Ist dieser Beweis von "a≠0⇒a−1≠0a≠0⇒a−1≠0a\neq0\Rightarrow a^{-1}\neq0" gültig?

Die Aussage, die ich beweisen muss, ist die folgende:

A ≠ 0 ⇒ A − 1 ≠ 0 , für alle A aus R .

Ich habe versucht, die Methode des Widerspruchsbeweises anzuwenden, und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:

Lassen A sei ein zufälliges Element aus R , so dass A = B ⇒ A − 1 = 0 , mit B ≠ 0 .

A = B

⇒ A ⋅ B − 1 = B ⋅ B − 1

⇒ A ⋅ B − 1 = 1

⇒ A ⋅ B ⋅ A − 1 = 1 ⋅ A − 1

⇒ A ⋅ A − 1 ⋅ B = A − 1 ⋅ 1

⇒ 1 ⋅ B = A − 1 ⋅ 1

⇒ B ⋅ 1 = A − 1 ⋅ 1

⇒ A − 1

Weil B ≠ 0 , es widerspricht der Annahme, die wir zu Beginn gemacht haben. Deshalb,

A ≠ 0 ⇒ A − 1 ≠ 0

Ich habe die alebraischen Axiome verwendet, um jeden Schritt zu begründen, aber ich war mir nicht sicher, ob dies ein gültiger Beweis ist, da ich immer noch nicht daran gewöhnt bin, was Beweise zu Beweisen macht. Eine Bestätigung oder Erklärung wäre sehr willkommen. Danke!

Was meinst du mit "=> A − 1 "?
oh ich wollte schreiben B = A − 1
Und wie bist du von " ⇒ A ⋅ B − 1 = 1 " Zu " ⇒ A ⋅ B ⋅ A − 1 = 1 ⋅ A − 1 "?
Ich multiplizierte jede Seite mit A − 1 und während ich das schreibe, sehe ich den Tippfehler. b soll sein B − 1

Antworten (1)

Es ist ein wenig verwirrend zu folgen. Es ist nicht erforderlich, eine zweite Variable einzuführen B , und Ihre vorletzte Zeile ist etwas unklar ⟹ A − 1 .

Stattdessen können Sie so argumentieren, nehmen wir an A − 1 = 0 , Dann 1 = A ⋅ A − 1 = A ⋅ 0 = 0 was ein Widerspruch ist.

Ich verstehe. Das macht viel mehr Sinn. Danke schön.
Eine triviale Frage, die mich etwas stört: Wenn man die rechte Aussage von der linken beweisen muss, muss man dann nicht die linke anpassen und zur rechten kommen? oder ist das hier nicht der fall?
Eine solche Regel gibt es im Allgemeinen nicht. Die Logik ist wie folgt, angenommen A eine beliebige reelle Zahl ist, und das A − 1 ist seine multiplikative Inverse. Wenn A − 1 kommt auch vor 0 , dann können wir zeigen, dass ein Widerspruch folgt, nämlich dass 0 = 1 . Deshalb A − 1 kann nicht sein 0 .
Ist dieser Beweis von "a≠0⇒a−1≠0a≠0⇒a−1≠0a\neq0\Rightarrow a^{-1}\neq0" gültig?
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