War Kant ein Faktor bei der Bildung von Gauß' abstrakter Sichtweise mathematischer Objekte?

Gauß argumentierte für philosophische Fragen, die für die Entwicklung der Mathematik wichtig sind, wie unter anderem die Identität komplexer Zahlen.

Ich frage mich, welche philosophischen Strömungen sein Denken beeinflusst haben und welche Konsequenzen seine Verteidigung der abstrakten Mathematik hatte.

War Kants Philosophie über die Größe negativer Zahlen für diesen Gedanken wichtig?

Ich erinnere mich, dass Gauß seine Arbeit zur nichteuklidischen Geometrie nur ungern veröffentlichte, weil er das „Geheul der Böoten“ fürchtete, womit er die Kantianer meinte, die an dem Dogma festhielten, dass der Raum euklidisch sei.
@Timkinsella. Dies beinhaltet ein Mißverständnis von Kant's Position. Siehe meine Kommentare zu Conifold unten.
Anscheinend las Gauss Kant immer wieder; nach einer Zählung - fünfmal.

Antworten (1)

Gauss drückt in Disquisitiones Arithmeticae (1799) in der Tat etwas aus, das dem heute als mathematischer Formalismus und Strukturalismus nahe kommt. Er schreibt:

„ Was berechnet wird (im Sinne von bereits gezählten Dingen), sind nicht Substanzen (für sich selbst denkbare Gegenstände), sondern Beziehungen zwischen zwei zu zweit gezählten Gegenständen … Der Mathematiker abstrahiert vollständig von der Natur der Gegenstände und ihrem Inhalt Relationen; es geht ihm lediglich um die Zählung und den Vergleich der Relationen untereinander ".

Aber es ist schwer, Kant ähnliche Meinungen zuzuschreiben, im Gegenteil, seine Ansicht war genau das Gegenteil, dass Begriffe ohne Anschauungen leer sind und dass (reine) Anschauungen für mathematische Begriffe durch imaginative Konstruktion nach apriorischen Schemata von Raum und Zeit geliefert werden . Mit anderen Worten, Relationen werden nur zusammen mit ihren intuitiven Objekten konstruiert. Dies veranlasste Kant, die a priori Gewissheit für die euklidische Geometrie zu beanspruchen, wofür Gauß ihn ausdrücklich kritisierte:

„ Gerade die Unmöglichkeit, a priori zwischen [dem euklidischen und dem nicht-euklidischen Raum] zu entscheiden, liefert den deutlichsten Beweis dafür, dass Kant nicht berechtigt war zu behaupten, dass der Raum nur die Form unserer Wahrnehmung ist. “ [zitiert nach Gauß, Kästner und Kant von Baker ].

Tatsächlich ging die Relationalisierung und Formalisierung der Mathematik im 19. Jahrhundert mit der Ablehnung (insbesondere durch Frege und Hilbert) von Kants intuitiver Auffassung davon einher (die mehr von Poincare und Intuitionisten beibehalten wurde).

Gauß hatte jedoch viele frühere Quellen, auf denen er aufbauen konnte. Die Abstraktion der Mathematik geht auf Vietas Isagoge (1591) zurück. Bos schreibt in Redefining Geometrical Exactness, Kap.8 :

„ Es war Viète, der als erster die Idee einführte und förderte, dass Algebra eine geeignete Methode zur Analyse von Problemen sowohl in der Geometrie als auch in der Zahlentheorie sei … Viète reservierte normalerweise den Begriff fadenscheinige Logistik für den Teil seiner neuen Algebra, der sich damit befasste abstrakte Größe und in der daher keine Annahmen über die tatsächliche Durchführung algebraischer Operationen getroffen werden konnten ... Viète sah Algebra nicht als eine Technik, die Zahlen betrifft ... sondern als eine Methode symbolischer Berechnungen, die abstrakte Größen betrifft. "

Weitere Informationen finden Sie in Esteves The Role of Symbolic Language in the transformation of Mathematics . Der nächste Denker, der die relationale/abstrakte Sichtweise der Mathematik und Kants gewählte Folie voranbrachte, war Leibniz. Leibniz ist derjenige, der imaginäre Zahlen und Infinitesimale „nützliche Fiktionen“ nannte und die sogenannte „Allgemeinheit der Algebra“ förderte (der Begriff wurde von Cauchy geprägt), indem er algebraische Identitäten als rein formale Regeln behandelte, die unabhängig von der Natur der Größen gelten beteiligt. Peckhaus beschreibt in Calculus Ratiocinator vs. Characteristica Universalis :

„ ‚Abkürzen‘ bedeutet, dass, sobald ein charakteristisches Zeichen für einen komplexen Gegenstand festgelegt ist, das Gedächtnis von der Last befreit werden kann, alle charakteristischen Elemente dieses Gegenstands zu behalten. Natürliche Sprachen reichen für diese Aufgabe, Gegenstände eindeutig zu bezeichnen, nicht aus. Nur in der Sprache der Arithmetik und Algebra ist diese Idee teilweise verwirklicht worden.Alles Denken in diesen Zweigen besteht in der Verwendung von Zeichen.Denkfehler erweisen sich als Rechenfehler...Er verwendet willkürlich gewählte Buchstaben nach dem Vorbild der Mathematik.Diese Schreibweise erlaubt es 'Rechnen mit Begriffen' nach Regelwerken, die jeweils einen Kalkül-Ratiocinator bilden. "

Frege nennt Leibniz' Kalkül Ratiocinator ausdrücklich als Inspiration für sein Konzept-Skript (Prädikatskalkül). Die Allgemeinheit der Algebra wurde später von Euler, Lagrange und Gauss selbst ausgiebig in der "algebraischen Analyse" verwendet, die der modernen Weierstrassschen vorausging, siehe The Foundational Aspects of Gauß's Work von Ferraro :

„ Schließlich waren die Funktionen des 18. Jahrhunderts wesentlich durch die Verwendung einer formalen Methodik gekennzeichnet, die es ermöglichte, mit analytischen Ausdrücken unabhängig von ihrer Bedeutung zu operieren. Diese formale Methodik basierte auf zwei eng miteinander verbundenen analogischen Prinzipien, der Allgemeinheit der Algebra und die Erweiterung der Regeln und Verfahren vom Endlichen zum Unendlichen. Die Allgemeinheit der Algebra bestand aus der folgenden Annahme: (GA) Wenn eine analytische Formel unter Verwendung der Regeln der Algebra abgeleitet wurde, dann wurde sie für gültig gehalten Allgemeines". "

Peacock benannte dies später in Prinzip der Beständigkeit der Form in seiner Symbolischen Algebra (1831) um: „ Jede Form, die einer anderen algebraisch äquivalent ist, wenn sie in allgemeinen Symbolen ausgedrückt wird, muss wahr sein, was auch immer diese Symbole bezeichnen. “ Die Abstraktion der Algebra wurde weiter vorangetrieben , vor Hilbert, von Hankel und Dedekind.

Kant behauptete: „Ein Mathematiker kann keinen Ort, eine Richtung, eine gerade Linie usw. definieren, denn dies sind alles gegebene Konzepte“, aber alle anderen nicht primitiven Konzepte können willkürlich erstellt werden, daher sehe ich keinen Grund, warum eine solche Flexibilität dies könnte nicht auf die nicht-euklidische Geometrie angewendet werden (schließlich gab es bereits zu Kants Zeiten sphärische Geometrie). Glaubte Gauß, Sie könnten auch von den primitiven Begriffen abstrahieren? Kann man zum Beispiel Geometrie machen, ohne den Begriff der Position vorauszusetzen? Es ist auch ein Widerspruch zu behaupten, dass eine empirische Tatsache eine apriorische Form der Intuition bestimmen könnte.
@PédeLeão Im frühen 19. Jahrhundert konnte man meiner Meinung nach nicht über "Linien" auf einer Kugel sprechen. Ich glaube, die Leute hatten eine eher platonische Vorstellung von diesen Dingen. Dh die Geometrie der Kugel entsprach nicht der "wahren" Geometrie des "Raumes". Um in gewissem Sinne über den hyperbolischen Raum zu argumentieren, muss man "Linie", "Richtung" usw. neu definieren. Was nach etwas klingt, das Kant verbieten möchte. Aber idk, ich bin kein Experte in dieser Geschichte – es fällt mir sehr schwer, mich in die Denkweise von Menschen hineinzuversetzen, die sich mit diesen Problemen auseinandersetzen, bevor die grundlegenden Probleme geklärt wurden
@Timkinsella. Die Denkweise und der Sprachgebrauch der Menschen sind irrelevant; sphärische Geometrie ist immer noch nicht euklidisch. Wir verstehen intuitiv nicht-euklidische Geometrie innerhalb eines euklidischen Rahmens. Unabhängig davon, ob wir eine Kurve eine Linie nennen oder nicht, unsere Intuition davon ist immer noch gekrümmt, sodass der Begriff der Geradheit nicht nur besteht (wie Kant behauptete), sondern vorausgesetzt wird. Und es scheint, dass Sie nicht zwischen Raum als Form der Intuition und dem unterscheiden, was Sie die „wahre Geometrie des Raums“ nennen. Kant behauptete: "Raum ist nichts anderes als bloß die Form aller Erscheinungen des äußeren Sinnes."
@PédeLeão Sphärische Geometrie im entsprechenden Sinne gab es zu Kants Zeiten nicht, sie ist eine rückwirkende Projektion der modernen formalistischen Konzeption der Geometrie. Was Gauss (und später Riemann) im Sinn zu haben scheint, ist etwas Zwischenliegendes, "intuitive" Geometrie ist zu vage, um als euklidisch bestimmt zu werden, sie ist nur lose a priori eingeschränkt, und empirische Eingaben sind erforderlich, um sie vollständig zu spezifizieren. Wie stark eingeschränkt ist im Fall von Gauß unklar, Riemann könnte es nur lokal euklidisch sein, Helmholtz, dass es eine konstante Krümmung haben muss.
@Conifold. Aber wie gesagt, es ist ein Widerspruch zu behaupten, dass eine empirische Tatsache eine apriorische Form der Intuition einschränken könnte, daher ist das einzige, was Sinn macht, dass der Raum als eine Form der Intuition homogen isometrisch mit drei Dimensionen sein muss. Daher kann jede Zuordnung von Krümmung oder Diskretion zum Raum nichts weiter als ein erklärendes Modell sein, das intuitiv innerhalb eines isometrischen Rahmens verstanden wird, was in der Tat das ist, was Mathematiker tatsächlich tun. Aus diesem Grund sind Kritiken an Kants Raumbegriff auf rein logischer Basis leicht zu entkräften.
@PédeLeão Es wäre, wenn die Leute Kants Idee glauben würden, dass es sich um eine a priori Form der Intuition im erhabenen Sinne handelt. Gauß und Riemann taten dies eindeutig nicht, ebensowenig Kants Nachfolger Herbart, dem sie folgten. Kants „Apriori-Intuition“ wurde durch so etwas wie menschliche Konstitutionsanlage ersetzt, was a priori genug ist im Sinne von „biologisch verdrahtet“, aber nicht mehr.
@Conifold. Wie dem auch sei, es ist keine Kritik dessen, was Kant tatsächlich vertrat. Ich nehme an, man könnte es ein Strohmann-Argument nennen.
@PédeLeão Ich glaube nicht, dass Gauß und Riemann sich zu sehr damit befassten, was Kant im Gegensatz dazu hielt, was für den Raum "wahr" war, wie sie ihn sahen. Und da die kantische Sichtweise auch über den Raum als „wahr“ behauptet wird, ist die Zurückweisung ihrer Annahmen auf der Grundlage von Argumenten Teil einer gültigen Kritik.
@Conifold. Die kantische Ansicht über den Raum als eine Form der Intuition und nicht mehr ist wahr, also habe ich keine Ahnung, in welchem ​​Sinne Sie sagen könnten, dass es sich um eine gültige Kritik handelt. Gauß hat sich einfach geirrt.
@PédeLeão Es steht jedem frei zu behaupten, dass Raum keine Form der Intuition ist, wie es Gauß tat, und ob er sich geirrt hat, wissen weder Sie noch ich. Man kann dann entweder gegen Kants „Herleitung“ davon in transzendentaler Ästhetik (die wackelig ist) oder gegen ihre Folgen (wie sie sogar Kant sah) argumentieren, wie Gauß und Riemann es taten. Was Sie anscheinend im Sinn haben, ist eine Verteidigung von Kant, die etwa ein Jahrhundert nach seinem Tod populär wurde, aber sie ist ebenso anachronistisch wie die populäre Verurteilung seiner geometrischen Ansichten, gegen die sie ihn verteidigt.
War Kant ein Faktor bei der Bildung von Gauß' abstrakter Sichtweise mathematischer Objekte?
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