Höhenformel einer Kugel in einem Rohr

Question

Höhenformel einer Kugel in einem Rohr

João Paulo

Ich habe ein Rohr mit einer Kugel darin und bläst Luft durch. Schau dir dieses Bild an:

Die Luft bläst in Richtung $F_a$ . $F_a$ Ist die Luftwaffe und $P$ ist die Gewichtskraft.

Was ich will, ist etwas sehr, sehr Einfaches, nicht Komplexes.

Ich möchte eine Formel für die Höhe zusammenstellen $h$ dieser Kugel.

Was ich bis hierher gemacht habe:

Ich weiß, dass die resultierende Kraft $F_r$ Ist:

F_{R} = \frac{\partial^{2} H}{\partial T^{2}} . M_{B}

$F_r = \frac{\partial^2h}{\partial t^2}.m_b$ Wo

m_{b}

$m_b$ ist die Masse der Kugel. Und das weiß ich

F_{r}

$F_r$ ist auch:

F_{R} = F_{A} - P, T H e N : \frac{\partial^{2} H}{\partial T^{2}} . M_{B} = F_{A} - P

$F_r = F_a-P, then: \\ \frac{\partial^2h}{\partial t^2}.m_b = F_a-P$

P = m_{b} . g

$P = m_b.g$ ,

g

$g$ ist die Erdbeschleunigung. Demnach _ _

F_{a} = A_{b} . ρ_{w} . D_{s p h e r e}

$F_a = A_b . \rho_w . D_{sphere}$ . ich machte

A_{b}

$A_b$ als die Fläche des Mittelquerschnitts der Kugel (der Mittelkreis). Laut dem Link,

ρ_{w} = 0.00256 . v_{w}^{2}

$\rho_w = 0.00256 . v_w^2$ , Wo

v_{w}

$v_w$ ist die Windgeschwindigkeit im Rohr. Und ich habe gemacht

D_{s p h e r e} = 0.47

$D_{sphere} = 0.47$ , demnach . Dann:

\frac{\partial^{2} H}{\partial T^{2}} . M_{B} = A_{B} \times 0,00256. v_{w}^{2} \times 0,47 - M_{B} . G

$\frac{\partial^2h}{\partial t^2}.m_b = A_b \times 0.00256.v_w^2 \times 0.47 - m_b.g$

Hier fangen die Probleme an ... Ich muss eine Annäherung für die Geschwindigkeit des Windes im Rohr bauen. Diese Geschwindigkeit ist nicht linear und hängt von der tatsächlichen Höhe des Balls ab. Stellen Sie sich einen Ventilator vor, der Luft von unten nach oben bläst. Die Geschwindigkeit wird unten hoch und oben sehr niedrig sein.

Was wäre eine schöne Formel zu ersetzen $v_w$ ? Ich dachte so etwas:

v_{w} = \frac{k}{H^{P}}

$v_w = \frac{k}{h^p}$

Wo $k$ eine Konstante ist (kein Problem, es nur als einzelne Konstante zu lassen) und $p$ ist ein Index. Was wäre gut $p$ ?

Die ganze Formel wäre:

\frac{\partial^{2} H}{\partial T^{2}} . M_{B} = A_{B} \times 0,00256. {(\frac{k}{H^{P}})}^{2} \times 0,47 - M_{B} . G

$\frac{\partial^2h}{\partial t^2}.m_b = A_b \times 0.00256.\left(\frac{k}{h^p}\right)^2 \times 0.47 - m_b.g$

Was haltet ihr von dem ganzen Prozess für eine einfache Annäherung? Irgendein absurder Fehler?

BEARBEITEN

Nach den Vorschlägen habe ich einige Änderungen vorgenommen. Ich habe die Idee verworfen $v_w = \frac{k}{h^p}$ . Eigentlich ist dies die relative Geschwindigkeit zwischen der Luft und dem Ball, also habe ich gemacht:

v_{R} = v_{w} - \frac{\partial H}{\partial T}

$v_r = v_w - \frac{\partial h}{\partial t}$

Wo $v_w$ ist jetzt eine Konstante. Ich habe mich auch entschieden, die Gleichung durch diese aus Wikipedia zu ändern . Ich habe auch die Luftdichte auf 25 Grad geändert $1.1839 \ kg/m^3$ .

Hier also die neue Formel:

\frac{\partial^{2} H}{\partial T^{2}} . M_{B} = \frac{A_{B}}{2} \times 1.1839. {(v_{w} - \frac{\partial H}{\partial T})}^{2} \times 0,47 - M_{B} . G

$\frac{\partial^2h}{\partial t^2}.m_b = \frac{A_b}{2} \times 1.1839.\left(v_w - \frac{\partial h}{\partial t}\right)^2 \times 0.47 - m_b.g$

Mit Runge-Kutta habe ich diese Grafiken für verschiedene Windgeschwindigkeiten erstellt:

Verwendete Werte:

G R A v ich T j = 9.8 M / S^{2} M A S S = 0,01 k G S P H e R e D ich A M e T e R = 0,1 M

$gravity = 9.8 \ m/s^2\\ mass = 0.01 \ kg\\ sphere \ diameter = 0.1 \ m\\$

Ich denke, das ist ziemlich vernünftig ...

nluigi

Sie können nicht einfach eine Formel für erfinden

v_{w}

$v_w$ als Funktion von

h

$h$ ! Warum glauben Sie, dass die Luftgeschwindigkeit unten hoch und oben niedrig sein wird? Zugegeben, es wird aufgrund des Widerstands eine Geschwindigkeitsabnahme geben, aber sie wird gering sein. Wenn wir Massenerhaltung auferlegen, muss die Geschwindigkeit in einem Zylinder mit konstantem Durchmesser im Allgemeinen unten und oben gleich sein. Ihre Luftgeschwindigkeit im Zylinder ergibt sich dann einfach aus der aufgeprägten Strömungsgeschwindigkeit und der durchströmten Fläche des Zylinders. Ob nun die Geschwindigkeit in der Widerstandsgleichung die Geschwindigkeit im Zylinder oder um die Kugel sein soll, ist eine andere Frage!

João Paulo

Das macht Sinn, es gibt keinen Grund, die Luftgeschwindigkeit zu verringern ... Also kann ich es lassen

v_{w}

$v_w$ eine Konstante sein, oder?

Gert

"Was ich will, ist etwas sehr, sehr Einfaches, nicht Komplexes." Wir können nicht immer haben, was wir wollen. Ich habe klassische Drag-Funktionen ausprobiert, die auf den Ball wirken. Sie führen nicht zu einem stationären Ball. Hier ist nur ein Modell möglich, bei dem der Druck unter dem Ball davon abhängt

v_{w}

$v_w$ . Aber diese Abhängigkeit (

p = f (v_{w})

$p=f(v_w)$ ) ist theoretisch schwer zu modellieren. Ich denke, reale Anwendungen dieses Problems (Kugeldurchflussmesser) wurden empirisch modelliert.

Gert

en.wikipedia.org/wiki/Thorpe_tube_flowmeter

Antworten (1)

Höhenformel einer Kugel in einem Rohr

Sie können nicht einfach eine Formel für erfinden $v_w$ als Funktion von $h$ ! Warum glauben Sie, dass die Luftgeschwindigkeit unten hoch und oben niedrig sein wird? Zugegeben, es wird aufgrund des Widerstands eine Geschwindigkeitsabnahme geben, aber sie wird gering sein. Wenn wir Massenerhaltung auferlegen, muss die Geschwindigkeit in einem Zylinder mit konstantem Durchmesser im Allgemeinen unten und oben gleich sein. Ihre Luftgeschwindigkeit im Zylinder ergibt sich dann einfach aus der aufgeprägten Strömungsgeschwindigkeit und der durchströmten Fläche des Zylinders. Ob nun die Geschwindigkeit in der Widerstandsgleichung die Geschwindigkeit im Zylinder oder um die Kugel sein soll, ist eine andere Frage!
Das macht Sinn, es gibt keinen Grund, die Luftgeschwindigkeit zu verringern ... Also kann ich es lassen $v_w$ eine Konstante sein, oder?
"Was ich will, ist etwas sehr, sehr Einfaches, nicht Komplexes." Wir können nicht immer haben, was wir wollen. Ich habe klassische Drag-Funktionen ausprobiert, die auf den Ball wirken. Sie führen nicht zu einem stationären Ball. Hier ist nur ein Modell möglich, bei dem der Druck unter dem Ball davon abhängt $v_w$ . Aber diese Abhängigkeit ( $p=f(v_w)$ ) ist theoretisch schwer zu modellieren. Ich denke, reale Anwendungen dieses Problems (Kugeldurchflussmesser) wurden empirisch modelliert.

Han-Kwang Nienhuys · Answer 1

Wenn das Rohr zylindrisch ist, gibt es keine Gleichgewichtshöhe. Die gesamte Luft, die unten hineingeht, muss oben wieder herauskommen, damit das Kräftegleichgewicht nicht von der Höhe des Balls abhängt.

Bei einem Kugeldurchflussmesser ( Rotameter ) ist das Rohr leicht konisch, sodass sich der Spalt zwischen Kugel und Rohr mit steigender Kugel vergrößert.

Wenn Sie eine sehr grobe Abschätzung der beteiligten Kräfte wünschen, können Sie Bernoulli verwenden und die zusätzliche Annahme treffen, dass die im Spalt zwischen Kugel und Zylinder aufgrund von Turbulenzen gewonnene kinetische Energie größtenteils (z $\alpha<1$ ) in Wärme umgewandelt. Beginnen Sie mit der Annahme einer inkompressiblen Flüssigkeit - die Tatsache, dass sich Luft ausdehnt, wenn der Druck abfällt, macht es schwieriger. Wenn der Querschnitt des Rohres ist $A$ , der Volumenstrom ist $Q$ , die Flüssigkeitsdichte $\rho$ , ist der Querschnitt der Kugel $A'$ , dann ist die Flüssigkeitsgeschwindigkeit im Rohr $v=Q/A$ und die Fluidgeschwindigkeit im Spalt ist $v'=Q/(A-A')$ . Die Nettodruckdifferenz wäre dann $\Delta p=\alpha\rho(v'^2-v^2)/2$ , die auf die Fläche einwirkt $A'$ , was zu einer Kraft führt $F=A'\Delta p$ .

Sehr gute Antwort. Ich hatte herausgefunden, dass es bei einem zylindrischen Rohr unmöglich eine Gleichgewichtshöhe geben kann, konnte aber nicht weiter kommen, bis ich ein Bild von einer Kugel und einem sich verjüngenden Zylinder sah.
Ich werde diesen Ansatz auch ausprobieren und die Ergebnisse vergleichen, ich denke, dass Ihr Modell schöner ist. Ich werde dies als Antwort überprüfen. Danke schön!

Höhenformel einer Kugel in einem Rohr

João Paulo

nluigi

João Paulo

Gert

Gert

Antworten (1)

Han-Kwang Nienhuys

Gert

João Paulo

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