Definition eines Axioms?

Ich bin mir nicht sicher, warum Sie das, was ein Axiom sein kann, auf zwei Arten von Aussagen beschränken wollen. Ein Axiom ist jede unbewiesene mathematische Annahme, die wir machen, daher können wir jede wohlgeformte mathematische Behauptung als Axiom betrachten. Ob eine Aussage ein gutes Axiom ist, ist eine andere Geschichte. Zum Beispiel sollten wir es vermeiden, Dinge anzunehmen, wenn wir sie durch unsere anderen Annahmen beweisen können, wir sollten versuchen, die Dinge, die wir annehmen, gut begründet und konsistent zu machen. (Vielleicht sogar ‚wahr‘, wenn wir ein gutes Gefühl dafür haben, oder noch besser ‚selbstverständlich‘, wenn das etwas bedeutet).

Viele Axiome behaupten, wie Sie vorschlagen, die Existenz mathematischer Objekte mit bestimmten Eigenschaften. Sie können auch Einzigartigkeit behaupten. Zum Beispiel behauptet das parallele Postulat die Existenz einer eindeutigen Linie parallel zu einer gegebenen Linie durch einen gegebenen Punkt. Die meisten Axiome der Mengentheorie bekräftigen die Existenz bestimmter Mengen, die von anderen abgegrenzt sind.

Und ja, einige Axiome definieren, wie sich unsere Funktions- und Beziehungssymbole verhalten. Zum Beispiel gibt es viele Axiome der Peano-Arithmetik, die uns sagen, wie sich Addition und Multiplikation verhalten, und die Axiome eines geordneten Feldes sagen uns die Eigenschaften der Ordnungsbeziehung, Addition, Multiplikation, Null, Eins usw.

Beachten Sie, dass wir arithmetische oder algebraische Strukturen in die Mengenlehre einbetten, wir haben diese Operationen nicht mehr als primitive Symbole, von denen unsere Axiome sprechen. Vielmehr definieren wir sie in Bezug auf die Zugehörigkeitsbeziehung unserer festgelegten Sprache$\in.$Hier verwenden wir die Axiome, um zu beweisen, dass solche Definitionen sinnvoll sind: Zum Beispiel werden wir beweisen, nicht annehmen, dass dies für irgendjemanden gilt$x$Und$y$es gibt ein Unikat$z$so dass$x+y=z,$wo jetzt "$x+y=z$" ist eine Abkürzung für eine Beziehung zwischen Mengen$x$,$y$, Und$z$die natürliche Zahlen darstellen, und diese Beziehung ist in der Sprache der Mengenlehre definiert.

Darüber hinaus kann die Art und Weise, wie wir die Axiome interpretieren oder formulieren, ändern, „was für Dinge“ wir glauben, dass sie behaupten. Zum Beispiel besagt das Fundamentaxiom der Mengenlehre, dass jede Menge a hat$\in$-minimales Element, dh es hat ein Element, das keines seiner Elemente enthält. Aus einem bestimmten Blickwinkel sagt es also, dass die Zugehörigkeitsbeziehung bestimmte Eigenschaften hat. Aber wenn wir darüber nachdenken, stellen wir uns oft vor, dass es verbietet, welche Arten von Sets existieren können. Dies ist nur ein sprachlicher Unterschied: „Jede Menge ist wohlbegründet“ und „es gibt keine nicht-begründeten Mengen“ bedeuten eindeutig dasselbe, aber die erste scheint eine Eigenschaft zu sein und die zweite die Negation von an Existenz Aussage. Vieles davon dreht sich also nur um die Dualität zwischen universellen und existentiellen Quantoren. Als weiteres Beispiel wäre eine Existenzaussage des Unendlichkeitsaxioms „es existieren unendliche Mengen“, aber es gibt auch eine universelle Version „es ist nicht wahr, dass nicht alle Mengen unendlich sind“. Geht nicht gerade von der Zunge, aber es

Die Definitionen hier sind ziemlich einfach. Zur Vereinfachung der Beschreibung werde ich "syntaktische Folgerung" verwenden:

Wenn$\Gamma$ist eine Menge von Anweisungen und$P$ist also eine aussage$\Gamma \vdash P$bedeutet, dass es einen Beweis dafür gibt$P$dessen Hypothesen stammen$\Gamma$

Dann,

• Eine Theorie ist eine Menge$T$von Anweisungen mit der Eigenschaft that$T \vdash P$impliziert$P \in T$
  • Wir verwenden den Begriff Theorem , um uns auf die Elemente von zu beziehen$T$

• Eine Reihe von Axiomen für$T$ist eine Teilmenge$A$mit der Eigenschaft, dass$P \in T$impliziert$A \vdash P$

  • Wir verwenden den Begriff Axiom , um uns auf die Elemente von zu beziehen$A$

Insbesondere wenn wir eine Theorie und eine Reihe von Axiomen dafür haben, dann eine Aussage$P$ist genau dann ein Theorem, wenn er aus den Axiomen bewiesen werden kann.

Der Begriff „Axiom“ ist eine formale Trivialität; es bedeutet einfach eine Aussage, die wir entschieden haben, ein Axiom zu nennen. Die mathematische Tiefe hier ist die Idee, dass eine Reihe von Axiomen eine Theorie generieren kann und dass dies manchmal verwendet werden kann, um Pädagogik, Berechnung und/oder Theorie zu vereinfachen.