Ich verstehe das Kreisgesetz von Ampere nicht

Du hast Recht,$\mathbf{B}$ist eine vektorielle Größe. Außerdem kommt es auf die Position an$\mathbf{r}$. Deshalb müssen wir schreiben$\mathbf{B}(\mathbf{r})$.

Das Magnetfeld um zwei stromdurchflossene Drähte (wobei die Ströme in die gleiche Richtung fließen) sieht so aus:

_{(Bild aus Schulphysik - Elektromagnetismus - Kräfte zwischen Strömen )}

Beachten Sie besonders, dass das Magnetfeld im Bereich zwischen den beiden Drähten sehr klein ist, da sich dort die magnetischen Beiträge des linken und des rechten Drahtes nahezu aufheben.

Betrachten Sie nun eine Schleife nur um den rechten Draht.

Dann das Wegintegral entlang dieser Schleife

Deshalb können wir die nicht einfach ziehen$\mathbf{B}$aus dem Integral und schreibe

Aber trotzdem die Gleichung

Sie können dies verstehen, indem Sie das Magnetfeld zerlegen$\mathbf{B}(\mathbf{r})$in zwei Teile, wobei ein Teil durch den linken Draht erzeugt wird, der andere Teil durch den rechten Draht erzeugt wird.

Dann kannst du das Pfadintegral schreiben als

Ich werde nur Ihr erstes Beispiel betrachten; Die Lösung dieses Problems reicht aus, um Ihre anderen Beispiele zu erklären. Dein Fehler ist das$\oint \vec{B} \cdot d\vec{r} \neq \vec{B} \oint d\vec{r}$. Das Feld aufgrund von Strom$I_2$ist über die von Ihnen gezeichnete Ampersche Schleife nicht konstant. Allerdings ist das Linienintegral des Magnetfeldes bedingt$I_2$über der Schleife ist Null (aufgrund des Ampere-Gesetzes).

Andererseits stimmt das$\oint \vec{B}_1 \cdot d\vec{r} = \vec{B}_1 \oint d\vec{r}$, Wo$\vec{B}_1$ist das Feld aufgrund von$I_1$, wegen Symmetrie.

Also zusammensetzen, schreiben$\vec{B}=\vec{B}_1+\vec{B}_2$(Das Gesamtfeld ist die Summe des Feldes aufgrund von$I_1$Und$I_2$,

Also nach dem Ampereschen Gesetz

$$∮\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0I_1$$

Seitdem habe ich es für einen unendlich langen Draht gehalten, also

$$B\oint dl=\mu_0I_1$$

Dies ist keine gültige Schlussfolgerung.

Wenn diese Schlussfolgerung in der Lehrbuchableitung des B-Felds um einen langen Draht gezogen wird, verwenden wir die Symmetrie des Systems (das System ist radialsymmetrisch um die Achse des Drahts), um die Schlussfolgerung aus dem Amperegesetz abzuleiten.

In Ihrem Szenario mit einem zweiten Draht gibt es keine solche Symmetrie, daher können wir diese Schlussfolgerung nicht ziehen.

Wie andere Antworten gezeigt haben, können wir dieses Ergebnis verwenden, um den Beitrag zum B-Feld von jedem Draht zu finden, und dann das Überlagerungsprinzip verwenden, um die Beiträge von allen Drähten zu summieren und das gesamte B-Feld an jedem Punkt zu erhalten.

Es wird viel einfacher für dich sein, wenn du es nimmst$I_1=0$, das heißt, bilden Sie Ihre „Ampersche Schleife“ oder „Gaußsche Pillendose“ in der Nähe eines Stroms oder einer Ladung, die jedoch keine enthält. Sie behaupten, dass Ihr Argument dann die Felder auf der Schleife/Oberfläche identisch null machen sollte.

Wie die Leute darauf hinweisen, tut es das nicht. Um dies zu sehen, ist es wirklich hilfreich, Polarkoordinaten zu verwenden, auf die zentriert ist$I_2$, Ihre Schleife besteht also aus einem Drahtbogen entlang des Kreises am Radius$r_1$, ein gerader radialer Draht aus$r_1$Zu$r_2$, ein weiterer Drahtbogen bei$r_2$den gleichen Winkel einnehmen$\theta$wie das Original, und ein anderer gerader radialer Draht aus$r_2$zurück zu$r_1$.

Warum hilft das? Denn das Feld wirft vorbei$I_2$hat eine kreisförmige Symmetrie: hier ist es senkrecht zu den beiden geraden Drähten und parallel zu den beiden Bögen. Also wenn die Feldstärke ist$B_1$bei$r_1$Und$B_2$bei$r_2$dann ist die einzige Möglichkeit, dass die Summe über die Schleife Null ist, wenn,

Aber wie Sie gesehen haben,$B\propto 1/r$und das ist in der Tat erfüllt.

Tatsächlich würden wir sagen, dass es diese beiden Felder gibt, die überall eine Kräuselung von Null und eine Divergenz von Null haben, mit Ausnahme einer Linie / eines Punktes, wo sie mit einem begrenzten Integral unendlich ist. In sphärischen Koordinaten, wo$\theta\in[0,2\pi)$ist Azimut/Länge und$\phi\in[0,\pi]$Polar/Breitengrad ist, das sind$\hat theta/(r\sin\phi)$Und$\hat r/r^2$. Da diese Ableitungen außerhalb dieser Linie/dieses Punktes Null sind, werden die Schleifen und Pillboxen, die diesen Punkt nicht enthalten, immer zu Null integriert, während diejenigen, die den Punkt enthalten, zu Nicht-Null-Werten integriert werden. Obwohl$\hat r/r^2$zu „divergieren“ scheint, ist es wichtig zu verstehen, dass es eigentlich nirgendwo eine Divergenz ungleich Null gibt, außer an diesem einen Punkt, obwohl es ähnlich ist$\hat theta/(r\sin\phi)$scheint sich um die Linie „zu kräuseln“, es hat tatsächlich nirgendwo außer dieser einen Linie eine Kräuselung ungleich Null.

Eine andere Möglichkeit, all dies auszudrücken, ist eine Analogie zu Fluidströmungsfeldern, stellen Sie sich vor$E,B$als Geschwindigkeitsfeld$v$für etwas Flüssigkeit. Wenn Sie ein Strömungsfeld hätten, das diesen Vektorgleichungen entspricht,$\hat r/r^2$würde eine Strömung beschreiben, bei der Flüssigkeit irgendwie in diesen einzelnen Punkt am Ursprung injiziert wird und kugelsymmetrisch kontinuierlich nach außen in die Unendlichkeit spritzt. Nun gibt es noch andere nicht-triviale Felder mit Null-Divergenz, die man als Strömungen verstehen kann, die aus der Unendlichkeit kommen und dann wieder in die Unendlichkeit zurückkehren: und zu sagen, dass dies irgendwie das „einzige grundlegende“ Kraftgesetz ist, dass „ alles ist Coulomb“ (nur mit Übersetzungen, Skalierungen, Überlagerungen usw.) erfordert die Auferlegung einer Randbedingung, dass die Felder im Unendlichen auf Null abfallen, um all diese anderen Flüsse auszuschließen. Wie auch immer, in dieser Flüssigkeitsströmungsanalogie bedeutet Zero Curl jetzt, dass, wenn Sie ein kleines Windrad in die Flüssigkeit stecken, es nicht verdreht wird und sich daher nicht dreht, wenn es eine gewisse innere Reibung hat.$\hat\theta$Komponente, der radiale Abfall des Feldes reicht gerade so aus, dass das Drehmoment an der Außenkante des Windrads das Drehmoment an der Innenkante des Windrads perfekt ausgleicht und das Windrad sich nicht dreht, es sei denn, Sie haben es genau an diesem Mittelpunkt.

Sie haben Recht, dass sich die Magnetfelder an jedem Punkt im Raum als Vektoren addieren. Sie haben jedoch die Bedeutung des Ampere-Gesetzes missverstanden. Das Linienintegral von B ist genau das, was Sie vorschlagen: das Integral aller resultierenden Felder, die von allen Strömen erzeugt werden, unabhängig davon, ob sie sich innerhalb oder außerhalb der Schleife befinden. Das Schöne am Ampereschen Gesetz ist, dass dieses Integral nur von den Strömen innerhalb der Schleife abhängt. Mit anderen Worten, dies sagt Ihnen, dass das Schleifenintegral von Feldern, die von Strömen außerhalb der Schleifen erzeugt werden, Null ist. Aber achten Sie auf den Unterschied: Nicht die Felder dieser Außenleiter sind Null, sondern ihr Integral über einem geschlossenenSchleife ist Null. Mit dieser Klarstellung hoffe ich, dass Sie den Fehler in Ihren Beispielen mit den beiden kreisförmigen Schleifen mit Strömen in ihren Zentren erkennen können. Sie nehmen an, dass das Schleifenintegral eine Konstante B mal dem Umfang des Kreises ist. Aber in diesem Fall ist B um die Schleife herum nicht konstant, da es zwei Komponenten aus den beiden Strömen hat. Die Zylindersymmetrie funktioniert nicht mehr. Sie können in dieser Situation nicht einmal das Amperesche Gesetz verwenden, um das Feld zu finden. Das Amperegesetz sagt Ihnen nur die Werte des Schleifenintegrals. Aber Sie können B nicht nur aus dem Wert des Schleifenintegrals finden. Mit Ausnahme der Fälle, in denen B um die Schleife herum konstant ist. Was du hier nicht hast. Die Anwendung des Ampere-Gesetzes für die beiden Schleifen liefert also zwei Werte für die beiden Schleifenintegrale. Das ist alles. Notieren von B an einem Gien-Punkt (einschließlich Ihres Punktes P). Ich nehme an, das Missverständnis rührt daher, dass im Unterricht der Schwerpunkt auf den symmetrischen Beispielen liegt, bei denen das Amperesche Gesetz verwendet werden kann, um das Feld zu finden. Wir versuchen den Schülern zu zeigen, dass das Gesetz "nützlich" ist.

Ihre Verwirrung ergibt sich aus der Ableitung des Magnetfelds aus dem Amperegesetz.

Das Ampere-Gesetz besagt, dass das Linienintegral von b.dl nur auf den eingeschlossenen Strom zurückzuführen ist *$\mu_0$

DIES GILT FÜR JEDEN PFAD und JEDE offene Oberfläche, die mit diesem Pfad verbunden ist. Es muss kein Kreis sein. Die Oberfläche muss auch keine ebene Fläche sein. Es könnte zB eine Taschenform sein.

Die Ableitung des B-Feldes aus dem Ampere-Gesetz ist wie folgt.

FÜR EINEN EINZIGEN UNENDLICH DÜNNEN GERADE STROM:

$\int B \cdot \vec{dl} = \mu_0 I$

Lassen Sie uns nun einen Gaußschen Ring auswählen, der ein Kreis ist, der um den Ursprung des Radius r zentriert ist

Entlang dieses SPEZIFISCHEN Rings

weil es einen einzigen Punkt gibt, an dem sich die Seite kräuselt, z. B. aus der Seite heraus. Das Magnetfeld ist in der gleichen Richtung wie das dl-Element meines gewählten Kreisrings. (Wenn Sie verstehen, was Curl ist, wissen Sie, dass in diesem SPEZIELLEN Umstand, in dem eine Curl-Linie in die gleiche Richtung zeigt, das B-Feld MUSS konzentrische Kreise um den Curl-Punkt bilden.

DAHER$B \cdot \vec{dl}$

Reduziert zu$|B||\vec{dl}|$

Das bedeutet also

$\int |\vec{B} |\vec{dl}| = \mu_0 I$

Entlang dieses AUSGEWÄHLTEN Rings hat das B-Feld aufgrund der Symmetrie entlang dieses Pfads eine konstante Größe. also kann ich sagen, dass es unabhängig vom Integral ist, also kann ich es außerhalb des Integrals bringen.

$|\vec{B}| \int |\vec{dl}| = \mu_0 I$

Und dann reduziert sich dies für meinen gewählten Gaußschen Ring auf

$|\vec{B}| =\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

Beachten Sie, dies ist die$|\vec{B}|$Feld für Punkte auf meinem AUSGEWÄHLTEN Gaußschen Ring. Das gleiche Verfahren kann für einen Ring durchgeführt werden, der sich zB etwas weiter unten im Draht befindet, und Sie erhalten dasselbe Ergebnis, was bedeutet, dass diese Formel für alle R-Abstände vom Strom entfernt gilt

Bei der Ableitung haben wir angenommen, dass das B-Feld konzentrische Kreise um den Kräuselungspunkt bildet, so dass B in Richtung von dl liegt, wir haben auch die Annahme getroffen, dass das B-Feld entlang dieses Pfades konstant ist

Für 2 Ströme bildet das Magnetfeld definitiv KEINE konzentrischen Kreise um unseren gewählten Gaußschen Ring. NOR ist die B-Feldkonstante um diesen Pfad. Das bedeutet, dass das gleiche Verfahren für den Fall mit 2 Strömen ungültig wäre.

Es ist schon eine Weile her, dass ich darüber nachgedacht habe, aber ich denke, das Ampere-Gesetz, wie oben verwendet, wird verwendet, um das Magnetfeld zu erfassen, das durch den Quellstrom verursacht wird - den eingeschlossenen Strom. Es identifiziert dann also nicht das gesamte Magnetfeld in einem Bereich, sondern nur das Magnetfeld aufgrund einer Stromverteilung in diesem Bereich.