Gibt es einen Konflikt mit Holismus und Gleichheit und Pluszeichen der Mathematik?

Edit - bessere Formulierung/Zusammenfassung:

Vielleicht hilft diese Formulierung "dasselbe Objekt auf unterschiedliche Weise ausgedrückt". Das ist eine Bedeutung hinter „gleich“. 10 = 1+...4 --> 10 ist wirklich 1+...4. Wenn wir also mathematisch dasselbe Objekt auf mehrere Arten über gleich behandeln können, und Holismus und Maudlin sagen: Eine Möglichkeit, ein Objekt nicht zu behandeln, besteht darin, einfach seine einzelnen Teile zu summieren, um das Ganze zu ergeben, gibt es dann einen Konflikt in so etwas wie der 10 = 1+...4 Beispiel, wo LHS und RHS wirklich gleich sind? Bewahrt die mathematische Struktur von gleich und plus die Ganzheitlichkeit?

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Ich versuche nicht zu provozieren. Ich wollte nur eine Perspektive (gut und schlecht) zu diesem Gedanken, den ich hatte.

In der Mathematik bedeutet 1+2+3+4 = 10, dass beide Seiten des Gleichheitszeichens in jedem mathematischen Kontext genau gleich sind. Oder anders gesagt, gleiche Operationen, die auf beiden Seiten durchgeführt werden, bewahren ihre gleiche Beziehung . Wenn links und rechts einen Unterschied haben, wird er in der Mathematik nicht herausgegriffen. Für jede Operation hat jede Seite das gleiche mathematische Verhalten. Im Bereich der Mathematik bedeutet =, dass jede Seite für alle mathematischen Zwecke ausgetauscht werden kann. Und ich denke noch weiter, jede Seite ist wirklich die andere. 10 ist wirklich 1+2+3+4 und ist wirklich 2*5 usw. So wie man sich eine Gleichung als Funktion vorstellen kann, hat sie auch eine geometrische Interpretation. Keiner ist richtiger als der andere.

Aber für den Holismus sehen wir es oft zusammengefasst als „das Ganze ist größer als die Summe der Teile“, eine Umschreibung von Aristoteles, glaube ich. Und ein Zitat von Tim Maudlin: „Die Welt ist nicht nur eine Reihe getrennt existierender lokalisierter Objekte, die äußerlich nur durch Raum und Zeit miteinander verbunden sind. Etwas Tieferes und Mysteriöseres strickt das Gewebe der Welt zusammen. Wir sind gerade erst dazu gekommen Moment in der Entwicklung der Physik, der anfangen kann, darüber nachzudenken, was das sein könnte." von Dolmetscherstellen .

Habe ich nicht einen klaren Konflikt, wenn ich sage 1 + 2 + 3 + 4 = 10 in der Perspektive der Ganzheitlichkeit? Vielleicht sind sie mathematisch gesehen nicht anders, aber in der physischen Welt sagt der Holismus, dass es eine Art Unterschied zwischen den Teilen und dem Ganzen gibt. Es scheint, als könnten keine physischen Objekte in Bezug auf die Ganzheitlichkeit in irgendwelche konstituierenden Objekte aufgeteilt werden, aber das Aufteilen ist eine mathematische Operation (- und +). Objekte, die in der physischen Welt leben, wie Maudlin in seinem Zitat sagt, können nicht so einfach geteilt werden. Was auch immer das Universum ist, es kann nicht erreicht werden, indem man über einzelne Komponenten davon nachdenkt.

Und könnte Euklid, als er sagte: "Das Ganze ist größer als der Teil" (euklidische Eigenschaft 5, glaube ich), auf diese Idee gekommen sein? Hat er es bewusst vermieden, „das Ganze ist mehr als die Summe der Teile“ zu sagen, und es in einer milderen Form formuliert? Weil die Mathematik den Holismus (der physischen Welt) nicht unterscheidet.

Diese Einschränkungen scheinen nicht in die Mathematik einzudringen. Ich kann jedes ganze Objekt nehmen, sagen wir einen Kreis, und mathematisch sagen, dass es wirklich bestimmte Zahlen sind, die zusammengezählt werden.

Sind =, + usw. möglicherweise von der physischen Welt getrennt?

*Wenn das alles zu vage ist, lassen Sie es mich bitte wissen. Ich habe nicht viel mathematisch-philosophisches Wissen, aber ich hoffe, ich habe einen Punkt getroffen.

Durch = ausgedrückte Äquivalenzbeziehungen bedeuten nicht, dass die Seiten "genau gleich" sind, sie bedeuten nur, dass einige im Kontext des Modells relevante Merkmale übereinstimmen und der Rest nicht berücksichtigt wird. Dies ist völlig neutral in Bezug auf Holismus / Reduktionismus. Wenn ein Modell nicht genügend Merkmale berücksichtigt, verfeinern Sie es einfach. Mathe bietet dafür reichlich Vehikel: Wenn eine einfache Vereinigung von Teilen (+) nicht ausreicht, strukturieren Sie es extra, geben Sie zum Beispiel zusätzliche Beziehungen zwischen den Elementen an. Aber irgendetwas muss immer außer Acht gelassen werden, weil wir Wesen mit begrenzten Ressourcen und Fähigkeiten sind.
IMO, Sie lesen Maudlins "Ganzheitlichkeit" falsch. 10 Eier sind auch in der "physischen Welt" 10 Eier und wenn wir die 10 Eier in vier Körbe aufteilen, haben wir immer 10 Eier ... vorausgesetzt, wir zerbrechen nicht etwas davon, in diesem Fall "ist das Ganze kleiner als die Summe der Teile".
@Conifold Sind sie nicht in jeder Hinsicht gleich? Zeigen Sie mir eine Funktion, bei der 1 + 2 + 3 + 4 vs. 10 als Eingaben einen Unterschied machen. Ich dachte, ich sage im Grunde 1/2 = 2/4 = 4/8. Für alle mathematischen Operationen verhalten sie sich gleich. Und sicher können Sie Strukturen hinzufügen, um zusätzliche Beziehungen zu spezifizieren, aber was ist, wenn wir eine strukturelle Mathematik subtrahieren müssen, die physikalisch nicht vorhanden ist?
@MauroALLEGRANZA Was will Maudlin dann sagen, wenn er das nicht sagt? Was Sie gesagt haben, ist ganz klar das, was die meisten Leute für mangelhaft halten würden. Ich glaube nicht, dass Maudlin seinen Aufsatz nur geschrieben hat, um die einfache Standardansicht wiederzugeben. Ich denke, er sagt wirklich, dass zumindest einige physische Objekte nicht geteilt werden können, wie Sie es gezeigt haben. Vielleicht keine Eier, aber einige physische Gegenstände.
@Conifold Vielleicht hilft diese Formulierung "dasselbe Objekt auf unterschiedliche Weise ausgedrückt". Das ist eine Bedeutung hinter „gleich“. 10 = 1+...4 --> 10 ist wirklich 1+...4. Wenn wir also mathematisch dasselbe Objekt auf mehrere Arten über gleich behandeln können, und Holismus und Maudlin sagen: Eine Möglichkeit, ein Objekt nicht zu behandeln, besteht darin, einfach seine einzelnen Teile zu summieren, um das Ganze zu ergeben, gibt es dann einen Konflikt in so etwas wie der 10 = 1+...4 Beispiel, wo LHS und RHS wirklich gleich sind? Bewahrt diese Struktur die Ganzheitlichkeit?
Das Problem ist, dass Sie Mathematik auf = und + oder unstrukturierte Mengen und ihre Vereinigungen reduzieren. Auch der Reduktionismus braucht mehr als Rechnen. Die moderne Algebra befasst sich mit Objekten und Operationen, die viel komplexer und strukturierter sind als Zahlen, Mengen und ihre Summen und Vereinigungen. "Alle mathematischen Operationen" verhalten sich überhaupt nicht so. Man kann nicht einfach zwei Gruppen oder Ringe zusammenspleißen, die "Summe der einzelnen Teile" bestimmt nicht die Struktur des Ganzen, Operationen daran. So ist es auch beim Zusammenspleißen von Teilchen in der Mechanik, Wechselwirkungen werden unabhängig voneinander angegeben.
@Conifold Danke. Ich habe ein Durcheinander präsentiert und Sie haben auf meine Vereinfachung hingewiesen.

Antworten (5)

Langer Kommentar

Wenn wir in der Mathematik 1 + 2 + 3 + 4 = 10 schreiben , stellen wir keine Art "metaphysischer Behauptung" auf: Wir behaupten, dass, wenn wir den Ausdruck auf der linken Seite auswerten (wir "berechnen" 1 + 2 + 3 + 4 ) Der Prozess endet nach einer endlichen Anzahl von Schritten und der resultierende Wert des Prozesses ist derselbe wie auf der rechten Seite.

Zusammenfassend sind also =, + usw. nicht von der physischen Welt getrennt, zumindest weil Menschen und Maschinen, die Berechnungen durchführen, Teil der physischen Welt sind.

Die Welt der Mathematik erhebt keinen metaphysischen Anspruch. Aber sobald wir irgendetwas in der realen Welt mit + und = usw. darstellen, laufen wir nicht Gefahr, irgendeine Art von Struktur der realen Welt im Austausch gegen mathematische Strukturen zu verlieren. Auch der Begriff „2 Äpfel“ ist im Sinne der Ganzheitlichkeit offenbar nicht 1+1 Apfel, sondern mathematisch 2 = 1+1.
Ich weiß, das klingt albern, aber ich dachte, Maudlin sagt das.

Es sollte betont werden, dass es sich bei der Eingabe von 1+2+3+4=10in erster Linie um eine Folge von Symbolen handelt. Eine herkömmliche Interpretation dieser Symbole könnte so etwas wie eine Behauptung sein, dass Zahlen metaphysische Objekte sind, dass Gleichheit eine Art Identitätsanspruch ist und dass das Additionszeichen die Beschreibung einer Funktionsbeziehung auf den natürlichen Zahlen ist.

Quine argumentierte, dass der natürlichste Weg, mathematische Objekte zu verstehen, darin besteht, ihre theoretischen Positionen erster Ordnung für bare Münze zu nehmen und damit zu sagen, dass wir dies akzeptieren sollten, da mathematische Praxis ein notwendiger Teil des Gerüsts der ganzheitlichen wissenschaftlichen Perspektive ist sie sind ein Teil unserer Realität.

Aber es gibt keinen bestimmten Grund innerhalb des Holismus, der von Ihnen verlangt, diese Folge von Symbolen auf diese Weise zu interpretieren. Tatsächlich ist die Ontologie der mathematischen Sprache nach einer oft mit Maudlins loser Sammlung von Ideen gebündelten Ansicht die der Strukturen mathematisch interpretierbarer Systeme. Es ist nicht so sehr, dass es tatsächlich einzigartige Objekte in der Realität gibt, die wir für „die Zahlen“ halten – es gibt nur Systeme (von physikalischer oder anderweitig wissenschaftlich wichtiger Art), die auf die Weise organisiert sind, die durch die Axiome von, sagen wir, beschrieben wird Peano-Arithmetik.

Wenn eine solche Praxis sowohl eine einfachere Sparsamkeit in der Ontologie der physischen Welt bieten als auch uns immer noch ermöglichen würde, die Sprache und Anwendbarkeit der Mathematik zu verstehen, wäre das dann nicht eine wünschenswerte Eigenschaft für unsere Wissenschaft als Ganzes? Schließlich lädt Occam's Razor dazu ein, die unnötige Duplizierung von Entitäten zu hinterfragen und so unsere Rahmen von als Ganzes genommenen Positionen besser zu bewerten.

Ich versuche nicht, in die metaphysische Stellung von Zahlen und mathematischen Symbolen einzudringen. Es ist die Struktur der Symbole und der Mathematik, die ich neugierig auf die Struktur des Holismus abbilde. Ja, die mathematische Sprache hilft uns, die physische Welt zu verstehen, und ist sehr effektiv, aber wie gibt es eine Interpretation ihrer Sprache und Symbole, konventionell oder unkonventionell, die + auf eine Weise interpretiert, die für den Holismus sinnvoll ist, was antithetisch ist zu Teilen und Summieren von Teilen?

Die Dinge, die in 1 + 2 + 3 + 4 = 10 gleichgesetzt werden, sind nicht dasselbe. Sie sind zwei Annäherungen an einen Aspekt der Realität. Ein Ansatz ist der ganzheitliche Ansatz, der besagt, dass Dinge nicht zerlegt werden können, und der andere ist der reduktionistische Ansatz, der besagt, dass sie es können. Die beiden sind unvereinbar oder inkommensurabel, aber sie können gleichgesetzt werden.

Sie sind jedoch von Natur aus unterschiedlich. Für den einen zählt nur die linke Seite, für den anderen nur die rechte Seite. Aber die beiden Menschen können über ihre Differenzen sprechen und sich vielleicht sogar auf die andere Seite ziehen. Wenn alle auf einer Seite wären, wäre die Gleichung nutzlos.

Aber mathematisch verhalten sie sich gleich. Es gibt keine Funktion, die eine andere Ausgabe liefert, wenn ich 10 vs. 1+2+3+4 einstecke. Also mathematisch gesehen sind sie gleich. Rein rechnerisch gibt es keinen Unterschied. Und doch gibt es außerhalb der Mathematik einen gewissen Unterschied, würde ich behaupten, und Sie scheinen mir zuzustimmen.
Inwiefern verhalten sie sich gleich? Wenn Sie sie in einer Funktion ersetzen? Eine Sammlung von zehn Äpfeln unterscheidet sich von vier kleineren Sammlungen. Sie können vier Sammlungen von Äpfeln in einer Funktion ersetzen und den ganzen Haufen einfügen. Aber es gibt immer noch einen Unterschied.
Ja, mathematisch, wenn man sie in eine Funktion einsetzt, sind sie gleich, oder nicht? Da sie für jede Funktion die gleiche Ausgabe wie Eingaben liefern.
@JKusin Ich denke, das Ergebnis wird auch anders sein. Sie können das Ergebnis als Ganzes sehen (wenn Sie 10 eingeben) oder als Sammlung von „Unter-Ganzen“ (je nach Funktion). Das Ergebnis von f(10) kann unterschiedlich sein: neue Teilgesamtheiten oder ein großes Ganzes.
@JKusin Sogar das Ergebnis von f (1 + 2 + 3 + 4) kann ein neues Ganzes sein. Wenn f(x)=2x, dann kann das Ergebnis 2+4+6+8 oder 20 sein. Ich möchte positiv abstimmen, aber ich kann nicht.
@JKusin Ein Holist bevorzugt also 10 und ein Reduktionist bevorzugt 1 + 2 + 3 + 4. Die Mathematik verbindet beide Ansichten durch eine äquibalente Beziehung. Es kann als Gleichheitsbeziehung bezeichnet werden, aber warum sagen, dass zwei Dinge gleich sind, wenn sie überhaupt gleich sind? Wenn sie von vornherein dasselbe sind. Wenn es zwei Dinge auf beiden Seiten gibt, wie können sie dann gleich sein?
"Wenn sie von vornherein gleich sind" - ich denke, eine Interpretation von gleich ist, dass beide Seiten tatsächlich dasselbe Objekt darstellen, nur auf unterschiedliche Weise ausgedrückt. Aber ein Holist würde niemals sagen, dass die zusammengefassten Teile dem Ganzen gleich sind. Also können 1+2+3+4 und 10 für einen Holisten nicht zwei Ausdrücke desselben Objekts sein. Ist das sinnvoll?
@JKusin Ja. Nur glaube ich nicht, dass es eine Sache gibt, auf die sie sich beide beziehen. Was ist dieses Ding? Nun, eigentlich könnte es beides in einem sein. Nur einer von diesen "kollabiert" in einem Geist und der andere in einem anderen Geist. Oder noch mehr. 3+3+4 oder 7+3 sind andere.
@JKusin Oder an alle in meinem Kopf. Also kein Zusammenbruch. Aber das wäre schwer mitzumachen. Sie können nicht beide gleichzeitig verwenden. Ich denke aber, dass du wechseln kannst. 10 Stärken zu sehen, stärkt das Verständnis des Lochs. 1+2+3+4 das seiner Teile sehen. Um die 10 besser zu verstehen, muss man sie mit anderen 10ern interagieren lassen. Oder 20er. Sie können diese hinzufügen, um zu einem Sup-Loch zu gelangen. Etc.aber irgendwo muss man aufhören.

Aus meiner Sicht besteht der springende Punkt des Holismus darin, zu verstehen, dass Objekte der realen Welt tatsächlich mehr sind als die Summe ihrer Teile, etwas, das die Arithmetik normalerweise übersieht. Wenn ich Sie in Scheiben schneiden würde (und um Zweifel auszuschließen, habe ich nicht die Absicht, dies zu tun), dann würden sich die Teile zu Ihrem ursprünglichen Körpergewicht addieren, obwohl Ihre Leistung als Philosoph erheblich beeinträchtigt wäre. Die Arithmetik erfasst dies nicht, weil es nicht der Zweck der Arithmetik ist, dies zu tun. Ich verwende den Begriff Arithmetik, weil die Wissenschaft oder Mathematik so erweitert werden könnte, dass sie viele, wenn nicht alle philosophischen Konstrukte umfasst.

Danke schön. Und sehen Sie die Mathematik in ihrer jetzigen Form in der Lage, die Struktur von Ganzheitlichkeit/ganzheitlichen Objekten zu erfassen; das heißt, es ist "locker genug" und erzwingt keine übergeordnete Struktur?
@J Kusin Sicherlich könnte man in einem begrenzten Fall ganzheitliche Effekte mathematisch darstellen. Stellen Sie sich ein Buch vor - wir könnten seine Abmessungen und Masse betrachten, aber das würde uns nichts über die Informationen im Buch sagen. Wir könnten jedoch etwas klüger sein und die Wörter und Sätze zählen und vielleicht die grammatikalischen und sachlichen Vorzüge des Inhalts bewerten.
Und glauben Sie, dass dieser Prozess, mathematisch ein bisschen schlauer zu sein, fortgesetzt werden kann, bis wir das gesamte universelle Objekt (oder was auch immer es gibt, wenn es eine Endgültigkeit gibt) in unserem Griff haben? Diese Art von serieller Ergänzung. Widerspricht das der Ganzheitlichkeit?
@J Kusin vielleicht nicht - beim Rechnen wissen wir, dass wir jedes "lösbare" Problem lösen können (dies hat in diesem Zusammenhang eine besondere Bedeutung), aber es gibt unlösbare Probleme, die nicht gelöst werden können. Ebenso könnte man erwarten, dass es Probleme gibt, die mathematisch nicht gelöst werden können, und sicherlich gibt es Probleme, die wir nicht lösen können, weil wir nicht über die dafür erforderlichen Informationen verfügen.

Ich habe ein Zitat gefunden, das meine Frage zu verneinen scheint.

„Resnik behauptet, dass ganzheitliche Überlegungen die Einführung neuer Entitäten, neuer Methoden und neuer grundlegender Gesetze in eine Theorie zulassen können, dass sie sich jedoch nicht auf die globaleren Theorien erstrecken, in denen die Mathematik als die globalste Theorie, die wir besitzen, herausgegriffen wird. " Aus Die Philosophie der Mathematik heute hrsg. Matthias Schirn

Die Mathematik ist also in der Lage, den Holismus zu umfassen, da sie die umfassendste Theorie ist, die wir besitzen.

Ich bin mir sicher, dass es andere Takes gibt. Ich denke, man kann später in der Arbeit sehen:

"...aber da die Mathematik die globalste Theorie ist, droht eine a priori-empirische Unterscheidung wieder aufzutauchen. Im letzten Abschnitt des Kapitels werde ich versuchen, mit dieser Sorge umzugehen."

Ich verstehe das so, was kommt zuerst, a priori Argumentation oder a posteriori empirische Ergebnisse? Können wir wirklich a priori sagen, dass die Mathematik mit jedem empirischen Ergebnis umgehen kann?

Gibt es einen Konflikt mit Holismus und Gleichheit und Pluszeichen der Mathematik?
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