf Logik angewendet werden. Die Konzepte sind selbsterklärend:

• Einerseits bedeutet der Begriff Mathematik im Wesentlichen das Studium von Gegenständen (von griechisch „das, was untersucht werden soll“).

• Andererseits ist Logik das Studium der Regeln, die unser Denken bestimmen. Kant versteht Logik als Wissenschaft vom Verstehen (COPR B76). Beachten Sie, dass es das Gegenstück zum ersteren ist, in dem Sinne, dass Logik eine Art Studium des Subjekts ist .

Wie gezeigt, bezieht sich die Mathematik auf das Studium der Regeln in Bezug auf die Objekte der Natur , und die Logik konzentriert sich auf die Denkregeln des Subjekts (ich, wir). Vereinfacht gesagt werden die Regeln der Mathematik angewendet, um sich den Objekten der Natur zu nähern. Und die Art und Weise, wie etwas angegangen wird, geschieht mit Hilfe der Regeln der Logik. Mathematik befasst sich mit Objekten, wie sie vom Subjekt wahrgenommen werden, Logik befasst sich damit, wie das Subjekt über Objekte denkt.

Da das Subjekt normalerweise das Objekt definiert (eine grundlegende Konsequenz des Empirismus), gibt es keine klare Trennung zwischen Objekt und Subjekt. Einen Regenbogen gibt es in der Natur nicht per se . Um zu existieren, braucht ein Regenbogen Augen, die Photonen als Farben interpretieren, er braucht einen Körper, der eine geografische Position einnimmt usw. Mit anderen Worten, ein Regenbogen wird teilweise vom Subjekt gemacht (Kants "Dinge, wie sie erscheinen"). , und zum Teil das Objekt selbst (Kants „Ding an sich“). Der Fall von Regenbögen wird aufgrund seines einfachen Verständnisses gewählt; Tatsächlich hat jedes Objekt der Natur äquivalente Eigenschaften, nur in unterschiedlichen Größenordnungen.

Wenn wir also Regenbögen studieren, ist es ziemlich schwierig, die Logik von der Mathematik zu trennen. Wir können Mathematik verwenden, um Operationen mit Regenbögen durchzuführen, wobei das Subjekt offensichtlich ausgeschlossen wird (obwohl das Subjekt das Objekt definiert ). Wir können auch die Regeln der Logik studieren, wobei wir scheinbar das Objekt ausschließen (obwohl in diesem Fall das Subjekt zum Studienobjekt wird ). Aber jede nicht-triviale Analyse des Problems endet in einer Diskussion über die enge Verbindung zwischen dem Objekt und dem Subjekt, der Anwendung von Logik auf Mathematik und der Anwendung von Mathematik auf Logik. Dies ist nur eine Folge der Tautologien, auf denen unsere Wahrheit basiert, wie Kant vorschlägt.