Warum lehnen Finitisten das Unendlichkeitsaxiom ab? [geschlossen]

Ich bin gelegentlich in finitistischer Stimmung; Obwohl ich keinen Grund zu der Annahme habe, dass das Folgende auf alle oder sogar die meisten Finitisten zutrifft, könnte es sich lohnen, es aufzuschreiben.

Beachten Sie, dass ich mich in allem, was unten steht, mit klassischer Logik bestens auskenne. Persönlich habe ich tatsächlich viel weniger grundlegendes Interesse an nichtklassischer Logik als an finitistischen Rahmenwerken, und die beiden sind für mich weitgehend unabhängig. Natürlich,$(i)$das soll nicht heißen, dass ich kein mathematisches Interesse an nichtklassischer Logik habe, und$(ii)$das ist nur meine meinung.

Beginnen wir am anderen Ende des Infinitismus: dem Ultrafinitismus . Es gibt verschiedene Gründe, warum man Ultrafinitismus attraktiv finden könnte, aber ich denke, der häufigste ist der Glaube, dass Zahlen eine physikalische Bedeutung haben müssen, um sinnvoll zu sein . Nennen wir dies die "physikalische" Sichtweise. Natürlich ist es schwierig, genau festzulegen, was „physische Bedeutung“ bedeutet, aber es gibt einige Dinge, von denen ich denke, dass wir sie mit hinreichender Sicherheit sagen können. Zum Beispiel:

Nach unserem heutigen Verständnis von Physik hat Grahams „Zahl“ eigentlich keine physikalische Bedeutung.

Dieses Bild weist jedoch bestimmte Merkmale auf, die es zumindest für mich für die Erfassung mathematischer Bedeutungen unbefriedigend machen. Auf einer unmittelbaren Ebene gibt es keinen Grund zu der Annahme, dass "Zahl" heute dasselbe bedeutet wie "Zahl" morgen: Das Universum scheint sich schließlich auszudehnen, und das bedeutet wohl, dass seitdem mehr "Zahlen" zu tatsächlichen Zahlen werden Morgen wird der Zustand des Universums mehr Bits brauchen, um ihn naiv zu beschreiben, als es heute der Fall ist. Bitte ignorieren Sie hier meinen völligen Mangel an wirklichem Verständnis der Physik; Ich versuche nur, allgemeiner zu sagen, dass die Tatsache, dass sich das Universum im Laufe der Zeit verändert, ein Problem für die Idee darstellt, dass „Zahl“ ein wohldefiniertes Konzept in der physikalistischen Sichtweise ist.

Ein ernsteres Problem ist meiner Meinung nach, dass diese Definition ironischerweise bedeutet, dass wir keinen tatsächlichen direkten Zugriff auf Zahlen haben! Das liegt daran, dass ich nie absolut sicher sein kann, dass mein Verständnis der physischen Welt korrekt ist, und ich nicht nur ein Gehirn in einem Tank bin. Vielleicht ist die wahre physische Welt viel viel größer als meine Vermutung der Realität und verhält sich ganz anders als sie. Umgekehrt bin ich mir da wirklich sicher$1000000$ist sinnvoll? Das Universum könnte sehr, sehr klein sein. . .

Die Version des Physikalismus, die mich anspricht, ist eine Art "relativer Physikalismus" (meine umgekehrte mathematische Voreingenommenheit könnte sich hier zeigen):

Abgesehen von einer kleinen Handvoll Fällen ist es mir absolut unmöglich, mit Sicherheit zu sagen, dass ein mathematisches Konzept eine physikalische Bedeutung hat (selbst wenn ich mir sicher bin, was „physikalische Bedeutung“ ist!). Es gibt jedoch sinnvolle Trennlinien zwischen mathematischen Konzepten, die darauf basieren, was für das Universum zutreffen müsste, damit diese Konzepte eine physikalische Bedeutung haben.

Zum Beispiel ist es für mich völlig plausibel, dass Grahams Zahl eine physikalische Bedeutung hat. Alles, was dazu nötig wäre, wäre, dass unser Verständnis von Physik völlig daneben liegt oder dass ich Opfer der langweiligsten Verschwörung der Geschichte werde – und relativ gesehen sind diese absolut plausibel. Im Gegensatz dazu müsste etwas sinnvoll seltsam sein, damit$\aleph_0$direkte physikalische Bedeutung zu haben (persönlich ist meine Interpretation von „physikalischer Bedeutung“ streng genug, dass ein „unendliches, lokal endliches“ Universum es nicht unbedingt schneiden würde) . Intuitiv, wenn wir von einer Position ernsthafter Skepsis gegenüber dem Universum ausgehen (was ich im täglichen Leben nicht annehmen würde, aber ich denke, dass es in den Grundlagen der Mathematik vernünftig ist) , dann sind einige Trennlinien "a priori signifikant". während andere es nicht sind (ich sehe keinen besonders zwingenden Grund, warum Grahams Zahl wesentlich unglaubwürdiger als eine Million sein sollte, aber ich sehe definitiv einen grundlegenden qualitativen Unterschied zwischen "endlich" und "unendlich").

An dieser Stelle darf ich in meine Skepsis einen Tropfen Dogma einbauen und erklären, dass manche Dinge einfach zu unglaubwürdig sind, um überhaupt eine physikalische Bedeutung zu haben . Ich könnte zB behaupten:

Ich wäre nicht allzu überrascht, wenn Grahams Zahl eine physikalische Bedeutung hätte, aber ich kann mir wirklich kein Universum vorstellen, in dem das der Fall wäre$\aleph_0$hat physikalische Bedeutung.

(Für mich ist übrigens eine ähnlich klingende Behauptung: "Ich wäre nicht allzu überrascht, wenn ZFC inkonsistent wäre, aber ich kann mir wirklich keine Inkonsistenz in PA vorstellen.")

Ich persönlich würde nie so weit gehen, aber ich kann definitiv hinterher kommen:

Mich würde grundsätzlich eher wundern$\aleph_0$mit physikalischer Bedeutung, als ich würde, wenn Grahams Zahl eine solche physikalische Bedeutung hat.

Ich finde diesen „Überraschungs-/Schock-/Verzweiflungsgrad“-Gedankengang tatsächlich ziemlich überzeugend. Für mich erfasst Finitismus oft „Mathematik, die physikalisch sinnvoll sein könnte, ohne meinen Blutdruck zu erhöhen“. Ich fragte meinen Arzt und nachdem er die Augen verdreht hatte, sagte er mir, ich solle mir darüber keine Sorgen machen, also mache ich das fast nie; aber dann kann ich nicht ganz sicher sein, dass er kein Teil von The Conspiracy ist, also mache ich mir von Zeit zu Zeit Sorgen.

Ein Merkmal dieser Perspektive ist, dass der Finitismus nicht besonders privilegiert ist: „zählbar“ ist für mich weniger überraschend als „unzählbar“, daher ist „Zählbarkeit“ eine für mich bedeutsame Haltung; dito "Nicht-Superkompaktismus" und so weiter. Andererseits ist der Finitismus die restriktivste Position dieser Art, daher wird er in diesem Sinne unterschieden.

Wie bei vielen Glaubensfragen kann es mehrere Gründe geben, das Unendlichkeitsaxiom abzulehnen, und es gibt mehrere Variationen des Finitismus . Es gibt eine Verbindung zum Konstruktivismus in der Mathematik , wie in dieser Mathoverflow-Frage erwähnt (Ist der Finitismus eine extreme Form des Konstruktivismus?). Ultrafinitismus oder Ultra-Intuitionismus von AS Yessenin-Volpin ist nur ein Extremfall.

Letztendlich ist es eine Entscheidung, was man glaubt und, was noch wichtiger ist, warum . Mathematische Beweise, egal wie streng, sind kein ausreichender Grund, etwas zu glauben, da sie immer auf bestimmten gegebenen Annahmen (Axiomen) beruhen, die implizit als wahr akzeptiert werden, und logischen Regeln, die sie verwenden. Es kann alternative Axiome und logische Regeln geben. Die Probleme hier haben eine lange komplizierte Geschichte.

In diesem Forum lautet die grundlegendste Frage "Was ist Mathematik wirklich?"

Aus der Sicht eines „Infinitisten“ glaube ich, dass die infinitistische Sichtweise auf ihre Begründung im Wesentlichen lautet:

• Sie interessieren sich für die synthetische Untersuchung eines Universums endlicher Mengen
• Sie wollen einen nicht-klassischen Ansatz zur (höheren Ordnung) Logik wählen

Es ist erwähnenswert, dass eine Form der endlichen Mengentheorie im Grunde dasselbe ist wie Peano-Arithmetik (PA). Es ist bekannt, wie man aus Mengen natürliche Zahlen erhält; das Gegenteil kann mit Bitsets erreicht werden – das heißt, sagen wir$m \in n$genau dann, wenn die Binärzahl für$n$hat ein$1$im$m$- Platz.

Finitisten haben normalerweise eine ziemlich rechnerische Neigung zur Philosophie, daher ist die Tatsache, dass die endliche Mengentheorie und Peano-Arithmetik äquivalent sind, wahrscheinlich sehr einflussreich für die Vorliebe des Finitismus für endliche Mengen.

Ich betone den nicht-klassischen Ansatz zur Logik höherer Ordnung, weil die Mengenlehre Logik höherer Ordnung ist . IIRC, Bounded Zermelo Set Theory entspricht genau dem, was Sie erhalten würden, wenn Sie eine klassische Theorie höherer Ordnung von Peanos Axiomen entwickeln würden.

Trotzdem lehnen Finitisten es immer noch ab. Nach meinen Beobachtungen scheinen sie auf eine auf der Berechenbarkeitstheorie basierende Logik höherer Ordnung abzuzielen; zB was "Berechnungen" mit Turingmaschinen gemacht werden können.

Zusammenfassend ist meine derzeitige Überzeugung aus infinitistischer Sicht:

Finitisten arbeiten intern in einem Universum von Turing-Maschinen.