Können im Nicht-Platonismus unentscheidbare Aussagen Wahrheitswert haben?

Ich denke, die Titel- und Körperfragen sind subtil unterschiedlich. Hier werde ich die Titelfrage ansprechen, die ich zur Verdeutlichung so umschreiben werde:

Welche Art von "mathematischer Wahrheit" kann ein Nicht-Platoniker verstehen?

Ich denke, das ist weniger seltsam, als es auf den ersten Blick erscheinen mag, da es eine Parallele gibt: "scharfe" vs. "unscharfe" Referenten in natürlicher Sprache . Grob gesagt verpflichtet sich der Platonismus zwar zu der Position, dass jede mathematische Aussage einen bestimmten Wahrheitswert hat, aber die Ablehnung des Platonismus erfordert nicht, dass wir alle mathematischen Aussagen als bedeutungslos zurückweisen; wir können in unserer Mathematik "Grade an Realismus" haben.

Verschiedene Autoren haben über die Unterscheidung(en) geschrieben, die hier im Spiel sind, ohne sich auf den Platonismus festzulegen (oder ihn sogar ausdrücklich abzulehnen); siehe zB Feferman , Koellner antwortet auf Feferman oder Hamkins - oder allgemeiner die Materialien von Harvards EFI .

( Diese alte Antwort von mir ist verwandt.)

Die Situation, auf die ich mich in natürlicher Sprache konzentrieren möchte, ist zweierlei:

• Um einen eindeutigen Wahrheitswert zu haben, müssen die „Bestandteile“ eines Satzes – einschließlich, aber nicht beschränkt auf die genannten Gegenstände – „hinreichend aussagekräftig“ sein (ich habe dafür oben den Begriff „scharf“ verwendet).

• Es gibt verschiedene Ebenen der Sinnhaftigkeit – oder vielleicht schmackhafter, es gibt verschiedene Ebenen der Vagheit .

Zum Beispiel denke ich, dass wir – unter einigen sehr milden ontologischen Annahmen – uns alle einig sind, dass der Satz „Die Erde umkreist die Sonne“ unproblematisch wahr ist. Jedoch,

(Und das kommt noch gar nicht auf die Frage der Eigenschaften an : Wie sollen wir über einen Satz wie „Steve ist freundlich “ oder „das Wetter draußen ist kalt “ denken?)

Die Mathematik, so kann man argumentieren, unterliegt einem ähnlichen Phänomen – obwohl wir es aus verschiedenen Gründen größtenteils ignorieren können: Es gibt unterschiedliche Grade von Sinnhaftigkeit . Hier ist eine konkrete Vorstellung davon, wie das aussehen könnte:

• Die Zahl "3" ist total aussagekräftig (und "3 ist ungerade" hat problemlos einen Wahrheitswert), da sie machbar realisierbar ist : Ich kann sie jetzt instanziieren, indem ich den Mittel-, Zeige- und Ringfinger meiner rechten Hand hebe (was mir passiert haben).

• Die Zahl "8394756" ist fast vollständig aussagekräftig: Obwohl es nicht realisierbar ist, haben wir ein hohes Maß an Vertrauen, dass es physikalisch realisierbar ist (zB dass es tatsächlich mindestens so viele Sandkörner am Strand gibt, also mit genügend Zeit wir könnte die fragliche Nummer instanziieren).

• Die Zahl 10^50 ist sehr aussagekräftig: Während sie nach unserem derzeitigen Verständnis des Universums in gewissem Sinne instanziiert wird (es wird angenommen, dass es mehr als so viele Atome im Universum gibt), gibt es ernsthafte Hindernisse für die Instanziierung (z Die Zeit, die es dauern würde, all diese Atome "an einem Ort" zu "sammeln", könnte so lang sein, dass sie von vornherein aufhören, Atome zu sein .

• Grahams Zahl ist ziemlich aussagekräftig: Es gibt kein aktuelles Verständnis des Universums, nach dem es auch nur plausibel physikalisch instanziiert ist, aber wir können uns alternative Universen mit mehr oder weniger denselben physikalischen Gesetzen vorstellen, in denen es sich befindet. Das heißt, seine "abstrakte Endlichkeit" ist seine rettende Gnade.

• Aber ein unendlicher Kardinal wie $\aleph_0$ dringt in das nur einigermaßen sinnvolle Gebiet vor: Wir müssten ein unendlich großes Universum aufnehmen, damit es in irgendeiner Weise instanziiert werden könnte, und es ist nicht klar, ob das überhaupt zählen würde .

• Und dann brechen die Dinge wirklich zusammen, wenn wir Sachen wie $2^{2^{\aleph_0}}$ oder ähnliches treffen.

Hier stellen sich natürlich ein paar wichtige Fragen:

• Ist diese Abstufung sinnvoll? Der Platoniker würde nein sagen, aber ein Nicht-Platoniker könnte es ziemlich interessant finden - sogar ein Formalist könnte etwas daraus ziehen (zB ich persönlich tue das), weil es eigentlich ziemlich schwer ist, von der "wirklichen ness" von 3.

• Ist diese Abstufung willkürlich? Selbst wenn ich annehme, dass meine relevanten Überzeugungen über das physikalische Universum korrekt sind, ist das Spektrum, auf das ich oben hingewiesen habe, wohl ziemlich kontingent. Der letzte Satz Ihrer Frage ("es scheint willkürlich zu glauben, dass einige unentscheidbare Aussagen Wahrheitswert haben, wenn es bereits akzeptiert wird, dass andere dies nicht tun") trifft hart: Nach welchen Kriterien beurteilen wir die Aussagekraft, und insbesondere in welchem ​​​​Umfang müssen wir uns einem "Meta-Platonismus" ("bei vielen Fragen zur vergleichenden Sinnhaftigkeit gibt es eine feste Tatsache") anvertrauen - und warum ist das gerechtfertigt?

Obwohl diese Kritik ziemlich wichtig ist, denke ich, dass der obige Ansatz letztendlich wertvoll ist (und tatsächlich ist es einer, an dem ich festhalte).

Die Entscheidung betrifft formale Systeme. Das Problem tritt also nur innerhalb des Formalismus auf. Man kann den Platonismus leugnen und die Mathematik trotzdem nicht in Axiomensystemen verankern.

Das Programm, das zu Gödels Vollständigkeit führte, konkurriert mit radikaleren Reaktionen auf die Lücke in Freges Werk. Die erste unter diesen ist die von Brouwer vorgeschlagene ursprüngliche Form des Intuitionismus.

Die mathematische Wahrheit war für Brouwer in der menschlichen Intuition und schöpferischen Kraft verankert. Eine ansonsten nachweisbar unentscheidbare Aussage könnte also akzeptiert und ausgearbeitet werden, wenn sie eine bestimmte natürliche Anziehungskraft hätte.

Gleichzeitig wurde eine Vielzahl von Ergebnissen nach Brouwers Maßstäben aufgrund der Tatsache, dass das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten als die intuitivste Ursache für Russels Paradoxon angesehen und aufgegeben wurde, sofort „unbewiesen“. Darauf folgte meistens eine Mathematik, die sich weiter in endliche und approximative Methoden zurückzieht.

Aber einige spätere Intuitionisten (z. B. Steven Kleene) sind in die entgegengesetzte Richtung gegangen und haben zugegeben, dass es für die klassische Mathematik in Ordnung ist (wenn auch ein bisschen unbekümmert?), am Gesetz der ausgeschlossenen Mitte festzuhalten und nach etwas anderem Ausschau zu halten, um es zu verwerfen Vermeiden Sie die verschiedenen Paradoxien, solange sie es sorgfältig tun. (Im Großen und Ganzen tun sie das einfach nicht, weil sie das philosophische Problem als ein zwanghaftes Eindringen in ihre Arbeit ansehen.) Das bedeutet, dass andere unentscheidbare Vorschläge ausprobiert werden sollten, um zu sehen, ob sie Konsequenzen haben, die einen intuitiven Reiz haben.

Die Leute haben sich also die potenziellen Vorteile einer starken Negation des Axiom of Choice, bekannt als Infinite Game Determinacy, angesehen, um sowohl Tarskis Paradoxon loszuwerden als auch potenziell interessantere und ansprechendere Gebiete zu finden. Einige Zahlentheoretiker haben die Kontinuumshypothese übernommen, weil ein gegebenes Modell unendlicher Ordnungen einige endliche Ergebnisse einfacher macht.

Ein großer Zweig der Ordinaltheorie befasst sich damit, was passiert, wenn Sie verschiedene große Kardinalaxiome akzeptieren oder nicht akzeptieren, und um eine Art Karte von Optionen zu erstellen, in der Hoffnung, dass diese umfassendere Sichtweise die Intuition entwickeln und uns eine geben kann gute Möglichkeit, unsere Axiome in Zukunft auszuwählen. Dies ist das Projekt von Woodin.

Außerhalb des Formalismus bleiben aktive Entwicklungen in der nicht-platonistischen Mathematik.