Herleitung von Newton-Euler-Gleichungen

Es hängt davon ab, ob Sie bereits den Massenträgheitstensor definiert haben oder nicht.

Wenn Sie wissen, ist die Körperträgheit$I_{body}$und die 3x3 Rotationsmatrix ist$E$dann ist der Drehimpulsvektor im Schwerpunkt C

$$\vec{H}_C = \left( E I_{body} E^\top \right) \vec{\omega}$$

und der lineare Impulsvektor ist

$$\vec{L} = m \vec{v}_C$$

Der Massenträgheitstensor entlang der Weltkoordinaten auf dem Schwerpunkt liegt$I_C = E I_{body} E^\top$die die Rotationsgeschwindigkeit transformiert$\vec \omega$in lokale Koordinaten, multipliziert mit$I_{body}$und verwandelt Rücken in Weltkoordinaten.

Nun sind die Bewegungsgleichungen am Schwerpunkt definiert aus der Summe der Kräfte und Momente gleich der Änderungsrate des Impulses

$$\sum \vec{F} = \dot{\vec{L}}$$ $$\sum \vec{M}_C = \dot{\vec{H}}_C$$

oder

$$\sum \vec{F} = m \vec{a}_C$$ $$\sum \vec{M}_C = I_C \vec{\alpha} + \vec{\omega} \times I_C \vec{\omega}$$

da die zeitliche Ableitung des Drehimpulses auf einem rotierenden Koordinatensystem ist$\dot{\vec{H}_C} = \frac{\partial \vec{H}_C}{\partial t} + \vec{\omega} \times \vec{H}_C$

Beachten Sie, dass$\dot{\vec{v}} = \vec{a}$und$\dot{\vec{\omega}} = \vec{\alpha}$.

Um nun die Gleichungen auf einem Rahmen A und nicht auf C zu beschreiben, verwenden Sie die folgenden Transformationen (mit relativer Position des cg$\vec{c} =\vec{r}_C - \vec{r}_A$.

$$\vec{a}_C = \vec{a}_A + \vec{\alpha} \times \vec{c} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{c})$$

$$\sum \vec{M}_C = \sum \vec{M}_A - \vec{c} \times \sum \vec{F}$$

Also endlich die Bewegungsgleichungen eines starren Körpers, wie er durch einen Rahmen A beschrieben wird, der nicht auf dem Schwerpunkt C liegt (ziemlich chaotisch)

$$\boxed{ \begin{aligned} \sum \vec{F} &= m \vec{a}_A - m \vec{c}\times \vec{\alpha} + m \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{c}) \\ \sum \vec{M}_A &= I_C \vec{\alpha} + m \vec{c} \times \vec{a}_A - m \vec{c} \times \vec{c} \times \vec{\alpha} +\vec{\omega} \times I_C \vec{\omega} + m \vec{c} \times \left( \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{c}) \right) \end{aligned} }$$

Aus diesem Grund verwenden die Leute die räumliche Notation (siehe Schraubentheorie ), um das Obige zu komprimieren

$$\sum \bf{f}_A = I_A \bf{a}_A + \bf{p}$$

$$\begin{pmatrix} \sum \vec{F} \\ \sum \vec{M}_A \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} m & -m \vec{c}\times \\ m \vec{c}\times & I_C - m \vec{c}\times \vec{c}\times \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \vec{a}_A \\ \vec{\alpha} \end{pmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \vec{c}\times & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} m \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{c}) \\ \vec{\omega}\times I_C \vec{\omega} \end{pmatrix}$$

Beachten Sie das oben$0$und$1$sind 3x3 Matrizen und$\vec{c}\times$ist der 3x3 Kreuzproduktoperator definiert durch

$$\vec{ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} }\times = \begin{vmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{vmatrix}$$

Nun ist die große 6x6-Matrix, die den Beschleunigungsterm multipliziert, die räumliche Trägheit bei A. Mehr hier und hier .